（江蘇專用）2019高考數(shù)學二輪復習 第二篇 第11練 空間幾何體的表面積與體積試題 理.docx

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第11練　空間幾何體的表面積與體積 [明晰考情]　1.命題角度：空間幾何體的表面積和體積，與球有關的組合體.2.題目難度：中檔難度. 考點一　空間幾何體的表面積 方法技巧　多面體的表面積為圍成多面體的各個面的面積之和.棱柱的表面積等于它的側面積加底面積；棱錐的表面積等于它的側面積加底面積；棱臺的表面積等于它的側面積加兩個底的面積. 1.若圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等，圓柱、球的表面積分別記為S1，S2，則S1∶S2＝________. 答案　3∶2 解析　設球的直徑為2R，則S1∶S2＝(2πR2＋2πR2R)∶4πR2＝3∶2. 2.若圓柱的側面積和體積的值都是12π，則該圓柱的高為________. 答案　3 解析　設圓柱的底面圓半徑為r，高為h，則 解得h＝3，r＝2，所以該圓柱的高為3. 3.一個圓柱和一個圓錐的軸截面分別是邊長為a的正方形和正三角形，則它們的表面積之比為________. 答案　2∶1 解析　∵S圓柱＝2π2＋2πa＝πa2， S圓錐＝π2＋πa＝πa2， ∴S圓柱∶S圓錐＝2∶1. 4.(2018南通最后一卷)如圖，已知圓錐的高是底面半徑的2倍，側面積為π，若正方形ABCD內接于底面圓O，則四棱錐P－ABCD的側面積為________. 答案　 解析　設圓錐底面半徑為r，則高為h＝2r，母線長為r， ∵圓錐的側面積為π， ∴πrr＝π，r2＝， 設正方形邊長為a，則2a2＝4r2，a＝r， 正四棱錐的斜高為＝r， ∴正四棱錐的側面積為4ar＝6r2＝. 考點二　空間幾何體的體積 方法技巧　空間幾何體的體積可以通過轉換空間幾何體的底面和高，以利于計算. 5.(2018江蘇南京金陵中學期末)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，則三棱錐A1－AB1D1的體積為________cm3. 答案　3 解析　根據題目條件，在長方體ABCD－A1B1C1D1中， ＝332＝3(cm3)， 所以三棱錐A1－AB1D1的體積為3 cm3. 6.已知正六棱錐P－ABCDEF的底面邊長為2，側棱長為4，則此六棱錐的體積為________. 答案　12 解析　由題意得棱錐的高h＝＝2，所以V＝2＝12. 7.(2017江蘇)如圖，在圓柱O1O2內有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________. 答案　 解析　設球O的半徑為R， ∵球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切， ∴圓柱O1O2的高為2R，底面半徑為R. ∴＝＝. 8.已知一個空間幾何體的所有棱長均為1cm，其表面展開圖如圖所示，則該空間幾何體的體積V＝________cm3. 答案　1＋ 解析　空間幾何體為一正方體和一正四棱錐的組合體，顯然，正方體的體積為1，正四棱錐的底面邊長為1，側棱長為1，所以，棱錐的高為，所以，正四棱錐的體積為，即組合體的體積為1＋. 考點三　多面體與球 要點重組　(1)設球的半徑為R，球的截面圓半徑為r，球心到球的截面的距離為d，則有r＝. (2)當球內切于正方體時，球的直徑等于正方體的棱長，當球外接于長方體時，長方體的體對角線長等于球的直徑；當球與正方體各棱都相切時，球的直徑等于正方體底面的對角線長. (3)若正四面體的棱長為a，則正四面體的外接球半徑為a，內切球半徑為a. 9.已知三棱錐S－ABC的所有頂點都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60，則球O的表面積為________. 答案　16π 解析　在△ABC中， BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos60＝3， ∴AC2＝AB2＋BC2，即AB⊥BC. 又SA⊥平面ABC， ∴三棱錐S－ABC可補成分別以AB＝1，BC＝，SA＝2為長、寬、高的長方體， ∴球O的直徑為＝4， 故球O的表面積為4π22＝16π. 10.