高中數(shù)學(xué)第七章《數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法》.doc

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高中數(shù)學(xué)第七章《數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法》 第二節(jié)《等差數(shù)列》教學(xué)目標(biāo)雙向表 學(xué)習(xí)水平 學(xué)習(xí)內(nèi)容 知識 技能與方法 情感 檢測方法 識記（A） 理解（B） 簡單應(yīng)用（C） 綜合應(yīng)用（D） 實際應(yīng)用（E） 興趣（F） 價值（G） 定義 觀察等差數(shù)列例子 √ 1。通過介紹著名數(shù)學(xué)家高斯小時候的故事激發(fā)學(xué)生研究等差數(shù)列的熱情。 2．通過實際的等差數(shù)列問題引起學(xué)生應(yīng)用數(shù)列的興趣 體會通過建立等差數(shù)列的數(shù)學(xué)模型解決實際問題的價值 口述回答 總結(jié)等差數(shù)列定義 √ 口述回答 分析等差數(shù)列定義 √ 口述回答 等差中項 等差中項定義 √ 口述回答 等差中項的特點 √ 口述回答 等差中項的充要條件 √ 證明題 遞推公式 由等差數(shù)列定義得出等差數(shù)列遞推公式 √ 口述回答 等差數(shù)列遞推公式應(yīng)用 √ 簡答或證明題 通項公式 復(fù)習(xí)數(shù)列通項公式概念 √ 口述回答 由等差數(shù)列遞推公式通過不完全歸納法推導(dǎo)等差數(shù)列通項公式 √ 口述回答 分析等差數(shù)列通項公式：知三求一 √ 簡答題 從函數(shù)角度理解通項公式 √ 口述回答 等差數(shù)列通項公式應(yīng)用 √ √ 簡答題 前 N 項和公式 任意數(shù)列前n項和表示方法 √ 口述回答 舉例高斯解決簡單等差數(shù)列前n項和的方法 √ 口述回答 用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式 √ √ 簡答題 分析等差數(shù)列前n項和公式：知三求二 √ 簡答題 從函數(shù)角度理解等差數(shù)列求和公式 √ 口述回答 等差數(shù)列前n項和公式應(yīng)用 √ √ √ 簡答題 說明： （A）：能再現(xiàn)或回憶數(shù)學(xué)知識 （B）：能正確地認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)特征或聯(lián)系 （C）：能正確地使用單一知識點的能力 （D）：能正確并靈活地融合多個知識點的能力 （E）：能應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力（建立簡單的數(shù)學(xué)模型） （F）：能激發(fā)學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種心理傾向 （G）：能體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義 《等差數(shù)列》（4課時）教學(xué)設(shè)計建議 一、教學(xué)內(nèi)容分析 （一）教材分析 1、教材的地位和作用： 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面,數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對數(shù)列的知識進一步深入和拓廣。同時等差數(shù)列也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供了學(xué)習(xí)類比的依據(jù)。 2、教學(xué)目標(biāo)： 　 1.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列前 項和的公式，并能運用通項公式及前 項和的公式解決簡單的問題. （1）了解公差的概念，明確一個數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，了解等差中項的概念； 　　（2）能靈活運用通項公式求等差數(shù)列的首項、公差、項數(shù)、指定的項； 　?。?）能通過通項公式與圖像認(rèn)識等差數(shù)列的性質(zhì)，能用圖像與通項公式的關(guān)系解決某些問題. （4）了解等差數(shù)列前 項和的定義，了解倒序相加的原理，理解等差數(shù)列前 項和公式推導(dǎo)的過程，記憶公式的兩種形式； （5）用方程思想認(rèn)識等差數(shù)列前 項和的公式，利用公式求 ；等差數(shù)列通項公式與前 項和的公式兩套公式涉及五個字母，已知其中三個量求另兩個值； 2.通過等差數(shù)列的圖像的應(yīng)用，進一步滲透數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想；通過等差數(shù)列通項公式及前項和公式的運用，滲透方程思想 3.