四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明綜合檢測 新人教A版選修2-2.doc

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第二章 推理與證明 綜合檢測 一、選擇題 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.自然數(shù)都是整數(shù),4是自然數(shù),所以4是整數(shù).以上“三段論”推理(　　). A.正確 B.推理形式不正確 C.兩個(gè)“自然數(shù)”概念不一致 D.“兩個(gè)整數(shù)”概念不一致 【解析】“三段論”中的大前提,小前提及推理形式都是正確的. 【答案】A 2.余弦函數(shù)是偶函數(shù),f(x)=cos(x+1)是余弦函數(shù),因此f(x)=cos(x+1)是偶函數(shù),以上推理(　　). A.結(jié)論正確 B.大前提不正確 C.小前提不正確 D.全不正確 【解析】因?yàn)閒(x)=cos(x+1)不是余弦函數(shù),所以小前提錯(cuò)誤. 【答案】C 3.下列推理不是合情推理的是(　　). A.由圓的性質(zhì)類比推出球的有關(guān)性質(zhì) B.由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和都是180,歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180 C.某次考試張軍的成績是100分,由此推出全班同學(xué)的成績都是100分 D.蛇、海龜、蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、海龜、蜥蜴是爬行動(dòng)物,所以所有的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸的 【解析】A是類比推理,B、D是歸納推理,C不是合情推理. 【答案】C 4.若f(n)=1+12+13+…+12n+1(n∈N*),則當(dāng)n=2時(shí),f(n)等于(　　). A.1+12 B.15 C.1+12+13+14+15 D.均不正確 【解析】∵f(n)=1+12+13+…+12n+1,分子是1,分母是1,2,3,…,2n+1,故當(dāng)n=2時(shí),f(n)=1+12+13+…+122+1=1+12+13+14+15. 【答案】C 5.下列推理是歸納推理的是(　　). A.A,B為定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=2a>|AB|,則點(diǎn)P的軌跡為橢圓 B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式 C.由圓x2+y2=r2的面積S=πr2,猜想出橢圓x2a2+y2b2=1的面積S=πab D.科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇 【解析】由S1,S2,S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式,是從特殊到一般的推理,所以選項(xiàng)B中的推理是歸納推理,故選B. 【答案】B 6.函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,若對(duì)任意的x1,x2∈D都有|f(x1)-f(x2)|<1,則稱函數(shù)y=f(x)為“Storm”函數(shù).那么下列函數(shù)是“Storm”函數(shù)的是(　　). A.f(x)=x2(x∈[-1,2]) B.f(x)=x3(x∈[0,1]) C.f(x)=-2x+1(x∈[-1,0]) D.f(x)=1x(x∈[1,3]) 【解析】由定義知|f(x1)-f(x2)|小于等于函數(shù)f(x)的最大值與最小值之差的絕對(duì)值,故要判斷一個(gè)函數(shù)是否為“Storm”函數(shù),只需看這個(gè)函數(shù)的最值之差的絕對(duì)值是否小于1即可.在選項(xiàng)D中,因?yàn)閒(x)=1x在x∈[1,3]上是減函數(shù),所以令m=f(3)=13,M=f(1)=1,所以|M-m|=1-13=23<1,所以該函數(shù)是“Storm”函數(shù). 【答案】D 7.下列推理正確的是(　　). A.把a(bǔ)(b+c)與loga(x+y)進(jìn)行類比,則有l(wèi)oga(x+y)=logax+logay B.把a(bǔ)(b+c)與sin(x+y)進(jìn)行類比,則有sin(x+y)=sin x+sin y C.把(ab)n與(a+b)n進(jìn)行類比,則有(x+y)n=xn+yn D.把(a+b)+c與(xy)z進(jìn)行類比,則有(xy)z=x(yz) 【答案】D 8.用數(shù)學(xué)歸納法證明:12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=n(2n2+1)3.從n=k到n=k+1,等式左邊應(yīng)添加的式子是(　　). A.(k-1)2+2k2 B.(k+1)2+k2 C.(k+1)2 D.13(k+1)[2(k+1)2+1] 【解析】當(dāng)n=k時(shí),左邊=12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12;當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=12+22+…+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12.所以從n=k到n=k+1,左邊應(yīng)添加的式子為(k+1)2+k2. 【答案】B 9.如表所示,若數(shù)列{xn}滿足x0=5,且對(duì)任何自然數(shù)均有xn+1=f(xn),則x2019=(　　). x 1 2 3 4 5 f(x) 4 1 3 5 2 　　A.1 B.2 C.4 D.5 【解析】因?yàn)閤1=f(x0)=f(5)=2,x2=f(2)=1,x3=f(1)=4,x4=f(4)=5,x5=f(5)=2,…,所以數(shù)列{xn}是周期為4的數(shù)列,所以x2019=x3=4.