將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為________. 答案　 解析　由題意知，此球是正方體的內切球，根據其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為2，故半徑為1，其體積是π13＝. 11.已知一個棱長為4的正方體，過正方體中兩條互為異面直線的棱的中點作直線，則該直線被正方體的外接球球面截在球內的線段長是________. 答案　2 解析　在正方體ABCD－A1B1C1D1中，以點D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系D－xyz，如圖所示，球的半徑為2，球心O(2,2,2)，M(4,0,2)，N(0,2,4)，MN的中點坐標為(2,1,3)，球心到MN的距離為，所以該直線被正方體的外接球球面截在球內的線段長是2＝2. 12.已知底面為正三角形的三棱柱內接于半徑為1的球，則此三棱柱的體積的最大值為________. 答案　1 解析　如圖，設球心為O，三棱柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，底面正三角形的邊長為a， 則AO1＝a＝a. 由已知得O1O2垂直于底面，在Rt△OAO1中，由勾股定理得 OO1＝＝， 所以V三棱柱＝a22＝. 令f(a)＝3a4－a6(00；當a∈(，)時，f′(a)<0，所以函數(shù)f(a)在(0，)上單調遞增，在(，)上單調遞減. 所以f(a)在a＝處取得極大值. 因為函數(shù)f(a)在區(qū)間(0，)上有唯一的極值點，所以a＝也是最大值點.所以(V三棱柱)max＝＝1. 1.正三棱錐的底面邊長為a，高為a，則此棱錐的側面積為________. 答案　a2 解析　如圖，在正三棱錐S—ABC中，過點S作SO⊥平面ABC于點O，則O為△ABC的中心，連結AO并延長與BC相交于點M，連結SM，SM即為斜高h′，在Rt△SMO中， h′＝＝a， 所以側面積S＝3aa＝a2. 2.(2018揚州檢測)已知正四棱柱的底面邊長為2cm，側面的對角線長是cm，則這個正四棱柱的體積是________cm3. 答案　4 解析　設正四棱柱的高為h，∵正四棱柱的底面邊長為2， 側面的對角線長是， ∴＝，解得h＝， ∴這個正四棱柱的體積V＝Sh＝4＝4(cm3). 3.一個圓錐過軸的截面為等邊三角形，它的頂點和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球O的體積的比值為________. 答案　 解析　設等邊三角形的邊長為2a，球O的半徑為R， 則V圓錐＝πa2a＝πa3. 又R2＝a2＋(a－R)2，所以R＝a， 故V球＝3＝πa3，故其體積比值為. 4.已知三棱錐S－ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S－ABC的體積為9，則球O的表面積為________. 答案　36π 解析　如圖，連結OA，OB. 由SA＝AC，SB＝BC，SC為球O的直徑知，OA⊥SC，OB⊥SC. 又由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC知， OA⊥平面SCB. 設球O的半徑為r，則OA＝OB＝r，SC＝2r， ∴三棱錐S－ABC的體積 V＝OA＝， 即＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π. 1.將斜邊長為4的等腰直角三角形繞其斜邊所在直線旋轉一周，則所形成的幾何體的體積是________. 答案　 解析　等腰直角三角形的斜邊長為4，斜邊的高為2. ∴旋轉后的幾何體為兩個大小相等的圓錐的組合體. 圓錐的底面半徑為2，高為2. ∴幾何體的體積V＝2π42＝. 2.已知圓錐的側面展開圖是一個圓心角為120且面積為3π的扇形，則該圓錐的體積為________. 答案　π 解析　設圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l.則解得故h＝＝2， 所以圓錐的體積V＝πr2h＝π122＝π. 3.