2018年秋高中數(shù)學(xué) 專題強(qiáng)化訓(xùn)練2 推理與證明 新人教A版選修2-2.doc

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專題強(qiáng)化訓(xùn)練(二)　推理與證明 (建議用時(shí)：45分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．“因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)(大前提)，而y＝x是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以函數(shù)y＝x是增函數(shù)(結(jié)論)”，以上推理的錯(cuò)誤的原因是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062178】 A．大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) B．小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) C．推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) D．大前提和小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) A　[推理形式?jīng)]有錯(cuò)誤，而大前提“y＝ax是增函數(shù)”是不正確的，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y＝ax是減函數(shù)；當(dāng)a＞1時(shí)，y＝ax是增函數(shù)．故選A.] 2．用反證法證明命題“＋是無理數(shù)”時(shí)，假設(shè)正確的是(　　) A．假設(shè)是有理數(shù) B．假設(shè)是有理數(shù) C．假設(shè)或是有理數(shù) D．假設(shè)＋是有理數(shù) D　[應(yīng)對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定，則＋不是無理數(shù)，即＋是有理數(shù)．] 3．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程＋＝1表示在x，y軸上的截距分別為a，b的直線，拓展到空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，在x，y，z軸上的截距分別為a，b，c(abc≠0)的平面方程為(　　) A.＋＋＝1　　　　　　 B.＋＋＝1 C.＋＋＝1 D．a(chǎn)x＋by＋cz＝1 A　[類比到空間應(yīng)選A.另外也可將點(diǎn)(a,0,0)代入驗(yàn)證．] 4．下面四個(gè)推理不是合情推理的是(　　) A．由圓的性質(zhì)類比推出球的有關(guān)性質(zhì) B．由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和都是180，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180 C．某次考試張軍的成績(jī)是100分，由此推出全班同學(xué)的成績(jī)都是100分 D．蛇、海龜、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龜、蜥蜴是爬行動(dòng)物，所以所有的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸的 C　[逐項(xiàng)分析可知，A項(xiàng)屬于類比推理，B項(xiàng)和D項(xiàng)屬于歸納推理，而C項(xiàng)中各個(gè)學(xué)生的成績(jī)不能類比，不是合情推理．] 5．已知f(x)＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，則f(a)＋f(b)＋f(c)的值一定 (　　) A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．正負(fù)都可能 A　[f(x)＝x3＋x是奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)， 由a＋b>0，得a>－b，故f(a)>f(－b)． 可得f(a)＋f(b)>0. 同理f(a)＋f(c)>0，f(a)＋f(c)>0. 所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.故選A]． 二、填空題 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的恒等式時(shí)，當(dāng)n＝k時(shí)，表達(dá)式為14＋27＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，表達(dá)式為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062179】 [解析]　當(dāng)n＝k＋1時(shí)，應(yīng)將表達(dá)式14＋27＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更換為k＋1. [答案]　14＋27＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2 7．在平面上，我們用一直線去截正方形的一個(gè)角，那么截下的一個(gè)直角三角形，按如圖22所標(biāo)邊長(zhǎng)，由勾股定理有c2＝a2＋b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖22截面，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OLMN，如果用S1、S2、S3表示三個(gè)側(cè)面面積，S表示截面面積，那么類比得到的結(jié)論是________． 圖22 [解析]　類比如下：正方形?正方體；截下直角三角形?截下三側(cè)面兩兩垂直的三棱錐；直角三角形斜邊平方?三棱錐底面面積的平方；直角三角形兩直角邊平方和?三棱錐三個(gè)側(cè)面面積的平方和，結(jié)論S2＝S＋S＋S.