2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計(jì) 8 最小二乘估計(jì)學(xué)案 北師大版必修3

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1、8 最小二乘估計(jì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解用最小二乘法建立線性回歸方程的思想，會(huì)用給出的公式建立線性回歸方程.2.理解回歸直線與觀測(cè)數(shù)據(jù)的關(guān)系，能用線性回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)知識(shí)點(diǎn)一最小二乘法思考具有線性相關(guān)關(guān)系的散點(diǎn)大致分布在一條直線附近如何確定這條直線比較合理？知識(shí)點(diǎn)二線性回歸方程思考數(shù)學(xué)上的“回歸”是什么意思？梳理用最小二乘法得到的直線方程稱為_，a，b是線性回歸方程的系數(shù)如果用表示，用表示，則可以求得b.a_.類型一線性回歸方程的求法例1下表為某地近幾年機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計(jì)資料機(jī)動(dòng)車輛數(shù)x/千臺(tái)95110112120129135150180交通事故數(shù)y/千件6.27.57.78.58.7

2、9.810.213(1)請(qǐng)判斷機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果不具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求出線性回歸方程反思與感悟即使散點(diǎn)圖呈餅狀，也可利用公式求出線性回歸方程，但這種方程顯然沒什么價(jià)值故應(yīng)先畫出散點(diǎn)圖，看是否呈直線形，再求方程跟蹤訓(xùn)練1以下是某地搜集到的新房屋的銷售價(jià)格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù)：房屋面積x(m2)11511080135105銷售價(jià)格y(萬(wàn)元)24.821.618.429.222(1)畫出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖；(2)求線性回歸方程，并在散點(diǎn)圖中加上回歸直線類型二線性回歸方程的應(yīng)用例2有一個(gè)同學(xué)家開了一個(gè)小賣部，他為了研究氣溫對(duì)熱飲

3、銷售的影響，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表：攝氏溫度/504712151923273136熱飲杯數(shù)15615013212813011610489937654(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間有什么關(guān)系；(3)求線性回歸方程；(4)如果某天的氣溫是2，預(yù)測(cè)這天賣出的熱飲杯數(shù)；(5) 氣溫為2時(shí)，小賣部一定能夠賣出143杯左右熱飲嗎？為什么？反思與感悟線性回歸方程主要用于預(yù)測(cè)，但這種預(yù)測(cè)類似于天氣預(yù)報(bào)，不一定與實(shí)際數(shù)據(jù)完全吻合跟蹤訓(xùn)練2有人統(tǒng)計(jì)了同一個(gè)省的6個(gè)城市某一年的人均國(guó)民生產(chǎn)總值(即人均GDP)和這一年各城市患白血病的兒童數(shù)，如下表：人均GDP

4、/萬(wàn)元1086431患白血病的兒童數(shù)/人351312207175132180(1)畫出散點(diǎn)圖，并判定這兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系；(2)通過(guò)計(jì)算可知這兩個(gè)變量的線性回歸方程為y23.25x102.15，假如一個(gè)城市的人均GDP為12萬(wàn)元，那么可以斷言，這個(gè)城市患白血病的兒童一定超過(guò)380人，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)斷言是否正確？1下列有關(guān)線性回歸的說(shuō)法，不正確的是()A自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系B在平面直角坐標(biāo)系中用描點(diǎn)的方法得到表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫作散點(diǎn)圖C線性回歸方程最能代表觀測(cè)值x、y之間的線性關(guān)系D任何一組觀測(cè)值都能得到具有代

5、表意義的線性回歸方程2已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是1.23，樣本點(diǎn)中心(即(，)為(4,5)，()Ay1.23x4By1.23x5Cy1.23x0.08Dy0.08x1.233某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x(萬(wàn)元)4235銷售額y(萬(wàn)元)49263954根據(jù)上表可得線性回歸方程ybxa中的b為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷售額為()A63.6萬(wàn)元B65.5萬(wàn)元C67.7萬(wàn)元D72.0萬(wàn)元4設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的線性回歸方程為y0.85x85.