通過公式的推導(dǎo)和公式的運用，使學(xué)生體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思維規(guī)律，初步形成認(rèn)識問題，解決問題的一般思路和方法. 4.通過公式的推導(dǎo)過程，展現(xiàn)數(shù)學(xué)中的對稱美；通過有關(guān)內(nèi)容在實際生活中的應(yīng)用，使學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活的實用性，引導(dǎo)學(xué)生要善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問題，并數(shù)學(xué)地解決問題. （二）重點難點 1．重點： （1）等差數(shù)列的概念； （2）等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)及應(yīng)用； （3）等差數(shù)列前 項和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。 2．難點： （1）等差數(shù)列通項公式及前 項和公式的推導(dǎo)方法； （2）公式的靈活運用。 二、教學(xué)方法建議 （一）學(xué)情分析 通過高中數(shù)學(xué)一年的學(xué)習(xí)，現(xiàn)在的學(xué)生知識經(jīng)驗已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，所以在授課時應(yīng)注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點，從而促進思維能力的進一步發(fā)展。 （二）教學(xué)方法 1．等差數(shù)列的定義及遞推公式 （1）等差數(shù)列定義的引出可先給出幾組等差數(shù)列，讓學(xué)生觀察、比較，概括共同規(guī)律，再由學(xué)生嘗試說出等差數(shù)列的定義，對程度差的學(xué)生可以提示定義的結(jié)構(gòu)：“……的數(shù)列叫做等差數(shù)列”，由學(xué)生把限定條件一一列舉出來，為等比數(shù)列的定義作準(zhǔn)備．如果學(xué)生給出的定義不準(zhǔn)確，可讓學(xué)生研究討論，用符合學(xué)生的定義但不是等差數(shù)列的數(shù)列作為反例，再由學(xué)生修改其定義，逐步完善定義． 師生共同總結(jié)得出等差數(shù)列的概念： 如果一個數(shù)列,從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數(shù)，這個數(shù)列就叫等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d來表示。 強調(diào)：① “從第二項起”滿足條件； ②公差d一定是由后項減前項所得； ③每一項與它的前一項的差必須是同一個常數(shù)（強調(diào)“同一個常數(shù)” ）； 在理解概念的基礎(chǔ)上，由學(xué)生阿將等差數(shù)列的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，歸納出數(shù)學(xué)表達式，即等差數(shù)列的遞推公式：或 說明：判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列用等差數(shù)列的定義即遞推公式。 （2）例題 例3和例5即根據(jù)等差數(shù)列定義及遞推公式證明數(shù)列為等差數(shù)列。 2．等差中項 三個數(shù)a、A、b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，A叫做等差中項，等差中項等于另兩項的算術(shù)平均數(shù)。 通過推理論證得出：a、A、b所成的數(shù)列中，A是等差中項。 三項數(shù)的中項是否是另外兩項的算術(shù)平均數(shù)是用來驗證三項數(shù)是否成等差數(shù)列的簡捷方法，也是檢驗有限項數(shù)列是否成等差數(shù)列的方法之一。 3．等差數(shù)列的通項公式 若一等差數(shù)列{an }的首項是a1,公差是d, 則據(jù)其定義可得： a2- a1=d 即： a2=a1+d a3– a2=d 即： a3=a2+d = a1+2d a4– a3=d 即： a4=a3+d = a1+3d …… 猜想: a40= a1+39d 進而歸納出等差數(shù)列的通項公式： an=a1+(n-1)d 此時指出：這種求通項公式的方法叫不完全歸納法，這種導(dǎo)出公式的方法不夠嚴(yán)密，為了培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，強調(diào)需要加以證明，這種方法就完善了，為以后的數(shù)學(xué)歸納法打下伏筆。 接著舉例說明：若一個等差數(shù)列｛an｝的首項是１，公差是２，得出這個數(shù)列的通項公式是：an=1+(n-1)2 ， 即an=2n-1 以此來鞏固等差數(shù)列通項公式運用。 同時要求畫出該數(shù)列圖象，由此說明等差數(shù)列是關(guān)于正整數(shù)n一次函數(shù)，其圖像是均勻排開的無窮多個孤立點。用函數(shù)的思想來研究數(shù)列，使數(shù)列的性質(zhì)顯現(xiàn)得更加清楚。 