上海交大附中09-10學(xué)年高二上學(xué)期期終試卷數(shù)學(xué)(附解答).doc

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上海交大附中09-10學(xué)年高二上學(xué)期期終試卷高二數(shù)學(xué)本試卷共有21道試題，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘。請(qǐng)考生用鋼筆或圓珠筆將答案寫(xiě)在答題卷上一、填空題(3分12=36分 )（第9題）1、已知，則2、一個(gè)等差數(shù)列的前4項(xiàng)是，則等于_ 3、行列式的值為_(kāi)4、關(guān)于x、y的二元線性方程組的增廣矩陣經(jīng)過(guò)變換，最后得到的矩陣為，則 5、若，則化簡(jiǎn)后的最后結(jié)果等于_6、在四邊形ABCD中，則四邊形ABCD的形狀是_7、5個(gè)人站成一排，其中甲、乙兩人不相鄰的排法有_種（用數(shù)字作答）。8、設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)且前項(xiàng)和為.已知向量，滿足，則_9、右上圖給出的是計(jì)算的值的一個(gè)框圖，其中菱形判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是 10、如圖，在中，點(diǎn)D在BC上，且；點(diǎn)E在AC上，且。AD與BE的交點(diǎn)為F。若設(shè)，于是可得出：，于是由，可求出_ 11、在共有2009項(xiàng)的等差數(shù)列 中，有等式成立,類比上述性質(zhì)，相應(yīng)的，在共有2011項(xiàng)的等比數(shù)列中，有等式 成立。12、在n個(gè)紅球及n個(gè)白球，總計(jì)2n個(gè)球中取出m（）個(gè)球的方法數(shù)是，該方法數(shù)我們還可以用如下方法得到：只取m個(gè)紅球；取個(gè)紅球，1個(gè)白球；取個(gè)紅球，2個(gè)白球；。于是可得到組合數(shù)公式：，按如上方法化簡(jiǎn)下式得到的結(jié)果是：_（其中）二、選擇題(3分4=12分)13、已知數(shù)列中，（kN+），用數(shù)學(xué)歸納法證明能被4整除時(shí)，假設(shè)能被4整除，應(yīng)證（ ） （A）能被4整除 （B）能被4整除 （C）能被4整除 （D）能被4整除14、若矩陣是表示我校2011屆學(xué)生高二上學(xué)期的期中成績(jī)矩陣，A中元素的含義如下：表示語(yǔ)文成績(jī)，表示數(shù)學(xué)成績(jī)，表示英語(yǔ)成績(jī)，表示語(yǔ)數(shù)外三門(mén)總分成績(jī)表示第名分?jǐn)?shù)。若經(jīng)過(guò)一定量的努力，各科能前進(jìn)的名次是一樣的?，F(xiàn)小明的各科排名均在250左右，他想盡量提高三門(mén)總分分?jǐn)?shù)，那么他應(yīng)把努力方向主要放在哪一門(mén)學(xué)科上（ ）（A）語(yǔ)文 （B）數(shù)學(xué) （C）外語(yǔ) （D）都一樣15、若等邊的邊長(zhǎng)為，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則（ ）（A） 2 （B）3 （C） （D）16、關(guān)于的齊次線性方程組的系數(shù)矩陣記為A，且該方程組存在非零解，若存在三階矩陣，使得，（表示零矩陣，即所有元素均為0的矩陣；表示行列式B的值，該行列式中元素與矩陣B完全相同）則（ ）（A），且 （B），且 （C），且 （D），且 三、解答題(9分+9分+10分+10分+14分=52分)17、已知向量，的夾角為60，且，設(shè)，（1）求； （2）試用來(lái)表示的值；（3）若與的夾角為鈍角，試求實(shí)數(shù)的取值范圍； 18、用行列式討論關(guān)于x，y 的二元一次方程組解的情況并求解。19、用1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)字組成的四位數(shù)中，試回答下面問(wèn)題（1）一共有多少個(gè)沒(méi)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？