2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 2.1 比較法教案 新人教A版選修4-5.docx

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2.1 比較法一、教學(xué)目標(biāo)1理解比較法證明不等式的依據(jù)2掌握利用比較法證明不等式的一般步驟3通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，培養(yǎng)對(duì)轉(zhuǎn)化思想的理解和應(yīng)用二、課時(shí)安排1課時(shí)三、教學(xué)重點(diǎn)掌握利用比較法證明不等式的一般步驟四、教學(xué)難點(diǎn)通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，培養(yǎng)對(duì)轉(zhuǎn)化思想的理解和應(yīng)用五、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課已知ab0，求證：2a3b32ab2a2b.【證明】2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因?yàn)閍b0，所以ab0，ab0,2ab0,從而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.（二）講授新課教材整理1作差比較法1理論依據(jù)：ab ；abab0；ab .2定義：要證明ab，轉(zhuǎn)化為證明 ，這種方法稱為作差比較法3步驟： ；變形； ；下結(jié)論教材整理2作商比較法1理論依據(jù)：當(dāng)b0時(shí)，ab ；ab1；ab1.2定義：證明ab(b0)，只要轉(zhuǎn)化為證明 ，這種方法稱為作商比較法3步驟：作商；變形；判斷商與1大小；下結(jié)論（三）重難點(diǎn)精講題型一、作商比較法證明不等式例1已知a0，b0且ab，求證：aabb(ab).【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】a0，b0，aabb0，(ab)0，作商aab.ab，當(dāng)ab0時(shí)，1且0，1，而(ab)0，aabb(ab).當(dāng)ba0時(shí)，01且0，1，而(ab)0，aabb(ab).綜上可知a0，b0且ab時(shí)，有aabb(ab).規(guī)律總結(jié)：1當(dāng)不等式的兩端為指數(shù)式時(shí)，可作商證明不等式2運(yùn)用ab1證明不等式時(shí)，一定注意b0是前提條件若符號(hào)不能確定，應(yīng)注意分類討論再練一題1已知m，nR，求證：.【證明】因?yàn)閙，nR，所以，令mn，則：當(dāng)mn0時(shí)，1，mn0，則1.當(dāng)mn時(shí)，1.當(dāng)nm0時(shí)，01，mn1.故對(duì)任意的m，nR都有1.即，所以.題型二、比較法的實(shí)際應(yīng)用例2甲、乙二人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走如果mn，問甲、乙二人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)？【精彩點(diǎn)撥】設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程是s，甲、乙二人走完這段路程所用的時(shí)間分別為t1, t2，要回答題目中的問題，只要比較t1，t2的大小就可以了【自主解答】設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程為s，甲、乙二人走完這段路程所用的時(shí)間分別為t1, t2，依題意有：mns，t2.t1，t2，t1t2.其中s，m，n都是正數(shù)，且mn，t1t20，即t1t2，從而知甲比乙先到達(dá)指定地點(diǎn)規(guī)律總結(jié)：1應(yīng)用不等式解決實(shí)際問題時(shí)，關(guān)鍵是如何把等量關(guān)系、不等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式的問題來解決，也即建立數(shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵2在實(shí)際應(yīng)用不等式問題時(shí)，常用比較法來判斷數(shù)的大小關(guān)系若是選擇題或填空題，則可用特殊值加以判斷再練一題2通過水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管截面(指橫截面)的周長相等，試問：截面為圓的水管流量大還是截面為正方形的水管流量大？【解】設(shè)截面的周長為l，依題意知，截面是圓的水管的截面面積為2，截面是正方形的水管的截面面積為.由于l0,04，0，.因此，通過水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大題型三、作差比較法例3已知a，bR，求證：a2b21abab.【精彩點(diǎn)撥】此不等式作差后是含有兩個(gè)字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根據(jù)二次三項(xiàng)式的判別式確定符號(hào)【自主解答】法一a2b2abab1(ab)2(a1)2(b1)20，a2b21abab.法二a2b2abab1a2(b1)ab2b1，對(duì)于a的二次三項(xiàng)式，(b1)24(b2b1)3(b1)20.a2(b1)ab2b10，故a2b21abab.規(guī)律總結(jié)：1作差比較法中，變形具有承上啟下的作用，變形的目的在于判斷差的符號(hào)，而不用考慮差值的多少2因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷“差式”的符號(hào)，常將“差式”變形為一個(gè)常數(shù)，或幾個(gè)因式積的形式，當(dāng)所得的“差式”是某字母的二次三項(xiàng)式時(shí)，可利用“”判定符號(hào)再練一題3已知abc，證明：a2bb2cc2aab2bc2ca2.【證明】a2bb2cc2aab2bc2ca2(a2bbc2)(b2cab2)(c2aca2)b(a2c2)b2(ca)ac(ca)(ac)(babcb2ac)(ac)(ab)(bc)abc，ac0，ab0，bc0，(ac)(ab)(bc)0，即a2bb2cc2aab2bc2ca2.（四）歸納小結(jié)比較法（五）隨堂檢測(cè)1設(shè)ta2b，sab21，則下列t與s的大小關(guān)系中正確的是()Ats Bts Cts D.ts【解析】st(ab21)(a2b)(b1)20，st.【答案】D2已知a0且a1，Ploga(a31)，Qloga(a21)，則P，Q的大小關(guān)系是()APQ BPQ CPQ D.大小不確定【解析】PQloga(a31)loga(a21)loga.當(dāng)0a1時(shí)，0a31a21，則01，loga0，即PQ0，PQ.當(dāng)a1時(shí)，a31a210，1，loga0，即PQ0，PQ.綜上總有PQ，故選A.【答案】A3設(shè)a，b，m均為正數(shù)，且，則a與b的大小關(guān)系是_【解析】0.又a，b，m為正數(shù)，a(am)0，m0，因此ab0.即ab.【答案】ab六、板書設(shè)計(jì)2.1 比較法教材整理1作差比較法教材整理2作商比較法例1：例2：例3：學(xué)生板演練習(xí)七、作業(yè)布置同步練習(xí)：2.1比較法八、教學(xué)反思