《現(xiàn)代控制理論》第3版課后習題答案

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1 現(xiàn)代控制理論參考答案 第一章答案 1 1 試求圖 1 27 系統(tǒng)的模擬結構圖 并建立其狀態(tài)空間表達式 1Ksp sp1 sJ1sKn2sJb sU 圖 1 2 7 系 統(tǒng) 方 塊 結 構 圖 解 系統(tǒng)的模擬結構圖如下 sU s 圖 1 3 0 雙 輸 入 雙 輸 出 系 統(tǒng) 模 擬 結 構 圖 1Kp1pK1 pnK 1J 2Jb 1x23x45x6x 系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下 2 uKxxXKxJKxJxKxppp pnpb16116354 6154131321 令 則ys 1 所以 系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式及輸出方程表達式為 654321 165432 111112654321001 000000 xxy uKxxKJKJxx ppp pnpb 1 2 有電路如圖 1 28 所示 以電壓 為輸入量 求以電感中的電流和電容上的電壓作為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程 和以電阻 tu 上的電壓作為輸出量的輸出方程 2R R 1 L 1 R 2 L 2 C U U c i 1 i 2 圖 1 2 8 電路圖 3 解 由圖 令 輸出量321 xuixc 2xRy 有電路原理可知 既得 321311xCRL 221332111xRyCxLxu 寫成矢量矩陣形式為 321132211321000 xRy uLxCLRx 1 4 兩輸入 兩輸出 的系統(tǒng) 其模擬結構圖如圖 1 30 所示 試求其狀態(tài)空間表達式和傳遞函數(shù)陣 1u21y2 1 1a3a4a2b1b u2u 1y2y 562a 圖 1 3 0 雙 輸 入 雙 輸 出 系 統(tǒng) 模 擬 結 構 圖 解 系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式如下所示 4321 214324561243210100 xy ubxaax 4 34561200 asasAsI 213456121 00 basBAsIWux 213456121 00 bassICuy 1 5 系統(tǒng)的動態(tài)特性由下列微分方程描述 uyy2375 2 列寫其相應的狀態(tài)空間表達式 并畫出相應的模擬結構圖 解 令 則有 3 21 yxx 32132132 0570 xyuxx 相應的模擬結構圖如下 5 7 3 u y 3 1x23x 2 1 1 6 2 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù) 試求出系統(tǒng)的約旦標準型的實現(xiàn) 并畫出相應的模擬結構圖2 16 ssW 5 解 ssssW3120 3 4 216 22 4321432143211000 xy uxx 1 7 給定下列狀態(tài)空間表達式 321321321000 xyuxx 1 畫出其模擬結構圖 2 求系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 解 2 3102 ssAsIW 1 2 3 2 sI 2 150 3 1 1 ssssAI 3 12 3 1 210 15 3 2 1 3 1sss ssssBsIWux 1 2 1 2 3 0 1 s sssBAsICWuy1 8 求下列矩陣的特征矢量 6 3 67120A 解 A 的特征方程 06167123023 AI 解之得 132 當 時 1 3123126710p 解得 令 得 1321p 1 1321pP 或令 得 1p 1321pP 當 時 21 3213216710p 解得 令 得 123122 pp12 14232pP 或令 得 12 p 2132pP 當 時 31 32132167120p 解得 令 得 131323 pp13 3123pP 1 9 將下列狀態(tài)空間表達式化成約旦標準型 并聯(lián)分解 7 2 3212132132105704xyuxx 解 A 的特征方程 0 3 131242 AI1 32 1 當 時 1 31231204p 解之得 令 得 1321p 1 1321pP 當 時 32 13120421p 解之得 令 得 3221 p 12 0132pP 當 時 3 321321104p 解之得 令 得 32313 p13 1203pP 102T 1021T 4325872101BT 8 30241102CT 約旦標準型 x yux 3024125803 1 10 已知兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為 W1 s 和 W2 s 210 1ssW 0143 2s 試求兩子系統(tǒng)串聯(lián)聯(lián)結和并聯(lián)連接時 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣 并討論所得結果 解 1 串聯(lián)聯(lián)結 2 1 1 43 7532101 2212 ss sss 2 并聯(lián)聯(lián)結 0143201 1 ssWs 1 11 第 3 版教材 已知如圖 1 22 所示的系統(tǒng) 其中子系統(tǒng) 1 2 的傳遞函數(shù)陣分別為 210 1ss 02 s 求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 