《2018年高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 2.1 數(shù)列學案 蘇教版選修5.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018年高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 2.1 數(shù)列學案 蘇教版選修5.doc（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
2.1
預習課本P30～34，思考并完成以下問題
(1)什么是數(shù)列？什么叫數(shù)列的通項公式？
(2)怎樣求數(shù)列的通項公式？
(3)數(shù)列與函數(shù)有什么關系，數(shù)列通項公式與函數(shù)解析式有什么聯(lián)系？
1．數(shù)列的概念
(1)定義：按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列．
(2)項：數(shù)列中的每個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．a(chǎn)1稱為數(shù)列{an}的第1項(或稱為首項)，a2稱為第2項，…，an稱為第n項．
(3)數(shù)列的表示：數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}．
[點睛] (1)數(shù)列中的數(shù)是按一定次序排列的．因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列．例如，數(shù)列4,5,6,7,8,9,10與數(shù)列10,9,8,7,6,5,4是不同的數(shù)列．
(2)在數(shù)列的定義中，并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn)．例如：1，－1,1，－1,1，…；2,2,2，….
2．數(shù)列的分類
分類標準
名稱
含義
按項的個數(shù)
有窮數(shù)列
項數(shù)有限的數(shù)列
無窮數(shù)列
項數(shù)無限的數(shù)列
按項的變化趨勢
遞增數(shù)列
從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列
遞減數(shù)列
從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列
常數(shù)列
各項相等的數(shù)列
擺動數(shù)列
從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列
3．數(shù)列的通項公式
如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．
[點睛] (1)數(shù)列的通項公式實際上是一個以正整數(shù)集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}為定義域的函數(shù)解析式．
(2)同所有的函數(shù)關系不一定都有解析式一樣，并不是所有的數(shù)列都有通項公式．
1．在函數(shù)f(x)＝中，令x＝1,2,3，…，得到一個數(shù)列，則這個數(shù)列的前5項是_____．
答案：1，，，2，
2．若數(shù)列{an}的通項滿足＝n－2，那么15是這個數(shù)列的第________項．
解析：由＝n－2可知，an＝n2－2n，
令n2－2n＝15，得n＝5或n＝－3(舍去)．
答案：5
3．數(shù)列－，，－，，…，的一個通項公式為________．
解析：觀察各項知，其通項公式可以為an＝.
答案：an＝
4．數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝＋1，則a4＝________.
解析：a1＝1，a2＝＋1＝2，a3＝＋1＝，a4＝＋1＝.
答案：
數(shù)列的概念及分類
[典例] 下列各式哪些是數(shù)列？若是數(shù)列，哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？哪些是擺動數(shù)列？哪些是常數(shù)列？
(1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3,4；
(3)0,1,2,3,4，…；(4)1，－1,1，－1,1，－1，…；
(5)6,6,6,6,6.
[解] (1)是集合，不是數(shù)列；(2)(3)(4)(5)是數(shù)列，其中(3)(4)是無窮數(shù)列，(2)(5)是有窮數(shù)列，(4)是擺動數(shù)列，(5)是常數(shù)列．
判斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列，只需考察數(shù)列是有限項還是無限項．若數(shù)列含有限項，則是有窮數(shù)列，否則為無窮數(shù)列．而判斷數(shù)列的單調(diào)性，則需要從第2項起，觀察每一項與它的前一項的大小關系，若滿足an
an＋1，則是遞減數(shù)列；若滿足an＝an＋1，則是常數(shù)列；若an與an＋1的大小不確定時，則是擺動數(shù)列．
[活學活用]
1．①數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}；
②數(shù)列1,0，－1，－2與－2，－1,0,1是相同的數(shù)列；
③數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看是一群孤立的點；
④數(shù)列的項數(shù)是無限的．
其中正確的是________(填序號)．
解析：①不正確，數(shù)列不能用集合表示．
②不正確，數(shù)列中的項是有次序的．次序不同表示不同的數(shù)列．
③正確．
④數(shù)列的項數(shù)有有限的，也有無限的．
答案：③
2．已知下列數(shù)列：
(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018；
(2)0，，…，，…；
(3)1，，，…，，…；
(4)1，－，…，，…；
(5)1,0，－1，…，sin，…；
(6)9,9,9,9,9,9.
其中，有窮數(shù)列是________，無窮數(shù)列是________，遞增數(shù)列是________，遞減數(shù)列是________，常數(shù)列是________，擺動數(shù)列是________．(將合理的序號填在橫線上)
解析：(1)是有窮遞增數(shù)列；
(2)是無窮遞增數(shù)列；
(3)是無窮遞減數(shù)列；
(4)是擺動數(shù)列，也是無窮數(shù)列；
(5)是擺動數(shù)列，也是無窮數(shù)列；
(6)是常數(shù)列，也是有窮數(shù)列．
答案：(1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6)
(4)(5)
數(shù)列的通項公式
[典例] 根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下列各數(shù)列的一個通項公式：
(1)0,3,8,15,24，…；
(2)－，，－，，…；
(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9，…；
(4)3,5,3,5,3,5，….
