（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 考點規(guī)范練35 數(shù)學(xué)歸納法.docx

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考點規(guī)范練35數(shù)學(xué)歸納法基礎(chǔ)鞏固組1.用數(shù)學(xué)歸納法證明2n2n+1,n的第一個取值應(yīng)是()A.1B.2C.3D.4答案C解析當(dāng)n=1時,21=2,21+1=3,2n2n+1不成立;當(dāng)n=2時,22=4,22+1=5,2n2n+1不成立;當(dāng)n=3時,23=8,23+1=7,2n2n+1成立.故n的第一個取值應(yīng)是3.2.已知f(n)=1n+1n+1+1n+2+1n2,則()A.f(n)中共有n項,當(dāng)n=2時,f(2)=12+13B.f(n)中共有n+1項,當(dāng)n=2時,f(2)=12+13C.f(n)中共有n2-n項,當(dāng)n=2時,f(2)=12+13D.f(n)中共有n2-n+1項,當(dāng)n=2時,f(2)=12+13+14答案D解析總項數(shù)為n2-(n-1),f(2)=12+13+14.故選D.3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+an+1=1-an+21-a(a1,nN*)”,在驗證n=1時,左端計算所得的結(jié)果是()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3答案C解析當(dāng)n=1時,左邊=1+a+a2.故選C.4.某個命題與自然數(shù)n有關(guān),若n=k(kN*)時命題成立,則可推得當(dāng)n=k+1時該命題也成立.現(xiàn)已知當(dāng)n=5時,該命題不成立,則可推得()A.當(dāng)n=6時,該命題不成立B.當(dāng)n=6時,該命題成立C.當(dāng)n=4時,該命題不成立D.當(dāng)n=4時,該命題成立答案C解析因為當(dāng)n=k時命題成立可推出當(dāng)n=k+1時成立,所以當(dāng)n=5時命題不成立,則當(dāng)n=4時命題也一定不成立.5.對于不等式n2+nn+1(nN*),某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下:(1)當(dāng)n=1時,12+11+1,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時,不等式成立,即k2+kk+1,則當(dāng)n=k+1時,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+213(n2,且nN*)”的過程中,由假設(shè)“n=k時”成立,推導(dǎo)“n=k+1時”也成立時,該不等式左邊的變化是()A.增加13k+3B.增加13k+1+13k+2+13k+3C.增加13k+3并減少12k+1+12k+2D.增加13k+1+13k+2+13k+3并減少12k+1+12k+2答案D解析n=k+1時,不等式為12k+3+12k+4+13k+313,增加13k+1+13k+2+13k+3并減少12k+1+12k+2.故選D.11.已知f(x)是定義域為正整數(shù)集的函數(shù),對于定義域內(nèi)任意的k,若f(k)k2成立,則f(k+1)(k+1)2成立,下列命題成立的是()A.若f(3)9成立,且對于任意的k1,均有f(k)k2成立B.若f(4)16成立,則對于任意的k4,均有f(k)k2成立C.若f(7)49成立,則對于任意的k7,均有f(k)42,所以對于k4,均有f(k)k2.僅有D選項符合題意.12.用數(shù)學(xué)歸納法證明3(2+7k)能被9整除,證明n=k+1時,應(yīng)將3(2+7k+1)配湊成()A.6+217kB.3(2+7k)+21C.3(2+7k)D.21(2+7k)-36答案D解析要配湊出歸納假設(shè),即3(2+7k+1)=3(2+77k)=6+217k=21(2+7k)-36.故選D.13.設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點.若用f(n)表示這n條直線交點的個數(shù),則f(n)=()(n3).A.(n+1)(n-2)B.12(n+1)(n-2)C.n(n-1)D.12n(n-1)答案B解析f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5,f(n)=f(3)+3+4+(n-1)=2+3+4+(n-1)=12(n+1)(n-2)(n3).14.若不等式1n+1+1n+2+13n+1a24對一切正整數(shù)n都成立,正整數(shù)a的最大值為.答案25解析當(dāng)n=1時,11+1+11+2+13+1a24,即2624a24,所以a2524.(1)當(dāng)n=1時,已證得不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時,不等式成立,即1k+1+1k+2+13k+12524.則當(dāng)n=k+1時,有1(k+1)+1+1(k+1)+2+13(k+1)+1=1k+1+1k+2+13k+1+13k+2+13k+3+13k+4-1k+12524+13k+2+13k+4-23(k+1).因為13k+2+13k+4-23(k+1)=6(k+1)(3k+2)(3k+4)-23(k+1)=18(k+1)2-2(9k2+18k+8)(3k+2)(3k+4)(3k+3)=2(3k+2)(3k+4)(3k+3)0,所以當(dāng)n=k+1時不等式也成立.