(這個(gè)結(jié)論是正確的，證明略) [答案]　S2＝S＋S＋S 8．觀察下列等式：＝1－，＋＝1－，＋＋＝1－，……，由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于n∈N*，＋＋…＋＝________. [解析]　由已知中的等式：＝1－ ＋＝1－， ＋＋＝1－，…， 所以對(duì)于n∈N*，＋＋…＋＝1－. [答案]　1－ 三、解答題 9. 已知x∈R，a＝x2－1，b＝2x＋2.求證a，b中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)． [解]　假設(shè)a，b中沒有一個(gè)是非負(fù)數(shù)，即a＜0，b＜0，所以 a＋b＜0. 又a＋b＝x2－1＋2x＋2＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，這與假設(shè)所得結(jié)論矛盾，故假設(shè)不成立， 所以，a，b中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)． 10．已知a＋b＋c＝abc，求證：＋＋＝. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062180】 [證明]　欲證原式，即證：a(1－b2)(1－c2)＋b(1－a2)(1－c2)＋c(1－a2)(1－b2)＝4abc 左邊全部展開，得 左＝abc(ab＋bc＋ca)－ab2－ac2－ba2－bc2－ca2－cb2＋a＋b＋c， 利用abc＝a＋b＋c，得： 上式＝4abc＝右邊． 故原等式成立． [能力提升練] 1．已知1＋23＋332＋433＋…＋n3n－1＝3n(na－b)＋c對(duì)一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值為(　　) A．a(chǎn)＝，b＝c＝ B．a(chǎn)＝b＝c＝ C．a(chǎn)＝0，b＝c＝ D．不存在這樣的a、b、c A　[令n＝1，得1＝3(a－b)＋c， 令n＝2，得1＋23＝9(2a－b)＋c， 令n＝3，得1＋23＋332＝27(3a－b)＋c. 即， ∴a＝，b＝c＝.故選A.] 2．對(duì)大于或等于2的自然數(shù)的正整數(shù)冪運(yùn)算有如下分解方式： 22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19 根據(jù)上述分解規(guī)律，若m2＝1＋3＋5＋…＋11，n3的分解中最小的正整數(shù)是21，則m＋n＝(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 B　[∵m2＝1＋3＋5＋…＋11＝6＝36， ∴m＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11， 43＝13＋15＋17＋19，∴53＝21＋23＋25＋27＋29， ∵n3的分解中最小的數(shù)是21， ∴n3＝53，n＝5，∴m＋n＝6＋5＝11.] 3．觀察①sin210＋cos240＋sin 10cos 40＝；②sin26＋cos236＋sin 6cos36＝.由兩式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可提出一個(gè)猜想的等式為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062181】 [解析]　觀察40－10＝30，36－6＝30， 由此猜想： sin2α＋cos2(30＋α)＋sin αcos(30＋α)＝. 可以證明此結(jié)論是正確的，證明如下： sin2α＋cos2(30＋α)＋sin αcos(30＋α)＝＋＋[sin(30＋2α)－sin 30]＝1＋[cos(60＋2α)－cos 2α]＋sin(30＋2α)－＝1＋[－2sin(30＋2α)sin 30]＋sin(30＋2α)－＝－sin(30＋2α)＋sin(30＋2α)＝. [答案]　sin2α＋cos2(30＋α)＋sin αcos(30＋α)＝ 4．給出下列不等式：①a＞b＞0，且a2＋＝1，則ab＞a2b2；②a，b∈R，且ab＜0，則≤－2；③a＞b＞0，m＞0，則＞；④≥4(x≠0)．其中正確不等式的序號(hào)為________． [解析]?、賏>b>0，∴a≠. ∴a2＋＝1＞2＝ab. ∴1－ab>0.∴ab－a2b2＝ab(1－ab)>0.∴ab>a2b2.①正確． ②＋2＝. ∵ab<0，(a＋b)2≥0，∴≤－2.②正確； ③－＝. ∵a>b>0，m>0， ∴b(b＋m)>0，b－a<0. ∴<0. ∴＜.③不正確． ④＝|x|＋≥4.④正確． [答案]　①②④ 5．在圓x2＋y2＝r2(r>0)中，AB為直徑，C為圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，則有kACkBC＝－1.你能用類比的方法得出橢圓＋＝1(a>b>0)中有什么樣的結(jié)論？并加以證明. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062182】 [解]　類比得到的結(jié)論是：在橢圓＋＝1(a>b>0)中，A、B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)，點(diǎn)C(x，y)是橢圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，則kACkBC＝－. 證明如下：設(shè)A(x0，y0)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則A關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(－x0，－y0)，點(diǎn)P(x，y)為橢圓上異于A，B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則kAPkBP＝＝. 由于A、B、P三點(diǎn)在橢圓上， ∴ 兩式相減得，＋＝0， ∴＝－，即kAPkBP＝－. 故在橢圓＋＝1(a>b>0)中，長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)為A、B、C為異于A、B的橢圓上的任意一點(diǎn)，則有kACkBC＝－.