故選C. 【答案】C 10.在△ABC中,角A,B,C分別為邊a,b,c所對(duì)的角.若a,b,c成等差數(shù)列,則角B的取值范圍是(　　). A.0,π4 B.0,π3 C.0,π2 D.π2,π 【解析】∵a,b,c成等差數(shù)列,∴a+c=2b, ∴cos B=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac=3(a2+c2)8ac-14≥6ac8ac-14=12. 又∵余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間0,π2內(nèi)單調(diào)遞減, ∴01,求證:a,b,c,d至少有一個(gè)負(fù)數(shù). 【解析】假設(shè)a,b,c,d都是非負(fù)數(shù), 則1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)≥ac+bd, 這與已知ac+bd>1矛盾.故a,b,c,d至少有一個(gè)負(fù)數(shù). 18.已知A,B都是銳角,且A+B≠90,(1+tan A)(1+tan B)=2.求證:A+B=45. 【解析】∵(1+tan A)(1+tan B)=2, ∴tan A+tan B=1-tan Atan B. ∵A+B≠90,∴tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=1. ∵A,B都是銳角,∴00,b>0,2c>a+b,求證:c-c2-aba2+ab. 因?yàn)閍>0,所以只需證2c>a+b. 又因?yàn)?c>a+b成立. 所以原不等式成立. 20.已知△ABC的三邊長都是有理數(shù),求證: (1)cos A是有理數(shù); (2)對(duì)任何正整數(shù)n,cos nA和sin Asin nA都是有理數(shù). 【解析】(1)由AB,BC,AC的長為有理數(shù)及余弦定理知, cos A=AB2+AC2-BC22ABAC是有理數(shù). (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明cos nA和sin Asin nA都是有理數(shù). ①當(dāng)n=1時(shí),由(1)知cos A是有理數(shù),從而有sin Asin A=1-cos2A也是有理數(shù). ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N*)時(shí),cos kA和sin Asin kA都是有理數(shù), 那么當(dāng)n=k+1時(shí), cos(k+1)A=cos Acos kA-sin Asin kA, sin Asin(k+1)A =sin A(sin Acos kA+cos Asin kA) =(sin Asin A)cos kA+(sin Asin kA)cos A, 由①和歸納假設(shè)知,cos(k+1)A和sin Asin(k+1)A都是有理數(shù). 即當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論成立. 綜合①②可知,對(duì)任何正整數(shù)n,cos nA和sin Asin nA都是有理數(shù). 21.如圖,已知在三棱錐P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,且PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點(diǎn),E為線段PC上一點(diǎn). (1)求證:PA⊥BD. (2)求證:平面BDE⊥平面PAC. (3)當(dāng)PA∥平面BDE時(shí),求三棱錐E-BCD的體積. 【解析】(1)∵PA⊥AB,PA⊥BC,且AB∩BC=B, ∴PA⊥平面ABC. 又∵BD?平面ABC, ∴PA⊥BD. (2)∵AB=BC,D為線段AC的中點(diǎn), ∴在△ABC中,BD⊥AC. 又由(1)知,PA⊥BD,PA∩AC=A, ∴BD⊥平面PAC. 又∵BD?平面BDE, ∴平面BDE⊥平面PAC. (3)當(dāng)PA∥平面BDE時(shí), 由D是AC的中點(diǎn)知,E為PC的中點(diǎn). 因此ED=12PA=1,ED⊥平面BDC. 由AB=BC=2,AB⊥BC,D為AC的中點(diǎn)知,BD=CD=2. 又由BD⊥AC知,BD⊥DC,即∠BDC=90. 因此VE-BCD=13S△BCDED=1312221=13. 22.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=an2+1an-1,且an>0,n∈N*. (1)求a1,a2,a3; (2)猜想{an}的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明. 【解析】(1)a1=S1=a12+1a1-1,即a12+2a1-2=0, ∵an>0,∴a1=3-1. S2=a1+a2=a22+1a2-1,即a22+23a2-2=0,∴a2=5-3. S3=a1+a2+a3=a32+1a3-1, 即a32+25a3-2=0,∴a3=7-5. (2)由(1)猜想an=2n+1-2n-1,n∈N*. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)n=1時(shí),由(1)知a1=3-1,猜想成立; 假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),ak=2k+1-2k-1, 猜想成立, 那么當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=Sk+1-Sk=ak+12+1ak+1-1-ak2+1ak-1=ak+12+1ak+1-2k+1. ∴ak+12+22k+1ak+1-2=0. ∴ak+1=2(k+1)+1-2(k+1)-1, 即當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立. 綜上可知,對(duì)任何n∈N*猜想都成立.