解 2101201 21 sssW 9 23011201 1 ssIsWI 30 1031 21 ssssI 310 210 231 2103 121 sss sssWsIsW 1 11 第 2 版教材 已知如圖 1 22 所示的系統(tǒng) 其中子系統(tǒng) 1 2 的傳遞函數(shù)陣分別為 11s s W 012 s W 求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 解 2110211 ss s 31 ss WsI 123251211 s s I 25 25 61 83 112 2 335 2125 2222 211sss sss ssssWsIsW1 12 已知差分方程為 3kukyky 試將其用離散狀態(tài)空間表達式表示 并使驅動函數(shù) u 的系數(shù) b 即控制列陣 為 1 b 解法 1 10 2123 2 zzzW 01kuxkx ky 解法 2 331212kxkyux 100kxkyk 求 T 使得 得 所以 1BT 01T 10T 154132011A 03 CT 所以 狀態(tài)空間表達式為 13 154kzkykuz 第二章習題答案 2 4 用三種方法計算以下矩陣指數(shù)函數(shù) Ate 2 A 14 解 第一種方法 令 0IA 則 即 104 214 11 求解得到 13 21 當 時 特征矢量112p 由 得1Ap 112234p 即 可令121234 1 當 時 特征矢量2 12p 由 得2Ap12124p 即 可令12124 2 則 2T 142T 33311104242 2tttttAt t tttteeee 第二種方法 即拉氏反變換法 14sIA 1143ssIs 313ss 1243132ss 12 3311 1242ttttAt tttteeeLsI 第三種方法 即凱萊 哈密頓定理 由第一種方法可知 13 21 33301441ttt tttee 333 3 1102441442ttttAttt tt tttteeeee 2 5 下列矩陣是否滿足狀態(tài)轉移矩陣的條件 如果滿足 試求與之對應的 A 陣 3 4 22tttteet 3311242tttttttteet 解 3 因為 所以該矩陣滿足狀態(tài)轉移矩陣的條件 10I 220 02413ttttt teeA 4 因為 所以該矩陣滿足狀態(tài)轉移矩陣的條件 1I 330 0112442ttttttttteeA 2 6 求下列狀態(tài)空間表達式的解 01xu y 13 初始狀態(tài) 輸入 時單位階躍函數(shù) 10 x ut 解 A10sI 21210sssIA 11At teLsI 因為 0B utI 0txttxBd 011t 01ttd 2tt 21t 201yxt 2 9 有系統(tǒng)如圖 2 2 所示 試求離散化的狀態(tài)空間表達式 設采樣周期分別為 T 0 1s 和 1s 而 和 為分段常數(shù) 1u2 K s 1 2 11 s u 1 X X x 1 u 2 x 2 y 14 圖 2 2 系統(tǒng)結構圖 解 將此圖化成模擬結構圖 K 2 1 u 1 X X x 1 u 2 x 2 y X 列出狀態(tài)方程 11xku 22 1yx 210ukx 12y 則離散時間狀態(tài)空間表達式為 xkGTxkHuk ycD 由 和 得 Ate 0TAtedB 10 1k 21TC 11 00At TseeLsIL 00 1010 TtTTAt TkekkeHddte 當 T 1 時 11 0exxku 2yk 當 T 0 1 時 0 10 1 9 keexxuk 15 12ykxk 第三章習題 3 1 判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀測性 系統(tǒng)中 a b c d 的取值對能控性和能觀性是否有關 若有關 其 取值條件如何 1 系統(tǒng)如圖 3 16 所示 a b c d y u 1 x2x3x4x 圖 3 1 6 系統(tǒng)模擬結構圖 解 由圖可得 344 3212321xydcxxcbxua 狀態(tài)空間表達式為 xy uxdcbax010104324321 由于 與 無關 因而狀態(tài)不能完全能控 為不能控系統(tǒng) 由于 只與 有關 因而系統(tǒng)為不完 2x3 4u y3x 全能觀的 為不能觀系統(tǒng) 3 系統(tǒng)如下式 16 xdcy ubaxx 00120131321 解 如狀態(tài)方程與輸出方程所示 A 為約旦標準形 要使系統(tǒng)能控 控制矩陣 b 中相對于約旦塊的最后一行 元素不能為 0 故有 0 ba 要使系統(tǒng)能觀 則 C 中對應于約旦塊的第一列元素不全為 0 故有 0 dc 3 2 時不變系統(tǒng) Xyu 113 試用兩種方法判別其能控性和能觀性 解 方法一 2 1ABM1 31C系 統(tǒng) 不 能 控 21 rankM 421CAN系 統(tǒng) 能 觀 2 rankN 方法二 將系統(tǒng)化為約旦標準形 4201313AI1 2 1 PA 221 則 狀 態(tài) 矢 量 17 1 T 21 4 01 3 2A1 1BT 20 C 中有全為零的行 系統(tǒng)不可控 中沒有全為 0 的列 系統(tǒng)可觀 BT 1 T 3 3 確定使下列系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀的待定常數(shù) ii 和 1 0 1 21 CbA 解 構造能控陣 21 AbM 要使系統(tǒng)完全能控 則 即21 0121 構造能觀陣 21CA N 