（2）若把（1）中這些沒(méi)重復(fù)數(shù)字按從小到大的順序排成一列，則3241是第幾個(gè)數(shù)？（3）（2）中的第100個(gè)數(shù)字是多少？Ti15輸出Ti20、把公差為2的等差數(shù)列的各項(xiàng)依次插入等比數(shù)列的第1項(xiàng)、第2項(xiàng)、第n項(xiàng)后，得到數(shù)列：，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的第2010項(xiàng)；（3）設(shè) ，閱讀框圖寫(xiě)出輸出項(xiàng)，并說(shuō)明理由21、若數(shù)列中， ，。請(qǐng)按照要求完成下列各題，并將答案填在答題紙的指定位置上。（1）可考慮利用算法來(lái)求的值，其中m為給定的數(shù)據(jù)。右圖算法中，虛線框中所缺的流程，可以為下面A、B、C、D中的_（請(qǐng)?zhí)畛鋈看鸢福ヽba -2a+4cb -5a+7ci i+1caa -2c+4bb -5c+7bi i+1(A) (B) cbb -5a+7ca -2a+4ci i+1ca, db(C) (D)a -2c+4db -5c+7di i+1（2）我們可證明當(dāng)時(shí)，及均為等比數(shù)列，請(qǐng)按答紙題要求，完成一個(gè)問(wèn)題證明，并填空。證明：是等比數(shù)列，過(guò)程如下：所以是以為首項(xiàng)，以_為公比的等比數(shù)列；同理是以為首項(xiàng)，以_為公比的等比數(shù)列（3）若將寫(xiě)成列向量形式，則存在矩陣A，使，請(qǐng)回答下面問(wèn)題：寫(xiě)出矩陣A=_ ； 若矩陣，矩陣，其中矩陣只有一個(gè)元素，且該元素為中所有元素的和，請(qǐng)寫(xiě)出滿足要求的一組：_； 矩陣中的唯一元素是_。計(jì)算過(guò)程如下：上海交通大學(xué)附屬中學(xué)2009-2010學(xué)年度第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期終試卷本試卷共有21道試題，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘。請(qǐng)考生用鋼筆或圓珠筆將答案寫(xiě)在答題卷上一、填空題(312=36 )1、已知，則答案：12、一個(gè)等差數(shù)列的前4項(xiàng)是，則等于_ 答案：23、行列式的值為_(kāi)答案：34、關(guān)于x、y的二元線性方程組的增廣矩陣經(jīng)過(guò)變換，最后得到的矩陣為，則 答案：45、若，則化簡(jiǎn)后的最后結(jié)果等于_。答案：6 6、在四邊形ABCD中，則四邊形ABCD的形狀是_答案：矩形7、5個(gè)人站成一排，其中甲、乙兩人不相鄰的排法有_種（用數(shù)字作答）。答案：72（第9題）8、設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)且前項(xiàng)和為.已知向量，滿足，則_答案： 9、右圖給出的是計(jì)算的值的一個(gè)框圖，其中菱形判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是 答案：（或或）ABCEFD10、如圖，在中，點(diǎn)D在BC上，且；點(diǎn)E在AC上，且。AD與BE的交點(diǎn)為F。若設(shè)，于是可得出：，于是由，可求出_。 答案：，由，于是：。11、在共有2009項(xiàng)的等差數(shù)列 中，有等式成立,類比上述性質(zhì)，相應(yīng)的，在共有20011項(xiàng)的等比數(shù)列中，有等式 成立。答案：12、在n個(gè)紅球及n個(gè)白球，總計(jì)2n個(gè)球中取出m（）個(gè)球的方法數(shù)是，該方法數(shù)我們還可以用如下方法得到：只取m個(gè)紅球；取個(gè)紅球，1個(gè)白球；取個(gè)紅球，2個(gè)白球；。