沖刺2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 核心考點特色突破 專題09 平面向量的線性表示（含解析）.doc

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專題09 平面向量的線性表示【自主熱身，歸納總結(jié)】1、設(shè)a,b不共線,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三點共線,則實數(shù)p=.【答案】-1【解析】因為=2a+pb,=a+b,=a-2b,所以=+=2a-b.因為A,B,D三點共線,所以=,即2a+pb=(2a-b)=2a-b,所以解得所以實數(shù)p的值是-1.2、設(shè)與是兩個不共線向量，若A，B，D三點共線，則 【答案】：【解析】，設(shè)則且，解得3、在中，若點，依次是邊上的四等分點，設(shè)，用，表示，則 【解析】 在中，所以4設(shè)點，是直線上不同的三點，點是直線外一點，若，則的值為 【答案】：1【解析】 因為點，三點共線，所以，又因為，所以5、如圖，在中，分別為邊，的中點. 為邊上的點，且，若，則的值為 .【答案】： 【解析】：因為為的中點，所以，故，。6、已知為的外心，若，則= 【答案】：誤點警示：若為銳角，則與分別是同弧所對的圓心角與圓周角，此時=2；若為鈍角，由與的關(guān)系是，因此，必須對進行分類討論.本題從條件判斷知，必為鈍角.7、已知點C，D，E是線段的四等分點，為直線外的任意一點，若，則實數(shù) 的值為 【答案】：【解析】 因為，所以8如圖，平面內(nèi)有三個向量，其中與的夾角為，與的夾角為，且，若，則_，_ 【答案】：，【解析】 設(shè)與，同方向的單位向量分別為，依題意有，又，則，所以，9、如圖，一直線與平行四邊形的兩邊分別 交于兩點，且交其對角線于，其中，則的值為 【答案】：【解析】 因為點F，K，E共線，故可設(shè)又，所以，解得【問題探究，變式訓(xùn)練】 例1、在ABC中，AB2，AC3，角A的平分線與AB邊上的中線交于點O，若xy(x，yR)，則xy的值為_. 課本探源 本題的難點是關(guān)系的建立，借助于正弦定理，可以證明.實際上，必修5P54例5已經(jīng)證明了此結(jié)論，若能夠想到這一點，理順本題的解題思路就容易多了：在ABC中，AD是BAC的平分線，用正弦定理證明：. 【變式1】、如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，E為線段AO的中點，若(，R)，則_.【答案】【解析】：因為O，E分別是AC，AO的中點，所以().又()()，故. 【變式2】、在中，若，則的值為 【答案】： 因為，而,所以，所以，則的值為.【關(guān)聯(lián)1】、如圖，在ABC中，BO為邊AC上的中線，設(shè)，若，則的值為 【答案】【解析】思路一：，因為，所以1，思路二：不妨設(shè)，則有【關(guān)聯(lián)2】、如圖,在同一個平面內(nèi)，向量、，的模分別為1,1，與的夾角為，且，與的夾角為，若, 則的值為_【答案】： A C BO【解析】 由可得，根據(jù)向量分解易得：，即，解得 所以例2、在ABC中，C45，O是ABC的外心，若mn(m，nR)，則mn的取值范圍是_【答案】 ，1)思路分析 本題中三點在圓O上是一個關(guān)鍵條件，可以建立坐標系求出m，n的關(guān)系式，再利用三角換元求解，也可以對向量等式兩邊平方后得到m，n的關(guān)系式，再利用線性規(guī)劃求解因為C，O是ABC外心，所以AOB90，mn，所以C在優(yōu)弧上建立如圖所示的平面直角坐標系，不妨設(shè)半徑為1，則A(0,1)，B(1,0)設(shè)C(cos，sin)，代入mn，可得ncos，msin，即mncossinsin.