高中數學 第二章 柯西不等式與排序不等式及其應用 2.3 平均值不等式（選學）課件 新人教B版選修4-5.ppt
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2 3平均值不等式 選學 1 了解算術平均 幾何平均 調和平均的概念 2 理解定理的意義及作用 了解定理的推證過程 3 能夠靈活應用定理證明求解一些簡單問題 1 有關概念 2 定理定理1 算術 幾何平均值不等式 簡稱平均值不等式 2 推論1 設a1 a2 an為n個正數 且a1a2 an 1 則a1 a2 an n 且等號成立 a1 a2 an 1 3 推論2 設C為常數 且a1 a2 an為n個正數 則當a1 a2 an nC時 a1a2 an Cn 且等號成立 a1 a2 an 定理2 定理3 加權平均不等式 做一做1 下列命題是假命題的是 答案 A 做一做2 已知x y z 0 且2x 3y 5z 6 則xyz的最大值為 平均值不等式的應用條件是什么 剖析 一正 不論是三個數的或者n個數的平均值不等式 都要求這三個數或者n個數都是正數 否則不等式是不成立的 二定 包含兩類求最值問題 一是已知n個正數的和為定值 即a1 a2 an為定值 求其積a1a2 an的最大值 二是已知乘積a1a2 an為定值 求其和a1 a2 an的最小值 三相等 取等號的條件是a1 a2 an 不能只有其中一部分相等 題型一 題型二 題型三 題型四 利用平均值不等式證明不等式 分析 觀察求證式子的結構 通過變形轉化為用平均值不等式證明 題型一 題型二 題型三 題型四 反思不等式的證明方法較多 關鍵是從式子的結構入手進行分析 找到證明不等式的突破口 使其出現平均值不等式的形式 題型一 題型二 題型四 題型三 利用平均值不等式求最值 分析 對于x2 1 5x 視x2與1 5x為兩項 其和不可能為定值 應把x2拆為兩項x x 故x x 1 5x 這三項同時配系數才能使和為定值 題型一 題型二 題型四 題型三 反思本題采用的方法是拆項 把x2變?yōu)閤 x 再配系數的方法 請思考采用下面的變形錯在什么地方 題型一 題型二 題型三 題型四 平均值不等式的應用 例3 某同學在電腦城組裝了一臺電腦 總費用為3600元 假定在電腦的使用過程中 維修費平均為 第一年200元 第二年400元 第三年600元 依等差數列逐年遞增 問 這臺電腦使用多少年報廢最合算 分析 要求電腦使用多少年報廢最合算 實際上是求使用多少年的平均費用最少 這種年平均費用一般由兩部分組成 一部分是電腦成本的平均值 另一部分是電腦維修費用的平均值 這樣 電腦的最值報廢年限 即 年平均消耗費用 年均成本費 年均維修費 電腦最佳報廢年限 年均消耗費用最低的年限 因此 需建立年平均費用y與使用年數x的函數關系式 題型一 題型二 題型三 題型四 所以當x 6 年 時 y有最小值 即這臺電腦使用6年報廢最合算 題型一 題型二 題型三 題型四 易錯辨析易錯點 忽視應用平均值不等式求最值應具備的 一正 二定 三相等 而致錯 題型一 題型二 題型三 題型四 1234 1若x y R 且xy 0 x2y 2 則xy x2的最小值是 答案 3 1234 1234 1234 4求證 在表面積一定的長方體中 以正方體的體積最大 證明 設長方體的三條相交于同一頂點的棱長分別為x y z 則長方體的體積為V xyz 表面積A 2xy 2yz 2zx 根據平均值不等式
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