如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，三棱錐D1—AB1C的表面積與正方體的表面積的比為________. 答案　1∶ 解析　設正方體棱長為1，則其表面積為6，三棱錐D1—AB1C為正四面體，每個面都是邊長為的正三角形，其表面積為4＝2，所以三棱錐D1—AB1C的表面積與正方體的表面積的比為1∶. 4.(2018蘇州調研)如圖，在體積為V1的圓柱中挖去以圓柱上、下底面為底面、共頂點的兩個圓錐，剩余部分的體積為V2，則＝________. 答案　 解析　設上、下圓錐的高分別為h1，h2，圓柱的底面圓的半徑為r，圓柱的高為h， 則＝＝＝. 5.(2018江蘇)如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為________. 答案　 解析　由題意知所給的幾何體是棱長均為的八面體，它是由兩個有公共底面的正四棱錐組合而成的，正四棱錐的高為1，所以這個八面體的體積為2V正四棱錐＝2()21＝. 6.如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1是棱長為1的正方體，四棱錐S－ABCD是高為1的正四棱錐，若點S，A1，B1，C1，D1在同一個球面上，則該球的表面積為__________. 答案　π 解析　作如圖所示的輔助線，其中O為球心，設OG1＝x，則OB1＝SO＝2－x，由正方體的性質知，B1G1＝，則在Rt△OB1G1中，OB＝G1B＋OG，即(2－x)2＝2＋x2，解得x＝，所以球的半徑R＝OB1＝， 所以球的表面積為S＝4πR2＝π. 7.如圖，側棱長為2的正三棱錐V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40，過點A作截面△AEF，則截面△AEF的周長的最小值為____________. 答案　6 解析　沿著側棱VA把正三棱錐V－ABC展開在一個平面內，如圖， 則AA′即為截面△AEF周長的最小值，且∠AVA′＝340＝120. 在△VAA′中，由余弦定理可得AA′＝6. 8.(2018泰州聯(lián)考)已知正四棱錐底面正方形的邊長為2，體積為，則此正四棱錐的側棱長為________. 答案　 解析　設正四棱錐的高為h，則由題意得＝22h， 解得h＝1. 又正四棱錐底面正方形的對角線長為2， ∴正四棱錐的側棱長為＝. 9.已知在三棱錐A－BCD中，AB＝AC＝BC＝2，BD＝CD＝，點E是BC的中點，點A在平面BCD上的投影恰好為DE的中點F，則該三棱錐外接球的表面積為________. 答案　 解析　連結BF，由題意，得△BCD為等腰直角三角形，E是外接圓的圓心. ∵點A在平面BCD上的投影恰好為DE的中點F， ∴BF＝＝， ∴AF＝＝. 設球心O到平面BCD的距離為h， 則1＋h2＝＋2， 解得h＝， ∴外接球的半徑r＝＝， 故該三棱錐外接球的表面積為4π＝. 10.(2018江蘇蘇州實驗中學期中)如圖，正四棱錐P－ABCD的底面一邊AB的長為2，側面積為8，則它的體積為________. 答案　4 解析　設正四棱錐的斜高為h，由題意得24h＝8，所以h＝2，則四棱錐的高H＝＝1，所以該四棱錐的體積V＝SH＝(2)21＝4. 11.(2018江蘇姜堰中學等聯(lián)考)正方形鐵片的邊長為8cm，以它的一個頂點為圓心，一邊長為半徑畫弧剪下一個頂角為的扇形，用這塊扇形鐵片圍成一個圓錐形容器，則這個圓錐形容器的容積為________cm3. 答案　π 解析　由題意知，弧長為8＝2π， 即圍成圓錐形容器底面周長為2π， 所以圓錐底面半徑r＝1， 可得圓錐高h＝3， 所以容積V＝πr2h＝π13＝π(cm3). 12.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，AA1＝5，若三棱柱的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積為________. 答案　50π 解析　∵ABC－A1B1C1是直三棱柱， ∴A1A⊥AC，又三棱柱的所有頂點都在同一球面上， ∴A1C是球的直徑， ∴R＝.∵AB⊥BC， ∴AC＝＝5， ∴A1C2＝52＋52＝50. 故該球的表面積為S＝4πR2＝4π2＝πA1C2＝50π .