由(1)(2)知,對一切正整數(shù)n,都有1n+1+1n+2+13n+12524,所以a的最大值等于25.15.(2018浙江衢州模擬)在數(shù)列an中,已知a1=a(a2),且an+1=an22(an-1)(nN*).(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明an2(nN*);(2)求證:an+12,命題成立.假設(shè)當(dāng)n=k(kN*,k1)時,命題成立,即ak2.則當(dāng)n=k+1時,ak+1-2=ak22(ak-1)-2=(ak-2)22(ak-1)0,所以當(dāng)n=k+1時ak+12也成立,由知對任意正整數(shù)n,都有an2.(2)an+1-an=an22(an-1)-an=an(2-an)2(an-1),由(1)可知an20,所以an+1an.16.(2018浙江寧波效實中學(xué)高三期中)已知數(shù)列an,a1=3,an+1=3an-4an-1(nN*).(1)求a2,a3,a4的值,并猜想an的通項公式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.(1)解因為a1=3,且an+1=3an-4an-1,所以a2=33-43-1=52,a3=352-452-1=73,a1=373-473-1=94,由此猜想an=2n+1n.(2)證明當(dāng)n=1時,a1=21+11=3,滿足要求,猜想成立;假設(shè)n=k(k1且kN*)時,猜想成立,即ak=2k+1k,那么當(dāng)n=k+1時,ak+1=3ak-4ak-1=32k+1k-42k+1k-1=2k+3k+1=2(k+1)+1k+1,這就表明當(dāng)n=k+1時,猜想成立,根據(jù)可以斷定,對所有的正整數(shù)該猜想成立,即an=2n+1n.17.設(shè)a1=1,an+1=an2-2an+2+b(nN*).(1)若b=1,求a2,a3及數(shù)列an的通項公式.(2)若b=-1,問:是否存在實數(shù)c使得a2nca2n+1對所有nN*成立?證明你的結(jié)論.(1)解法一a2=2,a3=2+1.再由題設(shè)條件知(an+1-1)2=(an-1)2+1.從而(an-1)2是首項為0,公差為1的等差數(shù)列,故(an-1)2=n-1,即an=n-1+1(nN*).解法二a2=2,a3=2+1.可寫為a1=1-1+1,a2=2-1+1,a3=3-1+1.因此猜想an=n-1+1.下用數(shù)學(xué)歸納法證明上式:當(dāng)n=1時結(jié)論顯然成立.假設(shè)n=k時結(jié)論成立,即ak=k-1+1,則ak+1=(ak-1)2+1+1=(k-1)+1+1=(k+1)-1+1.這就是說,當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立.所以an=n-1+1(nN*).(2)解法一設(shè)f(x)=(x-1)2+1-1,則an+1=f(an).令c=f(c),即c=(c-1)2+1-1,解得c=14.下用數(shù)學(xué)歸納法證明加強命題a2nca2n+11.當(dāng)n=1時,a2=f(1)=0,a3=f(0)=2-1,所以a214a31,結(jié)論成立.假設(shè)n=k時結(jié)論成立,即a2kca2k+1f(a2k+1)f(1)=a2,即1ca2k+2a2.再由f(x)在(-,1上為減函數(shù)得c=f(c)f(a2k+2)f(a2)=a31.故ca2k+31,因此a2(k+1)ca2(k+1)+11.這就是說,當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立.綜上,符合條件的c存在,其中一個值為c=14.解法二設(shè)f(x)=(x-1)2+1-1,則an+1=f(an).先證:0an1(nN*).當(dāng)n=1時,結(jié)論明顯成立.假設(shè)n=k時結(jié)論成立,即0ak1.易知f(x)在(-,1上為減函數(shù),從而0=f(1)f(ak)f(0)=2-11.即0ak+11,這就是說,當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立.故成立.再證:a2na2n+1(nN*).當(dāng)n=1時,a2=f(1)=0,a3=f(a2)=f(0)=2-1,有a2a3,即n=1時成立.假設(shè)n=k時,結(jié)論成立,即a2kf(a2k+1)=a2k+2,a2(k+1)=f(a2k+1)f(a2k+2)=a2(k+1)+1.這就是說,當(dāng)n=k+1時成立.所以對一切nN*成立.由得a2na2n2-2a2n+2-1,即(a2n+1)2a2n2-2a2n+2,因此a2nf(a2n+1),即a2n+1a2n+2.所以a2n+1a2n+12-2a2n+1+2-1.解得a2n+114.綜上,由,知存在c=14使a2nc2,所以n=k+1時,ak+12成立.綜上可知,n2時,an2.(2)由an+1=n2+n+1n2+nan+12n=an+1n(n+1)an+12n得an+1-an=1n(n+1)an+12n,所以a2-a1=112a1+121,a3-a2=123a2+122,a4-a3=134a3+123,an+1-an=1n(n+1)an+12n.所以an+1-a1=112a1+123a2+1n(n+1)+121+122+12n.又a1=1,所以an+1=112a1+123a2+1n(n+1)an+1+121-12n1-12=112a1+123a2+1n(n+1)an+2-12n.