于是可得到組合數(shù)公式：，按如上方法化簡(jiǎn)下式得到的結(jié)果是：_（其中）原式=（或）二、選擇題(34=12)13、已知數(shù)列中，（kN+），用數(shù)學(xué)歸納法證明能被4整除時(shí)，假設(shè)能被4整除，應(yīng)證（ A ） （A）能被4整除 （B）能被4整除（C）能被4整除 （D）能被4整除14、若矩陣是表示我校2011屆學(xué)生高二上學(xué)期的期中成績(jī)矩陣，A中元素的含義如下：表示語(yǔ)文成績(jī)，表示數(shù)學(xué)成績(jī)，表示英語(yǔ)成績(jī)，表示語(yǔ)數(shù)外三門(mén)總分成績(jī)表示第名分?jǐn)?shù)。若經(jīng)過(guò)一定量的努力，各科能前進(jìn)的名次是一樣的?，F(xiàn)小明的各科排名均在250左右，他想盡量提高三門(mén)總分分?jǐn)?shù)，那么他應(yīng)把努力方向主要放在哪一門(mén)學(xué)科上（ B ）（A）語(yǔ)文 （B）數(shù)學(xué) （C）外語(yǔ) （D）都一樣15、若等邊的邊長(zhǎng)為，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則（ C ）（A） 2 （B）3 （C） （D）解一、 解二：建立直角坐標(biāo)系，因?yàn)槿切问钦切?，故設(shè)這樣利用向量關(guān)系式，求得M，然后求得，運(yùn)用數(shù)量積公式解得為-2.16、關(guān)于的齊次線性方程組的系數(shù)矩陣記為A，且該方程組存在非零解，若存在三階矩陣，使得，（表示零矩陣，即所有元素均為0的矩陣；表示行列式B的值，該行列式中元素與矩陣B完全相同）則 （ C ）（A），且 （B），且 （C），且 （D），且 解：方程組有非零解，于是系數(shù)行列式，解法一：將選項(xiàng)中帶入，驗(yàn)證為零，于是答案在C或D中；解法二：將該行列式展開(kāi)可得到，于是。所以，設(shè)矩陣，由AB得到零矩陣，得知，。由于只需考慮行列式B的值是否為0，即是否為零。解法一：作為選擇題，可選取特殊值計(jì)算當(dāng)?shù)谝涣性貫榱?，第二列于第三列元素互為相反?shù)時(shí)，（不妨選），于是D不對(duì)，只能選C。解法二：按照書(shū)中推導(dǎo)三元方程組的解答方法證明，具體過(guò)程如下： （書(shū)中P100頁(yè)，y，z前系數(shù)為0方法一致）解法三：由行列式性質(zhì)可將第1行，第2行元素加到第3行中去，行列式的值不變，于是新行列式的第三行各元素均為0，行列式的值為0。解法四：全部展開(kāi)，理論上可以得到值為0，我沒(méi)算過(guò)。三、解答題(9+9+10+10+14=52)17、已知向量，的夾角為60，且，設(shè)，（1）求； （2）試用來(lái)表示的值；（3）若與的夾角為鈍角，試求實(shí)數(shù)的取值范圍； 解： （1）； 3分 （2） 3分 （3）夾角為鈍角，于是且與不平行。其中，而，于是實(shí)數(shù)t的取值范圍是。 3分，其中沒(méi)排除平行情況扣2分18、用行列式討論關(guān)于x，y 的二元一次方程組解的情況并求解。解：,（各1分共3分）（1） 當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解，解為（2分，其中解1分）（2） 當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解；（2分）當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多組解，此時(shí)方程組化為，令，原方程組的解為。（2分，沒(méi)寫(xiě)出解扣1分）19、用1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)字組成的四位數(shù)中，試回答下面問(wèn)題（1）一共有多少個(gè)沒(méi)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？（2）若把（1）中這些沒(méi)重復(fù)數(shù)字按從小到大的順序排成一列，則3241是第幾個(gè)數(shù)？