[解] (1)觀察數(shù)列中的數(shù)字，可以看到0＝1－1，3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，可發(fā)現(xiàn)an＝n2－1.
(2)由觀察法知這個數(shù)列的前四項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式是an＝(－1)n.
(3)由于數(shù)列9,99,999,9 999，…的通項公式為an＝10n－1.
∴原數(shù)列的通項公式可記為an＝10－n(10n－1)＝＝1－.
(4)由于數(shù)列的奇數(shù)項為3，偶數(shù)項為5，所以通項公式可用分段形式表示，記為
an＝
由于3與5的平均數(shù)為＝4,4＋1＝5,4－1＝3.而“加1”與“減1”也就是(－1)n，故通項公式還可記為
an＝4＋(－1) n.
給出數(shù)列的前幾項，求通項時，注意觀察數(shù)列中各項與其序號的變化關系，在所給數(shù)列的前幾項中，先看看哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項中變化部分與序號間的關系，主要從以下4個方面來考慮：
(1)分式形式的數(shù)列，分子、分母分別求通項，較復雜的還要考慮分子、分母的關系．
(2)若n和n＋1項正負交錯，那么符號用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1來調(diào)控．
(3)熟悉一些常見數(shù)列的通項公式．
(4)對于復雜數(shù)列的通項公式，其項與序號之間的關系不容易發(fā)現(xiàn)，要將數(shù)列各項的結構形式加以變形，將數(shù)列的各項分解成若干個常見數(shù)列對應項的和”“差”“積”“商”后再進行歸納．
[活學活用]
寫出下列數(shù)列的一個通項公式：
(1)1，－3,5，－7,9，…；
(2)1，2，3，4，…；
(3)1,11,111,1 111，….
解：(1)數(shù)列各項的絕對值為1,3,5,7,9，…，是連續(xù)的正奇數(shù)，并且數(shù)列的奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以它的一個通項公式為an＝(－1)n＋1(2n－1)．
(2)此數(shù)列的整數(shù)部分1,2,3,4，…恰好是序號n，分數(shù)部分與序號n的關系為，故所求的數(shù)列的一個通項公式為an＝n＋＝.
(3)原數(shù)列的各項可變?yōu)?，99，999，9 999，…，易知數(shù)列9,99,999,9 999，…的一個通項公式為an＝10n－1.所以原數(shù)列的一個通項公式為an＝(10n－1).
求數(shù)列中的最大(小)項
題點一：利用單調(diào)性求最值項
1．已知an＝，則數(shù)列{an}中的最小項為________．
解析：∵an＝
＝＋1，
∴點(n，an)在函數(shù)y＝＋1的圖象上，
在直角坐標系中作出函數(shù)y＝＋1的圖象，
由圖象易知，當x∈(0，)時，函數(shù)單調(diào)遞減．
∴a9a11>…>1.
所以，數(shù)列{an}中最大的項是a10，最小的項是a9.
答案：a9
題點二：利用圖象求最值項
2．在數(shù)列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，則此數(shù)列最大項的值是________．
解析：根據(jù)題意并結合二次函數(shù)的性質可得：an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋3＝－22＋3＋，所以，n＝7時，an取得最大值，最大項a7的值為108.
答案：108
題點三：比較法求最值項
3．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝n，試問該數(shù)列有沒有最大項？若有，求出最大項和最大項的序號；若沒有，請說明理由．
解：法一：an＋1－an
＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n
＝，
當n<9時，an＋1－an>0，即an＋1>an；
當n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
當n>9時，an＋1－an<0，即an＋1a11>a12>…，
故數(shù)列{an}有最大項，為第9項和第10項，
且a9＝a10＝109.
法二：根據(jù)題意，令(n>1)
即(n>1)
解得9≤n≤10.
又n∈N*，則n＝9或n＝10.故數(shù)列{an}有最大項，為第9項和第10項，且a9＝a10＝109.
(1)由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以可以用研究函數(shù)的思想方法來研究數(shù)列的相關性質，如單調(diào)性、最大值、最小值等，此時要注意數(shù)列的定義域為正整數(shù)集或其有限子集{1,2，…，n}這一條件．
(2)可以利用不等式組(n>1)找到數(shù)列的最大項；利用不等式組(n>1)找到數(shù)列的最小項．
層級一 學業(yè)水平達標
1．數(shù)列0，，，，，…的通項公式為________．
解析：數(shù)列可化為，，，，，…
觀察可得：an＝.