6、71，則下列結(jié)論中不正確的是()Ay與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(，)C若該大學(xué)某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kgD若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可判定其體重必為58.79 kg1求線性回歸方程時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題(1)知道x與y成線性相關(guān)關(guān)系，無(wú)需進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，否則應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，如果兩個(gè)變量之間本身不具有相關(guān)關(guān)系，或者說(shuō)，它們之間的相關(guān)關(guān)系不顯著，即使求出線性回歸方程也是毫無(wú)意義的，而且用其估計(jì)和預(yù)測(cè)的量也是不可信的(2)用公式計(jì)算a、b的值時(shí)，要先計(jì)算b，然后才能算出a.2利用線性回歸方程，我們可以進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)若線性回歸方程為ybxa，則x

7、x0處的估計(jì)值為y0bx0a.答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考應(yīng)該使散點(diǎn)整體上最接近這條直線最小二乘法是一種求回歸直線的方法，用這種方法求得的回歸直線能使樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離y1(abx1)2y2(abx2)2yn(abxn)2最小知識(shí)點(diǎn)二思考“回歸”一詞最早由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家(Francils Galton)提出的，本意是子女的身高會(huì)向一般人的均值靠攏現(xiàn)在這個(gè)概念引伸到隨機(jī)變量有向回歸線集中的趨勢(shì)梳理線性回歸方程b題型探究例1解(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖直觀判斷散點(diǎn)在一條直線附近，故具有線性相關(guān)關(guān)系(2)計(jì)算相應(yīng)的數(shù)據(jù)之和：i1 031，i71.6，137 835，iyi

8、9 611.7，128.875，8.95，將它們代入公式計(jì)算得b0.077 4，a1.024 9，所以，所求線性回歸方程為y0.077 4x1.024 9.跟蹤訓(xùn)練1解(1)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示：(2)i109，23.2，60 975，iyi12 952.設(shè)所求線性回歸方程為ybxa，則b0.196 2，ab23.21090.196 21.814 2，故所求線性回歸方程為y0.196 2x1.814 2.回歸直線如(1)中圖所示例2解(1)散點(diǎn)圖如圖所示：(2)從上圖看到，各點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間呈負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少(3)從散點(diǎn)

9、圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式求出線性回歸方程的系數(shù)利用計(jì)算器容易求得線性回歸方程為y2.352x147.767.(4)當(dāng)x2時(shí)，y143.063.因此，某天的氣溫為2時(shí)，這天大約可以賣出143杯熱飲(5)小賣部不一定能夠賣出143杯左右熱飲，原因如下：線性回歸方程中的截距和斜率都是通過(guò)樣本估計(jì)出來(lái)的，存在誤差，這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果的偏差即使截距和斜率的估計(jì)沒有誤差，也不可能百分之百地保證對(duì)應(yīng)于x的預(yù)報(bào)值，能夠與實(shí)際值y很接近我們不能保證點(diǎn)(x，y)落在回歸直線上，甚至不能百分之百地保證它落在回歸直線的附近跟蹤訓(xùn)練2解(1)散點(diǎn)圖如下：根據(jù)散點(diǎn)圖可以看出，在6個(gè)點(diǎn)中，雖然第一個(gè)點(diǎn)離這條直線較遠(yuǎn)，但其余5個(gè)點(diǎn)大致分布在這條直線的附近，所以這兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系(2)斷言是錯(cuò)誤的，將x12代入y23.25x102.15得y23.2512102.15381.15380，但381.15是對(duì)該城市人均GDP為12萬(wàn)元的情況下所作的一個(gè)估計(jì)，該城市患白血病的兒童可能超過(guò)380人，也可能低于380人當(dāng)堂訓(xùn)練1D2.C3.B4.D8