又，所以mn，1)解后反思 本題易錯在沒有注意點C在優(yōu)弧上，錯誤的認為點C在整個圓上本題是典型的二元函數(shù)的值域問題，解題方法比較多，可以用基本不等式、線性規(guī)劃、三角換元，但由于點C在圓弧上，最好的方法建立坐標系，利用三角函數(shù)求解，定義域的尋找也較為簡單【變式1】、 如圖，直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90，ADAB4，CD1，動點P在邊BC上，且滿足mn(m，n均為正實數(shù))，則的最小值為_【答案】：. 解法1 建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(0,0)，B(4,0)，D(0,4)，C(1,4)又kBC，故BC：y(x4)又mn，(4,0)，(0,4)，所以(4m,4n)，故P(4m,4n)，又點P在直線BC上，即3n4m4，即4（）(3n4m)（）77274，所以（）min，當且僅當即m，n時取等號解法2 因為mn，所以mn()mnn.又C，P，B三點共線，故mn1，即m1，以下同解法1.解后反思 向量的基本運算分為線性運算和坐標運算，本題建立坐標系轉(zhuǎn)化為坐標的運算也可以轉(zhuǎn)化為基底運算，其中三點共線可以轉(zhuǎn)化為點在直線上也可以用共線向量基本定理來轉(zhuǎn)化基底法運算量小于坐標法、坐標法的思維難度低于基底法【變式2】、 如圖，經(jīng)過的重心G的直線與OA，OB交于點P，Q，設(shè)，則的值為 【答案】：3【解析】 連接并延長，交于點，因為是的重心，即是的中線，所以，因為，所以，同理可得，將代入可得，即，設(shè)，則有，根據(jù)平面向量基本定理，有，故的值為3【關(guān)聯(lián)1】、如圖，在等腰三角形ABC中，已知ABAC1，A120，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點，且m，n，其中m，n.若EF，BC的中點分別為M，N，且m4n1，則的最小值為_【答案】思路分析：本題易求，所以可以利用點M，N是EF，BC的中點將轉(zhuǎn)化用和表示，再求|的最小值；另外也可以通過建立平面直角坐標系將點M，N的坐標表示出來再求解【解析】1 由于M，N是EF，BC的中點，m，n，m4n1，所以，所以2n.而11cos120，所以|，顯然當n時，|min.【解析】2 如圖，以點N為坐標原點，直線BC為x軸，直線NA為y軸建立平面直角坐標系，由ABAC1，A120得N(0,0)，A0，B，0，C，0，所以nn，n，m2n，2n(由于m4n1)，從而點E，點Fn，n，線段EF的中點Mn，n，所以|，顯然當n時，|min.【關(guān)聯(lián)2】、 已知ABC是邊長為3的等邊三角形，點P是以A為圓心的單位圓上一動點，點Q滿足，則|的最小值是_. 【答案】： 思路分析 求|的最小值，就是求線段BQ長的最小值，因為點B為定點，而點Q是隨著點P的運動而運動的，那么就要關(guān)注點Q是如何運動的，即要先求出點Q的軌跡方程，通過建系運用相關(guān)點法即可求得點Q的軌跡方程，通過點Q的軌跡方程發(fā)現(xiàn)其軌跡是一個圓，接下來問題就轉(zhuǎn)化為定點與圓上的動點的距離的最小值問題，那就簡單了一般與動點有關(guān)的最值問題，往往運用軌跡思想，首先探求動點的軌跡，在了解其軌跡的基礎(chǔ)上一般可將問題轉(zhuǎn)化為點與圓的關(guān)系或直線與圓的關(guān)系或兩圓之間的關(guān)系解法1 以A為原點，AB為x軸建立平面直角坐標系，則(3,0)，設(shè)Q(x，y)，P(x，y)，由，得，即所以兩式平方相加得22(x2y2)，因為點P(x，y)在以A為圓心的單位圓上，所以x2y21，從而有22，所以點Q是以M為圓心，R的圓上的動點，因此BQminBMR.解法2 .令，則()，那么|，求|的最小值，就轉(zhuǎn)化為求|的最小值，根據(jù)不等式的知識有：|，而|22222323332，即|，所以|1，從而|，當且僅當與同向時，取等號【關(guān)聯(lián)3】、在中，為邊上一點，且，為上一點，且滿足，求的最小值【解析】 因為，所以，又因為為上一點，不妨設(shè)，所以,，因為不共線，所以，則所以，ABCEP當且僅當，即時等號成立