例1主要練習(xí)對等差數(shù)列通項公式的直接使用、“知三求一”，滲透方程的思想，以及基本量的使用。 例2和例6練習(xí)等差數(shù)列及其通項公式在實際生活中的使用，培養(yǎng)學(xué)生從實際問題中抽象數(shù)學(xué)模型的能力。 進一步從一次函數(shù)角度（）并結(jié)合圖像理解等差數(shù)列通項公式。 4．等差數(shù)列前n項和公式 本節(jié)內(nèi)容是等差數(shù)列前 項和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，首先通過具體的例子1+2+3+…+100=？引入高斯求解本題的方法，讓學(xué)生從中得到一些啟發(fā)，思考：對于一般的等差數(shù)列是否可以借鑒這種方法？之后在教師的啟發(fā)之下用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式:①并加以簡單應(yīng)用；再與等差數(shù)列通項公式組成方程組，推導(dǎo)等差數(shù)列求和的另一公式：②。 強調(diào)：（1）掌握推導(dǎo)公式的方法：倒序相加法； （2）分析兩公式：兩個公式中共涉及到5個量，任意知道其中3個可求其余2個，即“知三求二”，滲透方程的思想； （3）分析兩公式，能夠恰當(dāng)?shù)剡x擇適當(dāng)?shù)墓剑绕涫堑诙€公式中注意基本量和d的使用； （4）分析公式②，可變形為，從函數(shù)角度理解等差數(shù)列前n項和公式。 例7練習(xí)對于等差數(shù)列求和公式的使用。 例8練習(xí)用基本量和d求等差數(shù)列前n項和公式，滲透方程思想。 例9是通過數(shù)列的求和公式求數(shù)列的通項公式，使數(shù)列的和與項之間建立起關(guān)系，即項和關(guān)系式。這是本節(jié)內(nèi)容的一個綜合應(yīng)用，同時也可推廣到從函數(shù)角度理解等差數(shù)列的求和公式。 《等差數(shù)列》（4課時）教學(xué)效果檢測 課內(nèi)檢測題： 一、等差數(shù)列及其通項公式（1） 1、下列數(shù)列中成等差數(shù)列的是（ ） A 0,1,3,5,7； B C D 2、如果命題甲為：△ABC中有一個內(nèi)角為，命題乙為：△ABC的三個內(nèi)角的度數(shù)可以構(gòu)成等差數(shù)列，那么命題甲是命題乙的（ ） A 充分非必要條件； B 必要非充分條件； C 充要條件； D既非充分又非必要條件。 3、已知數(shù)列是等差數(shù)列，如果那么__________。 4、已知數(shù)列是等差數(shù)列，如果，那么d=__________。 5、1與9的等差中項A=__________。 6、對大氣、水土等生產(chǎn)條件有嚴(yán)格國家認(rèn)證標(biāo)準(zhǔn)的有機食物越來越受到消費者的青睞，某有機谷物的生產(chǎn)地，今年種植有機谷物的面積為1萬畝，為適應(yīng)市場需求，計劃每年新增種植面積3千畝，要使種植面積超過3萬畝，多少年后才能實現(xiàn)目標(biāo)？ 等差數(shù)列及其通項公式（2） 1、 在等差數(shù)列中， （1） 如果那么d=__________； （2） 如果，，那么__________； （3） 如果，那么n=__________。 2、 如果正整數(shù)p、q、l、k滿足p+q=l+k,數(shù)列是等差數(shù)列，那么，試判斷這個命題及其逆命題的真假，并說明理由。 等差數(shù)列及其通項公式（3） 1、 已知a、b、c是等差數(shù)列，求證：b+c、c+a、a+b是等差數(shù)列。 2、 已知一個無窮等差數(shù)列的首項為，公差為d, （1） 將數(shù)列中的前m項去掉，其余各項依原來的先后次序組成一個新數(shù)列，這個新數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是，它的首項和公差分別是多少？ （2） 取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項，依原來的先后次序組成一個新數(shù)列，這個新數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是，它的首項和公差分別是多少？ 3、 在8與36中間插入6個數(shù)，使這8個數(shù)成等差數(shù)列，求所插入的6個數(shù)。 4、 一架木梯從下至上共有11級，它們的寬度成等差數(shù)列，最下一級寬57厘米，最上一級寬37厘米，求這架木梯中間各級的寬度。 二、等差數(shù)列前n項和公式 1、已知數(shù)列是等差數(shù)列，它的前n項和為，，求。 2、已知數(shù)列是等差數(shù)列，它的前n項和為，，求。 3、已知，求n。 4、已知數(shù)列是等差數(shù)列，它的前n項和為，，求。 課后檢測題： 一、等差數(shù)列及其通項公式 1、判斷下列數(shù)列中，那些是等差數(shù)列。是等差數(shù)列的，請寫出等差數(shù)列的公差d。 （1）1，11，121． （2）1，2，1 （3）。 （4）2，2，2。 