（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 專題突破四 高考中的數(shù)列問題講義（含解析）.docx

《（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 專題突破四 高考中的數(shù)列問題講義（含解析）.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 專題突破四 高考中的數(shù)列問題講義（含解析）.docx（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

高考專題突破四高考中的數(shù)列問題題型一等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本問題例1(2018浙江杭州地區(qū)四校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足a11, ，記Snaaa，若S2n1Sn對任意的nN*恒成立(1)求數(shù)列a的通項公式；(2)求正整數(shù)t的最小值解(1)由題意得4，則是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，則1(n1)44n3，則a.(2)不妨設(shè)bnS2n1Snaaa，考慮到bnbn1aaa(aaaa)aaa0，因此數(shù)列bn單調(diào)遞減，則bn的最大值為b1S3S1aa，t，則tmin10.思維升華等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略(1)分析已知條件和求解目標，為最終解決問題設(shè)置中間問題，例如求和需要先求出通項、求通項需要先求出首項和公差(公比)等，確定解題的順序(2)注意細節(jié)：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，如果等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能，在數(shù)列的通項問題中第一項和后面的項能否用同一個公式表示等，這些細節(jié)對解題的影響也是巨大的跟蹤訓(xùn)練1(2018浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的公比是q(q1)，且滿足：a12，b11，S23b2，a2b3.(1)求an與bn；(2)設(shè)cn2bn，若數(shù)列cn是遞減數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，依題意可得解得(舍去)或故an22(n1)2n，bn2n1.(2)由(1)可知cn2n3n，若cn是遞減數(shù)列，則cn1cn，即2n13n1n在nN*時成立，只需max.因為yn在nN*時單調(diào)遞減，所以max.故，即實數(shù)的取值范圍是.題型二數(shù)列的通項與求和例2(2018臺州質(zhì)檢)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列bn滿足5(4n5)n，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)因為數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以12(n1)2n1.所以Sn2n2n.當(dāng)n1時，a1S11；當(dāng)n2時，anSnSn1(2n2n)2(n1)2(n1)4n3，當(dāng)n1時，a11也符合上式所以數(shù)列an的通項公式為an4n3(nN*)(2)當(dāng)n1時，所以b12a12；當(dāng)n2時，由5(4n5)n，所以5(4n1)n1.兩式相減，得(4n3)n.因為an4n3，所以bn2n(當(dāng)n1時，也符合此式)又2，則數(shù)列bn是首項為2，公比為2的等比數(shù)列所以Tn2n12.思維升華(1)可以利用數(shù)列的遞推關(guān)系探求數(shù)列的通項，利用遞推關(guān)系構(gòu)造數(shù)列或證明數(shù)列的有關(guān)結(jié)論(2)根據(jù)數(shù)列的特點選擇合適的求和方法，常用的求和方法有錯位相減法、分組轉(zhuǎn)化法、裂項相消法等跟蹤訓(xùn)練2(2018浙江教育綠色評價聯(lián)盟適應(yīng)性考試)已知數(shù)列an中，a13，a25，其前n項和Sn滿足SnSn22Sn12n1(n3)令bn.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若f(x)2x1，求證：Tnb1f(1)b2f(2)bnf(n)(n1)(1)解由題意知SnSn1Sn1Sn22n1(n3)，即anan12n1(n3)，所以an(anan1)(an1an2)(a3a2)a22n12n22252n12n2222122n1(n3)，檢驗知n1,2時，結(jié)論也成立，故an2n1.(2)證明由于bnf(n)2n1.故Tnb1f(1)b2f(2)bnf(n).所以Tn.