《抽樣技術(shù)》習(xí)題答案.doc

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第2章 解： 項(xiàng)目 相同之處 不同之處 定義 都是根據(jù)從一個(gè)總體中抽樣得到的樣本，然后定義樣本均值為。 抽樣理論中樣本是從有限總體中按放回的抽樣方法得到的，樣本中的樣本點(diǎn)不會(huì)重復(fù)；而數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的樣本是從無(wú)限總體中利用有放回的抽樣方法得到的，樣本點(diǎn)有可能是重復(fù)的。 性質(zhì) (1) 樣本均值的期望都等于總體均值，也就是抽樣理論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的樣本均值都是無(wú)偏估計(jì)。 (2) 不論總體原來是何種分布，在樣本量足夠大的條件下，樣本均值近似服從正態(tài)分布。 (1) 抽樣理論中，各個(gè)樣本之間是不獨(dú)立的；而數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的各個(gè)樣本之間是相互獨(dú)立的。 (2) 抽樣理論中的樣本均值的方差為，其中。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，，其中為總體的方差。 解：首先估計(jì)該市居民日用電量的95%的置信區(qū)間。根據(jù)中心極限定理可知，在大樣本的條件下，近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， 的的置信區(qū)間為。 而中總體的方差是未知的，用樣本方差來代替，置信區(qū)間為 由題意知道，，而且樣本量為，代入可以求得 。將它們代入上面的式子可得該市居民日用電量的95%置信區(qū)間為。 下一步計(jì)算樣本量。絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限的關(guān)系為。 根據(jù)置信區(qū)間的求解方法可知 根據(jù)正態(tài)分布的分位數(shù)可以知道，所以。也就是。 把代入上式可得，。所以樣本量至少為862。 解：總體中參加培訓(xùn)班的比例為，那么這次簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的的估計(jì)值的方差，利用中心極限定理可得在大樣本的條件下近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。在本題中，樣本量足夠大，從而可得的的置信區(qū)間為。 而這里的是未知的，我們使用它的估計(jì)值。所以總體比例的的置信區(qū)間可以寫為，將代入可得置信區(qū)間為。 解：利用得到的樣本，計(jì)算得到樣本均值為，從而估計(jì)小區(qū)的平均文化支出為144.5元?？傮w均值的的置信區(qū)間為，用來估計(jì)樣本均值的方差。 計(jì)算得到，則，，代入數(shù)值后計(jì)算可得總體均值的95%的置信區(qū)間為。 解：根據(jù)樣本信息估計(jì)可得每個(gè)鄉(xiāng)的平均產(chǎn)量為1 120噸，該地區(qū)今年的糧食總產(chǎn)量的估計(jì)值為（噸）。 總體總值估計(jì)值的方差為，總體總值的的置信區(qū)間為，把 代入，可得糧食總產(chǎn)量的的置信區(qū)間為。 解：首先計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣條件下所需要的樣本量，把帶入公式，最后可得。 如果考慮到有效回答率的問題，在有效回答率為70%時(shí)，樣本量應(yīng)該最終確定為。 解：去年的化肥總產(chǎn)量和今年的總產(chǎn)量之間存在較強(qiáng)的相關(guān)性，而且這種相關(guān)關(guān)系較為穩(wěn)定，所以引入去年的化肥產(chǎn)量作為輔助變量。于是我們采用比率估計(jì)量的形式來估計(jì)今年的化肥總產(chǎn)量。去年化肥總產(chǎn)量為。利用去年的化肥總產(chǎn)量，今年的化肥總產(chǎn)量的估計(jì)值為噸。 解：本題中，簡(jiǎn)單估計(jì)量的方差的估計(jì)值為=37.17。 利用比率估計(jì)量進(jìn)行估計(jì)時(shí)，我們引入了家庭的總支出作為輔助變量，記為。文化支出屬于總支出的一部分，這個(gè)主要變量與輔助變量之間存在較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，而且它們之間的關(guān)系是比較穩(wěn)定的，且全部家庭的總支出是已知的量。 文化支出的比率估計(jì)量為，通過計(jì)算得到，而，則，文化支出的比率估計(jì)量的值為（元）。 