2、已知數(shù)列是等差數(shù)列，請在下表中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)： 公差d -3 6 -5 2 3、根據(jù)所寫的條件填寫下表： d n 等差數(shù)列 5 10 12 等差數(shù)列 -5 6 61 4、已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，求這個數(shù)列的通項公式。 5、已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，求與。 6、已知數(shù)列是等差數(shù)列，且設(shè)與的等差中項為x，與x的等差中項為y，x與的等差中項為z,求x+y+z。 7、分別求下列兩題中兩數(shù)的等差中項： （1）與； （2）與。 8、已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列。 9、已知三個數(shù)成等差數(shù)列，首末兩項之積為中間項的5倍，后兩項的和為第一項的8倍，求這三個數(shù)。 10、已知非零實數(shù)a、b、c不全相等，如果a、b、c成等差數(shù)列，那么能不能構(gòu)成等差數(shù)列？為什么？ 11、已知數(shù)列是等差數(shù)列， （1）是否成立？為什么？ （2）求證：。 （3）由第（2）題你可以推廣出怎樣的結(jié)論？ 12、夏季高山上的溫度從山腳起每升高100米降低，已知山腳的溫度是，山頂?shù)臏囟仁?，求山的相對高度? 13、某產(chǎn)品按質(zhì)量分成10個檔次，生產(chǎn)最低檔次的利潤是8元/件，每提高一個檔次，利潤每件增加2元，產(chǎn)量減少3件。如果在某段時間內(nèi)，最低檔的產(chǎn)品可生產(chǎn)60件，那么在相同時間內(nèi)，生產(chǎn)第幾檔次的產(chǎn)品可獲得最大利潤？（最低檔次為第1檔） 14、已知a,b,c,d成等差數(shù)列，求證：2a-3b,2b-3c,2c-3d成等差數(shù)列。 15、如果數(shù)列是項數(shù)相同的兩個等差數(shù)列，p,q是常數(shù)，那么數(shù)列是等差數(shù)列嗎？為什么？ 16、已知數(shù)列的各項均不為零，且，。求證：數(shù)列是等差數(shù)列。 二、等差數(shù)列前n項和公式 1、已知等差數(shù)列分別滿足下列條件，求解相應(yīng)問題。 （1），求。 （2），求。 （3），求d。 （4），求。 2、已知等差數(shù)列的第6項是5，第3項與第8項的和也是5，求這個數(shù)列的前9項和。 3、求100以內(nèi)能被7整除的所有正整數(shù)的和。 4、某禮堂有18排座位，第1排有26個座位，以后每一排都比前一排多2個座位，這個禮堂共能坐多少人? 5、某單位開發(fā)了一個受政府扶持的新項目，得到政府無息貸款50萬元用于購買設(shè)備，已知該設(shè)備在使用過程中第一天使用費是101元，……，第n天使用費是（100+n）元。如果總費用=購置費+使用費，那么使用多少天后，平均每天的費用最低？ 6、已知等差數(shù)列的前15項和為135，求這個數(shù)列的第8項。 7、已知等差數(shù)列的前5項和為0，前10項和為-100，求這個數(shù)列的前20項和。 8已知數(shù)列的前n項和為，求證：數(shù)列是等差數(shù)列。 9、已知數(shù)列的前n項和為，判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列，并說明理由。 選校網(wǎng) www.xuanxiao.com 高考頻道 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 (按ctrl 點擊打開) 選校網(wǎng)（www.xuanxiao.com）是為高三同學(xué)和家長提 供高考選校信息的一個網(wǎng)站。國內(nèi)目前有2000多所高校，高考過后留給考生和家長選校的時間緊、高校多、專業(yè)數(shù)量更是龐大，高考選校信息紛繁、復(fù)雜，高三 同學(xué)在面對高考選校時會不知所措。選校網(wǎng)就是為考生整理高考信息，這里有1517專業(yè)介紹，近2000所高校簡介、圖片、視頻信息。選校網(wǎng)，力致成為您最 強有力的選校工具！ 產(chǎn)品介紹： 1.大學(xué)搜索：介紹近2000所高校最詳細(xì)的大學(xué)信息，包括招生簡章，以及考生最需要的學(xué)校招生辦公室聯(lián)系方式及學(xué)校地址等. 2.高校專業(yè)搜索：這里包含了中國1517個專業(yè)介紹，考生查詢專業(yè)一目了然，同時包含了專業(yè)就業(yè)信息，給考生報考以就業(yè)參考。 3.圖片搜索：這里有11萬張全國高校清晰圖片，考生查詢學(xué)校環(huán)境、校園風(fēng)景可以一覽無余。4視頻搜索：視頻搜索包含了6162個視頻信息，大學(xué)視頻、城市視頻、訪談視頻都會在考生選校時給考生很大幫助。 5.問答：對于高考選校信息或者院校還有其他疑問將自己的問題寫在這里，你會得到詳盡解答。6新聞：高考新聞、大學(xué)新聞、報考信息等欄目都是為考生和家長量身定做，和同類新聞網(wǎng)站相比更有針對性。 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