高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)初級(jí)教程.doc

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高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第七講：三角函數(shù) 一、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 一、教學(xué)目的： 1．使學(xué)生熟知三角函數(shù)的基本性質(zhì)，并能以此為依據(jù)研究一些解析式為三角式的函數(shù)的性質(zhì)，切實(shí)掌握判定目標(biāo)函數(shù)的奇偶性，確定其單調(diào)區(qū)間及周期的方法。 2．會(huì)求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的周期，或者經(jīng)過簡(jiǎn)單恒等變形便可轉(zhuǎn)化為上述函數(shù)的三角函數(shù)的周期； 3．了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的圖象的畫法，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫四函數(shù)及y=Asin(ωx+φ)的簡(jiǎn)圖，并能解決與正弦曲線有關(guān)的實(shí)際問題。 考試內(nèi)容：用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值；正、余弦與正、余切函數(shù)的圖象和性質(zhì)；函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象。 二、基本三角函數(shù)的圖象 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定義域 R R {x|x≠kπ， x∈R} 值域 [-1，1] [-1，1] R R 周期性 最小正周期2π 最小正周期2π 最小正周期π 最小正周期π 單調(diào)區(qū)間 k∈z 增區(qū)間 減區(qū)間 增區(qū)間 [2kπ-π，2kπ] 減區(qū)間 [2kπ，2kπ+π] 增區(qū)間 減區(qū)間 （kπ，kπ+π） 最值點(diǎn) k∈z 最大值點(diǎn) 最小值點(diǎn) 最大值點(diǎn) （2kπ，1） 最小值點(diǎn) （2kπ+π，-1） 無 無 對(duì)稱中心 k∈z （kπ，0） 對(duì)稱軸 k∈z x=kπ 無 無 三、（一）性質(zhì)——單調(diào)性、奇偶性、周期性（注意書寫格式及對(duì)角的討論） 例1．用定義證明：f(x)=tgx在遞增。 例2．比較下列各組三角函數(shù)的值的大小 （1）sin194和cos160； （2）和 （3）和； （4）tg1，tg2和tg3； （1）>（2）<（3）>（4）tg20的圖象及變換 三、y=Asin(ωx+φ)的圖象與變換 相位變換-φ>0左移；φ<0右移； 周期變換- ω>1，橫坐標(biāo)縮短倍；0< ω<1，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)倍； 振幅變換-A>1，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)A倍；00）的一個(gè)周期的圖象，試求函數(shù)y的解析表達(dá)式 例5．已知函數(shù)， （1）當(dāng)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合； （2）該函數(shù)的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到（2000年高考，難度0.70） （1） （2） 例6．求下列各方程在區(qū)間[0，2π]內(nèi)實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù) （1）； （2）sinx=sin4x； （1）一個(gè)實(shí)解 （2）九個(gè)實(shí)解 例7 已知函數(shù) （1）作出它的簡(jiǎn)圖： （2）填空回答問題： 〈1〉振幅 2 ； 〈2〉周期 π ； 〈3〉頻率； 〈4〉相位； 〈5〉初相； 〈6〉定義域 R ； 〈7〉值域 [-2，2] ； 〈8〉當(dāng)x=時(shí) 2 ； 當(dāng)時(shí)， -2 ； 〈9〉單調(diào)遞增區(qū)間 k∈Z。； 單調(diào)遞減區(qū)間 k∈Z。 〈10〉當(dāng)x∈ k∈Z時(shí)，y>0 當(dāng)x∈ k∈Z時(shí)，y<0 〈11〉圖象的對(duì)稱軸方程 k∈Z。 〈12〉圖像的對(duì)稱中心k∈Z。 作業(yè)： 1．已知函數(shù) 求（1）f（x）的值域 （2）f（x）的最小正周期 （3）f（x）的單調(diào)區(qū)間 單調(diào)遞增區(qū)間為 k∈Z。 k∈Z。 2．判斷下列函數(shù)的奇偶性。 （1） （奇） （2） （偶） （3） （奇） （4） （偶） （5）（偶） 3．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 單調(diào)增區(qū)間為 k∈Z。 單調(diào)減區(qū)間為 k∈Z。 4．求下列函數(shù)的最小正周期 （1） （） （2） （3） （T=π） （4） （T=|a|π） 二、三角函數(shù)的求值 例1 求值 利用積化和差 原式= 例2 求值先用半角公式降次然后和、差、積互化，原式=． 或者，配完全平方式再降次，化和差，目的只有一個(gè)設(shè)法利用，出現(xiàn)特殊角． 解1原式= 解2原式 例3 求值 方法1 可用積化和差 方法2 逆用倍角公式 原式 例4 求值 原式=1 例 5 求的值 原式 一般形式 例6 求值 解：原式（直接通分很麻煩，分母越簡(jiǎn)單越好，這是原則） 例7 求值 原式 例8 求值． 解：設(shè)法出現(xiàn)特殊角：原式 （出現(xiàn)倍角關(guān)系） 三、三角函數(shù)的求值 例1 求值 利用積化和差 原式= 例2 求值先用半角公式降次然后和、差、積互化，原式=． 或者，配完全平方式再降次，化和差，目的只有一個(gè)設(shè)法利用，出現(xiàn)特殊角． 解1原式= 解2原式 例3 求值 方法1 可用積化和差 方法2 逆用倍角公式 原式 例4 求值 原式=1 例 5 求的值 原式 一般形式 例6 求值 解：原式（直接通分很麻煩，分母越簡(jiǎn)單越好，這是原則） 例7 求值 原式 例8 求值． 解：設(shè)法出現(xiàn)特殊角：原式 （出現(xiàn)倍角關(guān)系） 四、三角中常用的變角代換技巧 在三角的計(jì)算與證明中，往往要進(jìn)行角之間的變換，為了得到合理的角的變換式，就必須考察待求問題中的角與已知條件中的角之間的聯(lián)系。三角中的變角代換具有很強(qiáng)技巧性，本文就三角中常用到的一些變角代換作些說明。 1. 單角化復(fù)角 這里所說的復(fù)角是指由角的和或角的差所形成的角。常用的角變換式有： <1> <2> 例1. 求證：。 證明：左邊 例2. 求證： 證明：左邊 2. 單角化倍角 單角化倍角的主要角度換式有。 例3. 求證： 證明：左邊 例4. 求證： 證明：左邊 3. 倍角化復(fù)角 倍角化復(fù)角常用的角變換式有： 例5. 已知，且，，求。 解：因?yàn)? 所以 又因?yàn)? 所以 所以 所以 4. 復(fù)角化復(fù)角 復(fù)角化復(fù)角內(nèi)容豐富，但主要有以下三組變換式： <1> <2> <3> 例6. 已知，求之值。 解：因?yàn)?，所? 所以 例7. 已知，并且，試求之值。 解：因?yàn)? 所以 因?yàn)? 所以 所以 例8. 已知，且，求之值。 解：因?yàn)?，所? 所以 所以 所以 在有些三角問題中，有時(shí)既要把單角化為復(fù)角，同時(shí)又要把復(fù)角化為復(fù)角。 例9. 已知，求證：。 證明：因?yàn)? 所以 所以 所以 所以 由以上數(shù)例可以看到，應(yīng)用變角代換技巧，?？蓛?yōu)解一些三角問題。 選校網(wǎng) www.xuanxiao.com 高考頻道 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 (按ctrl 點(diǎn)擊打開)