現(xiàn)在考慮比率估計(jì)量的方差，在樣本量較大的條件下，，通過計(jì)算可以得到兩個(gè)變量的樣本方差為，之間的相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值為，代入上面的公式，可以得到比率估計(jì)量的方差的估計(jì)值為。這個(gè)數(shù)值比簡(jiǎn)單估計(jì)量的方差估計(jì)值要小很多。全部家庭的平均文化支出的的置信區(qū)間為，把具體的數(shù)值代入可得置信區(qū)間為。 接下來比較比估計(jì)和簡(jiǎn)單估計(jì)的效率，，這是比估計(jì)的設(shè)計(jì)效應(yīng)值，從這里可以看出比估計(jì)量比簡(jiǎn)單估計(jì)量的效率更高。 解：利用簡(jiǎn)單估計(jì)量可得，樣本方差為，，樣本均值的方差估計(jì)值為。 利用回歸估計(jì)的方法，在這里選取肉牛的原重量為輔助變量。選擇原重量為輔助變量是合理的，因?yàn)槿馀５脑亓吭诤艽蟪潭壬嫌绊懼馀５默F(xiàn)在的重量，二者之間存在較強(qiáng)的相關(guān)性，相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值為，而且這種相關(guān)關(guān)系是穩(wěn)定的，這里肉牛的原重量的數(shù)值已經(jīng)得到，所以選擇肉牛的原重量為輔助變量。 回歸估計(jì)量的精度最高的回歸系數(shù)的估計(jì)值為?，F(xiàn)在可以得到肉牛現(xiàn)重量的回歸估計(jì)量為，代入數(shù)值可以得到。 回歸估計(jì)量的方差為，方差的估計(jì)值為，代入相應(yīng)的數(shù)值， ，顯然有。在本題中，因?yàn)榇嬖谌馀Ｔ亓窟@個(gè)較好的輔助變量，所以回歸估計(jì)量的精度要好于簡(jiǎn)單估計(jì)量。 第3章 3.3 解：(1) 首先計(jì)算出每層的簡(jiǎn)單估計(jì)量，分別為，其中，，則每個(gè)層的層權(quán)分別為； 則利用分層隨機(jī)抽樣得到該小區(qū)居民購(gòu)買彩票的平均支出的估計(jì)量，代入數(shù)值可以得到。 購(gòu)買彩票的平均支出的的估計(jì)值的方差為，此方差的估計(jì)值為，根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算可以得到每層的樣本方差分別為： 其中，代入數(shù)值可以求得方差的估計(jì)值為，則估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差為。 (2)由區(qū)間估計(jì)可知相對(duì)誤差限滿足 所以，。 樣本均值的方差為，（提1/n出去）從而可以得到在置信度為，相對(duì)誤差限為條件下的樣本量為。 ①對(duì)于比例分配而言，有成立，那么，把相應(yīng)的估計(jì)值和數(shù)值代入后可以計(jì)算得到樣本量為，相應(yīng)的在各層的樣本量分別為。 ②按照內(nèi)曼分配時(shí)，樣本量在各層的分配滿足，這時(shí)樣本量的計(jì)算公式變?yōu)?，把相?yīng)的數(shù)值代入后可得，在各層中的分配情況如下：。 3.5 解：總體總共分為10個(gè)層，每個(gè)層中的樣本均值已經(jīng)知道，層權(quán)也得到，從而可以計(jì)算得到該開發(fā)區(qū)居民購(gòu)買冷凍食品的平均支出的估計(jì)值為。 下一步計(jì)算平均支出的95%的置信區(qū)間，首先計(jì)算購(gòu)買冷凍食品的平均支出的估計(jì)值的方差，其中，但是每層的方差是未知，則樣本平均支出的方差的估計(jì)值為，每個(gè)層的樣本標(biāo)準(zhǔn)差已知，題目中已經(jīng)注明各層的抽樣比可以忽略，計(jì)算可以得到。則這個(gè)開發(fā)區(qū)的居民購(gòu)買冷凍食品的平均支出置信區(qū)間為 代入數(shù)值后，可得最終的置信區(qū)間為。 3.6 解：首先計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方差，根據(jù)各層的層權(quán)和各層的總體比例可以得到總體的比例為，則樣本量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的樣本比例的方差為 ，不考慮有限總體校正系數(shù)，，其中， 在的條件下，通過簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本比例的方差為 通過分層抽樣得到的樣本比例的方差為，但是因?yàn)椴豢紤]有 限總體校正系數(shù)，而且抽樣方式是比例抽樣，所以有成立，樣本比例的方差近似為。對(duì)于每一層，分別有，在的條件下，近似的有成立，有 樣本量應(yīng)該滿足，同時(shí)這里要求分層隨機(jī)抽樣得到的估計(jì)的方差和簡(jiǎn)單抽 樣的方差是相同的，，層權(quán)分別為，代入數(shù)值，可以計(jì)算得到最終的樣本量為。 