題型三數(shù)列與不等式的交匯例3已知數(shù)列an滿足a11，an1，nN*，記Sn，Tn分別是數(shù)列an，a的前n項和，證明：當(dāng)nN*時，(1)an1an；(2)Tn2n1；(3)1Sn0，故an1anan0，an1an，nN*.(2)由an，得a2，從而aa22aaa2n，又a11，1aaa2n，Tn2n1，nN*.(3)由(2)知，an1，由Tna1，得an1，當(dāng)n2時，an()，Sna1(1)()()1(1)，n2，又a11，Sn1，綜上，1Snan；(2)0，得0an1.(1)a1，a1，兩式相減得0aa0，故an1an0，即an1an.(2)因為an1，所以an，由0an1，得1，從而當(dāng)i2時，11.所以0；當(dāng)n6時，cn0，設(shè)cn的前n項和為Tn，則Tn10nn2，當(dāng)n5時，SnTn10nn2；當(dāng)n6時，Sn2T5Tnn210n50.綜上，Sn2(2018紹興市嵊州市適應(yīng)性考試)已知Sn是數(shù)列an的前n項和，a12，且4Snanan1，數(shù)列bn中，b1，且bn1，nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)(nN*)，求cn的前n項和Tn.解(1)當(dāng)n1時，可得a24，當(dāng)n2時，4Snanan1,4Sn1anan1，兩式相減，得4anan(an1an1)，an0，an1an14，an的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成以4為公差的等差數(shù)列，當(dāng)n2k1，kN*時，an2n；當(dāng)n2k，kN*時，an2n.an2n(nN*)(2)，當(dāng)n2時，將上式累加得，bn(n2)，n1時也適合，bn(nN*)，cn，Tn，Tn，再由錯位相減得Tn2.3(2018浙江名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且是一個首項與公差均為1的等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)對任意的kN*，將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(2k,22k)內(nèi)的項的個數(shù)記為bk，求數(shù)列bk的通項公式；記ck，數(shù)列ck的前k項和為Tk，求使等式成立的所有正整數(shù)k，m的值解(1)由題意得1(n1)1n，Snn2，則anSnSn1n2(n1)22n1(n2)，當(dāng)n1時，a11，適合上式，因此an2n1(nN*)(2)2kan22k，2k2n122k，則2k12n22k1，即2k1n22k1，2k11n22k1，則bk22k1(2k11)122k12k1，kN*.由題意得ck，Tk44，則Tk14，1，1，由，得，則42m(4m)2k14，即有082m(4m)2k1，因此m0.因此f(n)單調(diào)遞增，則f(n)的最小值為f(2).(3)方法一由(1)知，bn，當(dāng)n2時，因為S11，S21，S31，Sn11，所以S1S2Sn1n1(n2)(n3)n(n1)n1n1n1n1n(n1)n1nn而(Sn1)g(n)g(n)，因此g(n)n.故存在關(guān)于n的整式g(n)n，使得對于一切不小于2的自然數(shù)恒成立方法二由bn，可得Sn1，SnSn1(n2)，即n(SnSn1)1(n2)，故nSn(n1)Sn1Sn11，(n1)Sn1(n2)Sn2Sn21，2S2S1S11，以上式子相加得nSnS1S1S2Sn1(n1)，則有S1S2Sn1nSnnn(Sn1)(n2)，因此g(n)n，故存在關(guān)于n的整式g(n)n，使得對于一切不小于2的自然數(shù)恒成立5(2019諸暨質(zhì)檢)已知數(shù)列an的各項都大于1，且a12，aan1a10(nN*)(1)求證：anan1n2；(2)求證：0，得an1an，an1an1，an1(an1an)(a2a1)a1，an(anan1)(a2a1)a12(n2)，又a12，an.原不等式得證(2)aaan111，aa，即a，2a3，4411.原不等式得證6(2018浙江名校協(xié)作體考試)已知無窮數(shù)列an的首項a1，nN*.(1)證明：0an1；(2)記bn，Tn為數(shù)列bn的前n項和，證明：對任意正整數(shù)n，Tn.證明(1)當(dāng)n1時，0a11，顯然成立；假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時不等式成立，即0ak1，那么當(dāng)nk1時，21，0ak11.即當(dāng)nk1時不等式也成立綜合可知，0an1對任意nN*成立(2)0an1，1，即an1an，數(shù)列an為遞增數(shù)列又，易知為遞減數(shù)列，為遞減數(shù)列，又，當(dāng)n2時，當(dāng)n2時，bn(an1an)(an1an)當(dāng)n1時，TnT1b1，成立；當(dāng)n2時，Tnb1b2bn(a3a2)(a4a3)(an1an)(an1a2)(1a2).綜上，對任意正整數(shù)n，Tn.