2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 第五章 不等式、推理與證明、算法初步與復(fù)數(shù) 考點(diǎn)測(cè)試39 數(shù)學(xué)歸納法 理（含解析）.docx

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考點(diǎn)測(cè)試39數(shù)學(xué)歸納法高考概覽考綱研讀1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理2能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題一、基礎(chǔ)小題1在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)第一個(gè)值n0等于()A1 B2 C3 D0答案C解析邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形2用數(shù)學(xué)歸納法證明“1aa2an，a1，nN*”，在驗(yàn)證n1時(shí)，左邊是()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3答案B解析當(dāng)n1時(shí)，代入原式有左邊1a故選B3對(duì)于不等式n1(nN*)，某學(xué)生的證明過(guò)程如下：當(dāng)n1時(shí)，11，不等式成立假設(shè)nk(kN*)時(shí)，不等式成立，即k1，則nk1時(shí)，(k1)1所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立上述證法()A過(guò)程全都正確Bn1檢驗(yàn)不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確答案D解析n1的驗(yàn)證及歸納假設(shè)都正確，但從nk到nk1的推理中沒(méi)有使用歸納假設(shè)，而通過(guò)不等式的放縮法直接證明，不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求，故選D4利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1(nN*)成立，其初始值至少應(yīng)取()A7 B8 C9 D10答案B解析左邊12，代入驗(yàn)證可知n的最小值是8故選B7下列代數(shù)式(其中kN*)能被9整除的是()A667k B27k1C2(27k1) D3(27k)答案D解析當(dāng)k1時(shí)，顯然只有3(27k)能被9整除假設(shè)當(dāng)kn(nN*)時(shí)，命題成立，即3(27n)能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36，這就是說(shuō)，kn1時(shí)命題也成立由可知，命題對(duì)任何kN*都成立故選D8設(shè)f(n)，nN，那么f(n1)f(n)()A BC D答案D解析f(n1)f(n)9用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假使n2k1時(shí)正確，再推n2k3正確(kN*)B假使n2k1時(shí)正確，再推n2k1正確(kN*)C假使nk時(shí)正確，再推nk1正確(kN*)D假使nk(k1)時(shí)正確，再推nk2時(shí)正確(kN*)答案B解析因?yàn)閚為正奇數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟，第二步應(yīng)先假設(shè)第k個(gè)正奇數(shù)也成立，本題即假設(shè)n2k1正確，再推第k1個(gè)正奇數(shù)，即n2k1正確10已知123332433n3n13n(nab)c對(duì)一切nN*都成立，則a，b，c的值為()Aa，bc BabcCa0，bc D不存在這樣的a，b，c答案A解析等式對(duì)一切nN*均成立，n1，2，3時(shí)等式成立，即整理得解得a，bc11在數(shù)列an中，a1且Snn(2n1)an，通過(guò)計(jì)算a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式是_答案an解析因?yàn)镾nn(2n1)an，當(dāng)n2，3，4時(shí)，得出a2，a3，a4a1，a2，a3，a4an12已知f(n)1(nN*)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)時(shí)，f(2k1)f(2k)_答案解析f(2k1)1，f(2k)1，f(2k1)f(2k)二、高考小題本考點(diǎn)在近三年高考中未涉及此題型三、模擬小題13(2018山東淄博質(zhì)檢)設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿(mǎn)足：當(dāng)f(k)k1成立時(shí)，總能推出f(k1)k2成立，那么下列命題總成立的是()A若f(1)2成立，則f(10)11成立B若f(3)4成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k1成立C若f(2)3成立，則f(1)2成立D若f(4)5成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k1成立答案D解析當(dāng)f(k)k1成立時(shí)，總能推出f(k1)k2成立，說(shuō)明如果當(dāng)kn時(shí)，f(n)n1成立，那么當(dāng)kn1時(shí)，f(n1)n2也成立，所以如果當(dāng)k4時(shí)，f(4)5成立，那么當(dāng)k4時(shí)，f(k)k1也成立一、高考大題1(2017浙江高考)已知數(shù)列xn滿(mǎn)足：x11，xnxn1ln (1xn1)(nN*)證明：當(dāng)nN*時(shí)，(1)0xn10當(dāng)n1時(shí)，x110假設(shè)nk時(shí)，xk0，那么nk1時(shí)，若xk10，則00因此xn0(nN*)所以xnxn1ln (1xn1)xn1因此0xn10(x0)，函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞增，所以f(x)f(0)0，因此x2xn1(xn12)ln (1xn1)f(xn1)0，故2xn1xn(nN*)(3)因?yàn)閤nxn1ln (1xn1)xn1xn12xn1，所以xn由2xn1xn得20，所以22n12n2，故xn綜上，xn(nN*)2(2015江蘇高考)已知集合X1，2，3，Yn1，2，3，n(nN*)，設(shè)Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn令f(n)表示集合Sn所含元素的個(gè)數(shù)(1)寫(xiě)出f(6)的值；(2)當(dāng)n6時(shí)，寫(xiě)出f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明解(1)f(6)13(2)當(dāng)n6時(shí)，f(n)(tN*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n6時(shí)，f(6)6213，結(jié)論成立；假設(shè)nk(k6)時(shí)結(jié)論成立，那么nk1時(shí)，Sk1在Sk的基礎(chǔ)上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中產(chǎn)生，分以下情形討論：a若k16t，則k6(t1)5，此時(shí)有f(k1)f(k)3k23(k1)2，結(jié)論成立；b若k16t1，則k6t，此時(shí)有f(k1)f(k)1k21(k1)2，結(jié)論成立；c若k16t2，則k6t1，此時(shí)有f(k1)f(k)2k22(k1)2，結(jié)論成立；d若k16t3，則k6t2，此時(shí)有f(k1)f(k)2k22(k1)2，結(jié)論成立；e若k16t4，則k6t3，此時(shí)有f(k1)f(k)2k22(k1)2，結(jié)論成立；f若k16t5，則k6t4，此時(shí)有f(k1)f(k)1k21(k1)2，結(jié)論成立綜上所述，結(jié)論對(duì)滿(mǎn)足n6的自然數(shù)n均成立二、模擬大題3(2018常德月考)設(shè)a0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN*(1)寫(xiě)出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論解(1)a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3)猜想an(nN*)(2)證明：易知，n1時(shí)，猜想正確假設(shè)nk(kN*)時(shí)猜想正確，即ak，則ak1f(ak)這說(shuō)明，nk1時(shí)猜想正確由知，對(duì)于任何nN*，都有an4(2018福建三明月考)已知xi0(i1，2，3，n)，我們知道(x1x2)4成立(1)求證：(x1x2x3)9；(2)同理我們也可以證明出(x1x2x3x4)16由上述幾個(gè)不等式，請(qǐng)你猜測(cè)一個(gè)與x1x2xn和(n2，nN*)有關(guān)的不等式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明解(1)證法一：(x1x2x3)339證法二：(x1x2x3)332229(2)猜想(x1x2xn)，n2(n2，nN*)證明如下：當(dāng)n2時(shí)，由已知得猜想成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，猜想成立，即(x1x2xk)k2，則當(dāng)nk1時(shí)，(x1x2xkxk1)(x1x2xk)(x1x2xk)xk11k2(x1x2xk)xk11k21k2221k22k1(k1)2，所以當(dāng)nk1時(shí)原式成立結(jié)合可知，猜想成立