高中數(shù)學(xué) 第二章 柯西不等式與排序不等式及其應(yīng)用 2.3 平均值不等式（選學(xué)）課件 新人教B版選修4-5.ppt

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2 3平均值不等式 選學(xué) 1 了解算術(shù)平均 幾何平均 調(diào)和平均的概念 2 理解定理的意義及作用 了解定理的推證過(guò)程 3 能夠靈活應(yīng)用定理證明求解一些簡(jiǎn)單問(wèn)題 1 有關(guān)概念 2 定理定理1 算術(shù) 幾何平均值不等式 簡(jiǎn)稱平均值不等式 2 推論1 設(shè)a1 a2 an為n個(gè)正數(shù) 且a1a2 an 1 則a1 a2 an n 且等號(hào)成立 a1 a2 an 1 3 推論2 設(shè)C為常數(shù) 且a1 a2 an為n個(gè)正數(shù) 則當(dāng)a1 a2 an nC時(shí) a1a2 an Cn 且等號(hào)成立 a1 a2 an 定理2 定理3 加權(quán)平均不等式 做一做1 下列命題是假命題的是 答案 A 做一做2 已知x y z 0 且2x 3y 5z 6 則xyz的最大值為 平均值不等式的應(yīng)用條件是什么 剖析 一正 不論是三個(gè)數(shù)的或者n個(gè)數(shù)的平均值不等式 都要求這三個(gè)數(shù)或者n個(gè)數(shù)都是正數(shù) 否則不等式是不成立的 二定 包含兩類求最值問(wèn)題 一是已知n個(gè)正數(shù)的和為定值 即a1 a2 an為定值 求其積a1a2 an的最大值 二是已知乘積a1a2 an為定值 求其和a1 a2 an的最小值 三相等 取等號(hào)的條件是a1 a2 an 不能只有其中一部分相等 題型一 題型二 題型三 題型四 利用平均值不等式證明不等式 分析 觀察求證式子的結(jié)構(gòu) 通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為用平均值不等式證明 題型一 題型二 題型三 題型四 反思不等式的證明方法較多 關(guān)鍵是從式子的結(jié)構(gòu)入手進(jìn)行分析 找到證明不等式的突破口 使其出現(xiàn)平均值不等式的形式 題型一 題型二 題型四 題型三 利用平均值不等式求最值 分析 對(duì)于x2 1 5x 視x2與1 5x為兩項(xiàng) 其和不可能為定值 應(yīng)把x2拆為兩項(xiàng)x x 故x x 1 5x 這三項(xiàng)同時(shí)配系數(shù)才能使和為定值 題型一 題型二 題型四 題型三 反思本題采用的方法是拆項(xiàng) 把x2變?yōu)閤 x 再配系數(shù)的方法 請(qǐng)思考采用下面的變形錯(cuò)在什么地方 題型一 題型二 題型三 題型四 平均值不等式的應(yīng)用 例3 某同學(xué)在電腦城組裝了一臺(tái)電腦 總費(fèi)用為3600元 假定在電腦的使用過(guò)程中 維修費(fèi)平均為 第一年200元 第二年400元 第三年600元 依等差數(shù)列逐年遞增 問(wèn) 這臺(tái)電腦使用多少年報(bào)廢最合算 分析 要求電腦使用多少年報(bào)廢最合算 實(shí)際上是求使用多少年的平均費(fèi)用最少 這種年平均費(fèi)用一般由兩部分組成 一部分是電腦成本的平均值 另一部分是電腦維修費(fèi)用的平均值 這樣 電腦的最值報(bào)廢年限 即 年平均消耗費(fèi)用 年均成本費(fèi) 年均維修費(fèi) 電腦最佳報(bào)廢年限 年均消耗費(fèi)用最低的年限 因此 需建立年平均費(fèi)用y與使用年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式 題型一 題型二 題型三 題型四 所以當(dāng)x 6 年 時(shí) y有最小值 即這臺(tái)電腦使用6年報(bào)廢最合算 題型一 題型二 題型三 題型四 易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn) 忽視應(yīng)用平均值不等式求最值應(yīng)具備的 一正 二定 三相等 而致錯(cuò) 題型一 題型二 題型三 題型四 1234 1若x y R 且xy 0 x2y 2 則xy x2的最小值是 答案 3 1234 1234 1234 4求證 在表面積一定的長(zhǎng)方體中 以正方體的體積最大 證明 設(shè)長(zhǎng)方體的三條相交于同一頂點(diǎn)的棱長(zhǎng)分別為x y z 則長(zhǎng)方體的體積為V xyz 表面積A 2xy 2yz 2zx 根據(jù)平均值不等式