第4章 4.1解:由題意知,平均每戶家庭的訂報(bào)份數(shù)為:M=3，n=10 (份) 總的訂報(bào)份數(shù)為: (份) =0.358 333 所以估計(jì)方差為: =0.008 869 =141 900 4.3解:該集團(tuán)辦公費(fèi)用總支出額為: =48/10(83+62+…+67+80)=3 532.8(百元) =72 765.44 =269.750 7(百元) 所以其置信度為95%的置信區(qū)間為:[3 004.089 , 4 061.511] 4.4解:=52.3 所以整個(gè)林區(qū)樹的平均高度為: =5.9(米)更正除以n 其估計(jì)的方差為: =0.06 所以其估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤為: =0.246(米) 其95%的置信區(qū)間為:[5.42 ,6.38] 5.6 解：(1) 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣簡(jiǎn)單估計(jì)量為：10,9,5,2,4。 均方誤差為： (2) 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣比估計(jì)為： ①聯(lián)合比估計(jì)： 聯(lián)合比估計(jì)估計(jì)量為：，因此 均方誤差為： ②分別比估計(jì)： 分別比估計(jì)估計(jì)量為：12.453 33，8.895 238，5.337 143，1.779 048，3.558 095，因此， 均方誤差為： （3）pps抽樣。 10 7 0.388 889 9 5 0.277 778 5 3 0.166 667 2 1 0.055 556 4 2 0.111 111 PPS抽樣漢森-赫維茨估計(jì)量：5.142 857，6.48，6，7.2，7.2，因此 均方誤差為： 通過以上計(jì)算可以看出，PPS抽樣漢森-赫維茨估計(jì)量的均方誤差最小；其次是簡(jiǎn)單估計(jì)量的均方誤差；兩種比估計(jì)的均方誤差相差不大，但都要大于漢森-赫維茨和簡(jiǎn)單估計(jì)量的均方誤差。 根據(jù)漢森-赫維茨估計(jì)量的計(jì)算公式可得 第6章 6.3解：將40個(gè)人依次編號(hào)為1～40號(hào)，且將這些編號(hào)看成首尾相接的一個(gè)環(huán)。 已知總體容量N=40，樣本量n=7。由于N/n=5.7，取最接近5.7但不大于的整數(shù)6，則抽樣間距k=5。些時(shí)樣本量修改為n=8 由于隨機(jī)起點(diǎn)r=5，則其余樣本點(diǎn)依次為10，15，20，25，30，35，40 因此，用循環(huán)等距抽樣方法抽出的樣本單元序號(hào)為5，10，15，20，25，30，35，40 6.7解：已知總體容量N=15，總體均值。 樣本量n=3，抽樣間距k=N/n=5。 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣： 系統(tǒng)抽樣： 其中 “系統(tǒng)樣本” 隨機(jī)起點(diǎn)號(hào)碼r “系統(tǒng)樣本” 的單元組成 “系統(tǒng)樣本” 樣本均值 1 2 3 4 5 1，6，11 2，7，12 3，8，13 4，9，14 5，10，15 6 7 8 9 10 第7章 7.1解:根據(jù)表中數(shù)據(jù),可計(jì)算各層的權(quán)重: =0.17, =0.25, =0.28, =0.22, =0.08 全縣棉花的種植面積為: =0.1790/17+0.251 806/25 +0.284 423/28+0.225 607/22+0.084 101/8 =164.27 7.3 解:由題知=602,由表內(nèi)數(shù)據(jù)計(jì)算得 =568.583 3 ,=568.25,1.000 587，=256 154.9 ,=278 836.9 ,=256 262 根據(jù)式(7.11),該地區(qū)當(dāng)年平均每村牛的年末頭數(shù)為: 602(頭) 所以該地區(qū)年末牛的總頭數(shù)為： 745 713(頭) 7.5解:由題意知: n1=300, n2=200, m=62,該保護(hù)區(qū)現(xiàn)有羚羊總數(shù)為: (頭) 其抽樣的標(biāo)準(zhǔn)誤為: (頭) 7.6 解:(1)由題意知: n1=7, n2=12, m=4,該地區(qū)漁民總數(shù)為: (人) 其抽樣的標(biāo)準(zhǔn)誤為: (人) 其95%的置信區(qū)間為: =[12,28] (2) 由題意知: n1=16, n2=19, m=11,該地區(qū)漁民總數(shù)為: (人) 其抽樣的標(biāo)準(zhǔn)誤為: (人) 其95%的置信區(qū)間為: =[22,34] 12