2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計 8 最小二乘估計學(xué)案 北師大版必修3

8 最小二乘估計學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解用最小二乘法建立線性回歸方程的思想，會用給出的公式建立線性回歸方程.2.理解回歸直線與觀測數(shù)據(jù)的關(guān)系，能用線性回歸方程進(jìn)行估計和預(yù)測知識點一最小二乘法思考具有線性相關(guān)關(guān)系的散點大致分布在一條直線附近如何確定這條直線比較合理？知識點二線性回歸方程思考數(shù)學(xué)上的“回歸”是什么意思？梳理用最小二乘法得到的直線方程稱為_，a，b是線性回歸方程的系數(shù)如果用表示，用表示，則可以求得b.a_.類型一線性回歸方程的求法例1下表為某地近幾年機(jī)動車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計資料機(jī)動車輛數(shù)x/千臺95110112120129135150180交通事故數(shù)y/千件6.27.57.78.58.79.810.213(1)請判斷機(jī)動車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果不具有線性相關(guān)關(guān)系，請說明理由；(2)如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求出線性回歸方程反思與感悟即使散點圖呈餅狀，也可利用公式求出線性回歸方程，但這種方程顯然沒什么價值故應(yīng)先畫出散點圖，看是否呈直線形，再求方程跟蹤訓(xùn)練1以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù)：房屋面積x(m2)11511080135105銷售價格y(萬元)24.821.618.429.222(1)畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖；(2)求線性回歸方程，并在散點圖中加上回歸直線類型二線性回歸方程的應(yīng)用例2有一個同學(xué)家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表：攝氏溫度/504712151923273136熱飲杯數(shù)15615013212813011610489937654(1)畫出散點圖；(2)從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間有什么關(guān)系；(3)求線性回歸方程；(4)如果某天的氣溫是2，預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù)；(5) 氣溫為2時，小賣部一定能夠賣出143杯左右熱飲嗎？為什么？反思與感悟線性回歸方程主要用于預(yù)測，但這種預(yù)測類似于天氣預(yù)報，不一定與實際數(shù)據(jù)完全吻合跟蹤訓(xùn)練2有人統(tǒng)計了同一個省的6個城市某一年的人均國民生產(chǎn)總值(即人均GDP)和這一年各城市患白血病的兒童數(shù)，如下表：人均GDP/萬元1086431患白血病的兒童數(shù)/人351312207175132180(1)畫出散點圖，并判定這兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系；(2)通過計算可知這兩個變量的線性回歸方程為y23.25x102.15，假如一個城市的人均GDP為12萬元，那么可以斷言，這個城市患白血病的兒童一定超過380人，請問這個斷言是否正確？1下列有關(guān)線性回歸的說法，不正確的是()A自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系B在平面直角坐標(biāo)系中用描點的方法得到表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫作散點圖C線性回歸方程最能代表觀測值x、y之間的線性關(guān)系D任何一組觀測值都能得到具有代表意義的線性回歸方程2已知回歸直線的斜率的估計值是1.23，樣本點中心(即(，)為(4,5)，()Ay1.23x4By1.23x5Cy1.23x0.08Dy0.08x1.233某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得線性回歸方程ybxa中的b為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為()A63.6萬元B65.5萬元C67.7萬元D72.0萬元4設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的線性回歸方程為y0.85x85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()Ay與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B回歸直線過樣本點的中心(，)C若該大學(xué)某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kgD若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可判定其體重必為58.79 kg1求線性回歸方程時應(yīng)注意的問題(1)知道x與y成線性相關(guān)關(guān)系，無需進(jìn)行相關(guān)性檢驗，否則應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗，如果兩個變量之間本身不具有相關(guān)關(guān)系，或者說，它們之間的相關(guān)關(guān)系不顯著，即使求出線性回歸方程也是毫無意義的，而且用其估計和預(yù)測的量也是不可信的(2)用公式計算a、b的值時，要先計算b，然后才能算出a.2利用線性回歸方程，我們可以進(jìn)行估計和預(yù)測若線性回歸方程為ybxa，則xx0處的估計值為y0bx0a.答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考應(yīng)該使散點整體上最接近這條直線最小二乘法是一種求回歸直線的方法，用這種方法求得的回歸直線能使樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離y1(abx1)2y2(abx2)2yn(abxn)2最小知識點二思考“回歸”一詞最早由英國統(tǒng)計學(xué)家(Francils Galton)提出的，本意是子女的身高會向一般人的均值靠攏現(xiàn)在這個概念引伸到隨機(jī)變量有向回歸線集中的趨勢梳理線性回歸方程b題型探究例1解(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點圖，如圖直觀判斷散點在一條直線附近，故具有線性相關(guān)關(guān)系(2)計算相應(yīng)的數(shù)據(jù)之和：i1 031，i71.6，137 835，iyi9 611.7，128.875，8.95，將它們代入公式計算得b0.077 4，a1.024 9，所以，所求線性回歸方程為y0.077 4x1.024 9.跟蹤訓(xùn)練1解(1)數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖如圖所示：(2)i109，23.2，60 975，iyi12 952.設(shè)所求線性回歸方程為ybxa，則b0.196 2，ab23.2109×0.196 21.814 2，故所求線性回歸方程為y0.196 2x1.814 2.回歸直線如(1)中圖所示例2解(1)散點圖如圖所示：(2)從上圖看到，各點散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間呈負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少(3)從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式求出線性回歸方程的系數(shù)利用計算器容易求得線性回歸方程為y2.352x147.767.(4)當(dāng)x2時，y143.063.因此，某天的氣溫為2時，這天大約可以賣出143杯熱飲(5)小賣部不一定能夠賣出143杯左右熱飲，原因如下：線性回歸方程中的截距和斜率都是通過樣本估計出來的，存在誤差，這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果的偏差即使截距和斜率的估計沒有誤差，也不可能百分之百地保證對應(yīng)于x的預(yù)報值，能夠與實際值y很接近我們不能保證點(x，y)落在回歸直線上，甚至不能百分之百地保證它落在回歸直線的附近跟蹤訓(xùn)練2解(1)散點圖如下：根據(jù)散點圖可以看出，在6個點中，雖然第一個點離這條直線較遠(yuǎn)，但其余5個點大致分布在這條直線的附近，所以這兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系(2)斷言是錯誤的，將x12代入y23.25x102.15得y23.25×12102.15381.15380，但381.15是對該城市人均GDP為12萬元的情況下所作的一個估計，該城市患白血病的兒童可能超過380人，也可能低于380人當(dāng)堂訓(xùn)練1D2.C3.B4.D8