要使系統(tǒng)完全能觀 則 即12 021 3 4 設系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是 18270 3 ssauy 1 當 a 取何值時 系統(tǒng)將是不完全能控或不完全能觀的 2 當 a 取上述值時 求使系統(tǒng)的完全能控的狀態(tài)空間表達式 3 當 a 取上述值時 求使系統(tǒng)的完全能觀的狀態(tài)空間表達式 解 1 方法 1 6 3 1 ssauysW 18 系統(tǒng)能控且能觀的條件為 W s 沒有零極點對消 因此當 a 1 或 a 3 或 a 6 時 系統(tǒng)為不能控或不能觀 方法 2 6s15 a3s10 a 6 3 1 ssuy2 XaayuX 15631010 系統(tǒng)能控且能觀的條件為矩陣 C 不存在全為 0 的列 因此當 a 1 或 a 3 或 a 6 時 系統(tǒng)為不能控或不能觀 2 當 a 1 a 3 或 a 6 時 系統(tǒng)可化為能控標準 I 型 x01ayu 10278 x 3 根據(jù)對偶原理 當 a 1 a 2 或 a 4 時 系統(tǒng)的能觀標準 II 型為 x10yu 0a278 x 3 6 已知系統(tǒng)的微分方程為 uyy616 試寫出其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式及其傳遞函數(shù) 解 316020 baa 系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 x06yu 1061 x 傳遞函數(shù)為 61106106A C sI 2311 sssBW 19 其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 x10yu 06 x 傳遞函數(shù)為 61 23 ssW 3 9 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 34862 s s W 試求其能控標準型和能觀標準型 解 345213486 2 sssW 系統(tǒng)的能控標準 I 型為 u x25y104 3 能觀標準 II 型為 u x10y24 3 3 10 給定下列狀態(tài)空間方程 試判別其是否變換為能控和能觀標準型 x10yu 2032 x 解 2103120 CbA 152730bAM 不 能 變 換 為 能 控 標 準 型 系 統(tǒng) 為 不 能 控 系 統(tǒng) 32 rankM 971302CAN 20 以 變 換 為 能 觀 標 準 型 系 統(tǒng) 為 能 觀 系 統(tǒng) 可3 rankN 3 11 試將下列系統(tǒng)按能控性進行分解 1 1 10 34012 CbA 解 rankM 2 3 系統(tǒng)不是完全能控的 931042bAM 構造奇異變換陣 其中 是任意的 只要滿足 滿秩 cR 01321 RAbR 3RcR 即 得 031c 0131c 241cAR 1bRc 12 cR 3 12 試將下列系統(tǒng)按能觀性進行結構分解 1 1 10 34012 CbA 解 由已知得 則有 472312CAN rank N 2 3 該系統(tǒng)不能觀 構造非奇異變換矩陣 有10R 1023 21 則 0 3120R 1100012327xAbuxu 0ycRx 3 13 試將下列系統(tǒng)按能控性和能觀性進行結構分解 1 21 2 1023 CbA 解 由已知得 2602MA rank M 3 則系統(tǒng)能控 2 12574cNA rank N 3 則系統(tǒng)能觀 所以此系統(tǒng)為能控并且能觀系統(tǒng) 取 則2 1602cT 12734534cT 則 1054A 120cBTb 2713cT 3 14 求下列傳遞函數(shù)陣的最小實現(xiàn) 1 1ws 解 0 01B10cA 1c cC 0cD 22 系統(tǒng)能控不能觀 取 則10R 01R 所以 10 1A 10 cB 0 cCR D 所以最小實現(xiàn)為 1mA B1 mC 0 mD 驗證 1CsI wss 3 15 設 和 是兩個能控且能觀的系統(tǒng)1 2 23 12120430221 CbA 1 試分析由 和 所組成的串聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性 并寫出其傳遞函數(shù) 1 2 2 試分析由 和 所組成的并聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性 并寫出其傳遞函數(shù) 解 1 和 串聯(lián)1 2 當 的輸出 是 的輸入 時 1y2 2u312xx 004u 01yx 24130MbA 則 rank M 2 3 所以系統(tǒng)不完全能控 127 4 3 2 21 sssBsICW 當 得輸出 是 的輸入 時2 2y1 1u 010342xxu 210yx 因為 20164MbA rank M 3 則系統(tǒng)能控 因為 2 103654cNA rank N 20 解 因為 滿秩 系統(tǒng)能觀 可構造觀測器 10cNA 系統(tǒng)特征多項式為 所以有 21detdet0I 101 0aL 101TLN 0 于是 1101xTAbuxu ycx 引入反饋陣 使得觀測器特征多項式 12gG 1221detfIAGcg 根據(jù)期望極點得期望特征式 223frr 比較 與 各項系數(shù)得 f f 2213 gr 即 反變換到 x 狀態(tài)下 23rG 20GT 觀測器方程為 22 3103xAcxbuGyrr 34