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1、
模塊綜合檢測
(時間：100分鐘，總分100分)
1．(本小題滿分10分)曲線9x2＋4y2＝1在→＝伸壓變換下變成另一曲線C，求曲線C的方程．
解：伸壓變換矩陣為M＝，由＝ ，得即其中點P(x，y)在曲線9x2＋4y2＝1上，所以有92＋42＝1，即x′2＋y′2＝1.
故曲線C的方程為x2＋y2＝1.
2．(本小題滿分10分)二階矩陣M對應的變換將點(1，－1)與(－2,1)分別變換成點(－1，－1)與(0，－2)．
(1)求矩陣M；
(2)設直線l在變換M作用下得到了直線m：x－y－4＝0，求l的方程．
解：(1)設M＝，
則有 ＝， ＝，
所以且解得
所以
2、M＝.
(2)因為＝ ＝，
且x′－y′－4＝0，所以(x＋2y)－(3x＋4y)－4＝0，
整理得x＋y＋2＝0，
所以直線l的方程為x＋y＋2＝0.
3．(本小題滿分10分)已知M＝，N＝，求二階方陣X，使MX＝N.
解：設X＝，
據(jù)題意有 ＝，
根據(jù)矩陣乘法法則有
解得所以X＝.
4.(本小題滿分10分)變換T1是逆時針旋轉的旋轉變換，對應的變換矩陣是M1；變換T2對應的變換矩陣是M2＝.
(1)求點P(2,1)在T1作用下的點P′的坐標；
(2)求曲線2x2－2xy＋y2＝1先在T1旋轉變換作用下，后在T2變換的作用下所得曲線的方程．
解：(1)由題意知M1＝
3、，
故M1＝ ＝，
所以點P(2,1)在T1作用下的點P′的坐標是(－1,2)．
(2)由題意得M＝M2M1＝，
設是變換后的圖像上任意一點，與之對應的變換前的點是，則M＝，也就是即代入2x－2x0y0＋y＝1，得2y2－2y(y－x)＋(y－x)2＝1，即x2＋y2＝1.
所以所求曲線的方程是x2＋y2＝1.
5．(本小題滿分10分)在直角坐標系中，已知△ABC的頂點坐標為A(0,0)，B(1,1)，C(0,2)，求△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積．這里M＝，N＝.
解：在矩陣N＝的作用下，一個圖形變換為其繞原點逆時針旋轉90°得到的圖形，
在矩陣M＝的作用下
4、，一個圖形變換為與之關于直線y＝x對稱的圖形．
所以△ABC在矩陣MN的作用下變換所得到的圖形與△ABC全等，
從而其面積等于△ABC的面積，即為×2×1＝1.
6．(本小題滿分10分)已知矩陣A＝，B＝.
(1)計算AB；
(2)若矩陣B把曲線：x2－y2＝1變?yōu)榍€C′，求曲線C′的方程．
解：(1)AB＝.
(2)任取直線l上一點P(x，y)，經(jīng)矩陣B變換后為點P′(x′，y′)，
則＝ ＝，
∴
∴
代入x2－y2＝1，得(x′＋2y′)2－y′2＝1，
∴x′2＋4x′y′＋3y′2＝1.
∴曲線C′的方程為x2＋4xy＋3y2＝1.
7．(本小題滿分1
5、0分)已知二階矩陣A的特征值λ1＝3及其對應向量α1＝，特征值λ2＝－1及其對應向量α2＝，求矩陣A的逆矩陣A－1.
解：設二階矩陣A＝(a，b，c，d∈R)，則有 ＝3，
且 ＝－，
即且
解得a＝1，b＝2，c＝2，d＝1.
所以A＝，從而A－1＝.
8．(本小題滿分10分)給定矩陣M＝及向量α＝.
(1)求矩陣M的特征值及與各自對應的一個特征向量e1，e2；
(2)確定實數(shù)a，b，使向量α可以表示為α＝ae1＋be2；
(3)利用(2)中的表達式計算M3α，Mnα.
解：(1)矩陣M的特征多項式
f(λ)＝
＝(λ－2)(λ－1)－30＝(λ－7)(λ＋4)．
6、
令f(λ)＝0，解得矩陣M的特征值λ1＝－4，λ2＝7.
易求得屬于特征值λ1＝－4的一個特征向量e1＝，
屬于特征值λ2＝7的一個特征向量e2＝.
(2)由(1)可設＝a＋b，
解得a＝1，b＝3，所以α＝e1＋3e2.
(3)M3α＝M3(e1＋3e2)＝M3e1＋3M3e2
＝(－4)3×＋3×73×
＝＝.
Mnα＝Mn(e1＋3e2)＝Mne1＋3Mne2
＝(－4)n×＋3×7n×
＝.
9．(本小題滿分10分)曲線x2＋4xy＋2y2＝1在二階矩陣M＝的作用下變換為曲線x2－2y2＝1.
(1)求a，b的值；(2)求M的逆矩陣．
解：(1)設P(x
7、，y)為曲線x2－2y2＝1上任意一點，
P′(x′，y′)為曲線x2＋4xy＋2y2＝1上與P對應的點，
則 ＝，即，
代入得(x′＋ay′)2－2(bx′＋y′)2＝1，
即(1－2b2)x′2＋(2a－4b)x′y′＋(a2－2)y′2＝1，
即為方程x2＋4xy＋2y2＝1，比較系數(shù)得，
解得a＝2，b＝0.
(2)因為det(M)＝＝1≠0，
故M－1＝＝.
10．(本小題滿分10分)已知矩陣A＝(BC)－1，其中B＝，C＝，求A特征值λ1，λ2及對應的特征向量α1，α2.
解：由B＝，得B－1＝，
由C＝，得C－1＝，
所以A＝(BC)－1＝C－1B－1
＝
＝.
矩陣A的特征多項式為f(λ)＝＝(λ－3)·(λ＋1)．
令f(λ)＝0，得A的特征值為λ1＝3，λ2＝－1.
當λ1＝3時，由 ＝3，
得
所以y＝0，取x＝1，得到A屬于特征值3的一個特征向量為α1＝；
當λ2＝－1時，由 ＝－，得
取x＝1，則y＝－4，得到A屬于特征值－1的一個特征向量為α2＝.
5
2017-2018學年高中數(shù)學 模塊綜合檢測教學案 蘇教版選修4-2