答案：an＝
2．根據(jù)下列4個圖形及相應點的個數(shù)的變化規(guī)律，試猜測第n個圖形中有____________個點．
解析：由圖形可得，圖形中的點數(shù)為1,4,9,16，…
則其通項公式為an＝n2，
故第n個圖形中的點數(shù)為n2.
答案：n2
3．數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)，則a6＝________.
解析：由題意得a3＝a2＋a1＝2，a4＝a3＋a2＝3，a5＝a4＋a3＝5，a6＝a5＋a4＝8.
答案：8
4．數(shù)列{an}中，a1＝1，對于所有的n≥2，n∈N*都有a1a2a3…an＝n2，則a3＋a5的值為________．
解析：由a1a2a3…an＝n2，
∴a1a2＝4，a1a2a3＝9，∴a3＝，
同理a5＝.∴a3＋a5＝.
答案：
5．已知數(shù)列{an}滿足amn＝aman(m，n∈N*)，且a2＝3，則a8＝________.
解析：由amn＝aman，得a4＝a22＝a2a2＝9，
a8＝a24＝a2a4＝39＝27.
答案：27
6．數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－5n，則{an}的第______項最?。?
解析：an＝2－.∵n∈N*，∴當n＝2或3時，an最小，∴{an}的第2或3項最?。?
答案：2或3
7．下面五個結論：①數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點；②數(shù)列的項數(shù)是無限的；③數(shù)列的通項公式是唯一的；④數(shù)列不一定有通項公式；⑤將數(shù)列看做函數(shù)，其定義域是N*(或它的有限子集{1,2，…，n})．其中正確的是________(填序號)．
解析：②中數(shù)列的項數(shù)也可以是有限的，③中數(shù)列的通項公式不唯一．
答案：①④⑤
8．已知函數(shù)f(x)由下表定義：
x
1
2
3
4
5
f(x)
4
1
3
5
2
若a1＝5，an＋1＝f(an)(n＝1,2，…)，則a2 016＝________.
解析：a2＝f(a1)＝f(5)＝2，a3＝f(a2)＝f(2)＝1，a4＝f(a3)＝f(1)＝4，a5＝f(a4)＝f(4)＝5，…，可知數(shù)列{an}是循環(huán)數(shù)列周期為4，所以a2 016＝a4504＝a4＝4.
答案：4
9．數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2－7n＋6.
(1)這個數(shù)列的第4項是多少？
(2)150是不是這個數(shù)列的項？若是這個數(shù)列的項，它是第幾項？
解：(1)當n＝4時，a4＝42－47＋6＝－6.
(2)是．令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是這個數(shù)列的第16項．
10．已知函數(shù)f(x)＝2x－2－x，數(shù)列{an}滿足f(log2an)＝－2n.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)證明：數(shù)列{an}是遞減數(shù)列．
解：(1)因為f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，
所以2log2an－2－log2an＝－2n，所以，an－＝－2n，
所以a＋2nan－1＝0，解得an＝－n.
因為an>0，所以an＝－n.
(2)證明：＝
＝<1.
因為an>0，所以an＋10對n∈N*恒成立得λ<.
答案：
5．已知數(shù)列{an}對任意的p，q∈N*滿足ap＋q＝ap＋aq且a2＝6，那么a10＝________.
解析：a4＝a2＋a2＝12，a6＝a4＋a2＝18，a10＝a6＋a4＝30.
答案：30
6．在數(shù)列{an}中，a1＝2，nan＋1＝(n＋1)an＋2，則a4＝________.
解析：當n＝1時，a2＝2a1＋2＝22＋2＝6；
當n＝2時，2a3＝3a2＋2＝36＋2＝20，
∴a3＝10；
當n＝3時，3a4＝4a3＋2＝410＋2＝42，
∴a4＝14.
答案：14
7．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－，a2＝－.
(1)求{an}的通項公式；
(2)－是{an}中的第幾項？
(3)該數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？
解：(1)∵an＝pn＋q，
又a1＝－，a2＝－，
∴解得
因此{an}的通項公式是an＝n－1.
(2)令an＝－，即n－1＝－，
所以n＝，解得n＝8.
故－是{an}中的第8項．
(3)由于an＝n－1，且n隨n的增大而減小，因此an的值隨n的增大而減小，故{an}是遞減數(shù)列．
8．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝.
(1)求證：03，
所以0<<1，
所以0<1－<1，即0
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2018年高中數(shù)學
第二章
數(shù)列
2.1
數(shù)列學案
蘇教版選修5
2018
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數(shù)學
第二
蘇教版
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