（3）（2）中的第100個(gè)數(shù)字是多少？解：（1）；2分 （2）1，2開(kāi)頭的數(shù)字有，31開(kāi)頭的數(shù)字有個(gè)，32開(kāi)頭的數(shù)字只有3214，3215，3216比3241小，于是3241是第120+12+3+1=136個(gè)數(shù)。4分 答135的得2分（3）由于1，2開(kāi)頭的數(shù)字有120個(gè)，1開(kāi)頭的數(shù)字有60個(gè)，于是第100個(gè)數(shù)字一定是2開(kāi)頭的數(shù)字。21，23，24開(kāi)頭的數(shù)字各有個(gè)，總計(jì)36個(gè)，于是2513是第60+36+1=97個(gè)數(shù)，第98、99個(gè)數(shù)依次是2514，2516。所以第100個(gè)數(shù)字是2531。 4分 相差1個(gè)數(shù)字即答2516及2534的得2分Ti15輸出Ti20、把公差為2的等差數(shù)列的各項(xiàng)依次插入等比數(shù)列的第1項(xiàng)、第2項(xiàng)、第n項(xiàng)后，得到數(shù)列：，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的第2010項(xiàng)；（3）設(shè) ，閱讀框圖寫(xiě)出輸出項(xiàng)，并說(shuō)明理由解：（1）由題意，故-1分所以， 2分，總計(jì)3分（2）數(shù)列中的第2010項(xiàng)即數(shù)列中的第1005項(xiàng)，于是；3分（3）解法一：顯然，當(dāng)時(shí)，于是。 而當(dāng)時(shí)，于是，計(jì)算 ， 所以滿足條件的項(xiàng)只有兩項(xiàng)， 解法二：由于 所以=當(dāng)時(shí) 遞增當(dāng)時(shí) 遞減 通過(guò)計(jì)算 所以滿足條件的項(xiàng)只有兩項(xiàng)， 4分，無(wú)論什么方法只要寫(xiě)出輸出項(xiàng)2分，理由2分21、若數(shù)列中， ，。請(qǐng)按照要求完成下列各題，并將答案填在答題紙的指定位置上。（1）可考慮利用算法來(lái)求的值，其中m為給定的數(shù)據(jù)。右圖算法中，虛線框中所缺的流程，可以為下面A、B、C、D中的_（請(qǐng)?zhí)畛鋈看鸢福ヽba -2a+4cb -5a+7ci i+1caa -2c+4bb -5c+7bi i+1(B) (B) cbb -5a+7ca -2a+4ci i+1ca, db(C) (D)a -2c+4db -5c+7di i+1答案：ACD 3分（2）（證明2分每空1分）我們可證明當(dāng)時(shí)，及均為等比數(shù)列，請(qǐng)按答紙題要求，完成一個(gè)問(wèn)題證明，并填空。證明：是等比數(shù)列，過(guò)程如下：所以是以為首項(xiàng)，以_3_為公比的等比數(shù)列；同理是以為首項(xiàng)，以_2_為公比的等比數(shù)列（3）（每空1分，過(guò)程4分）若將寫(xiě)成列向量形式，則存在矩陣A，使，請(qǐng)回答下面問(wèn)題：寫(xiě)出矩陣A=_ ； 若矩陣，矩陣，其中矩陣只有一個(gè)元素，且該元素為中所有元素的和，請(qǐng)寫(xiě)出滿足要求的一組：_； 矩陣中的唯一元素是_計(jì)算過(guò)程如下：答案：，一組的值可以為，（滿足形式即可） 矩陣中唯一元素為。解：由于矩陣中所有元素的和等于中所有元素的和的和，于是可先求中四個(gè)元素之和。（填空，可利用能進(jìn)行矩陣運(yùn)算的計(jì)算器大概兩分鐘可得出，計(jì)算和分別為4，8，16，32歸納得出中元素之和為，但的通項(xiàng)很難歸納得出）解法一：由，利用問(wèn)題（2），得出于是所以，中元素之和為，從而中所有元素的和為。解法二：由，可知當(dāng)時(shí)，中元素之和就等于，于是由問(wèn)題（2）可知當(dāng)時(shí)，即，于是由，所以，即的元素之和為，從而中所有元素的和為。解法三：注意到，于是所以于是（注：解法三不具有通用性，本題中恰好，于是運(yùn)算可進(jìn)行下去。）