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2017－2018高二下期中考數(shù)學(xué)測試卷
一、選擇題(12小題，每小題5分,共60分)
1．復(fù)數(shù)的實部是( )
A．－2 B．2 C．3 D．4
2．張、王兩家夫婦各帶1個小孩一起到動物園游玩，購票后排隊依次入園．為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)共有( )
A．12 B．24 C．36 D．48
3．下列說法正確的是 ( )
A.命題“若x2=1,則x=1”的否命題為“若x2=1,則x≠1”
B.命題“?x≥0,x2+x-1<0”的否定是“?x0<0,+x0-1<0”
C.命題“若x=y,則sinx=siny”的逆否命題為假命題
D.若“p∨q”為真命題,則p,q中至少有一個為真命題
4.的展開式中的常數(shù)項為 ( )
A.12 B.-12 C.6 D.-6
5.使不等式x2-3x<0成立的一個必要不充分條件是 ( )
A.0
3
6．已知，，是空間的一個基底，設(shè)＝＋，＝－，則下列向量中可以與，一起構(gòu)成空間的另一個基底的是( )
A． B． C． D．以上都不對
7.如圖1，已知F是橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點，P是橢圓上的一點，PF⊥x軸，OP∥AB(O為原點)，則該橢圓的離心率是( )
圖1
A. B． C． D．
8. 定積分的值為（ ）
A. 0 B. C. 2 D. 4
9. 若函數(shù)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有T性質(zhì)，下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（ ）
A. B. C. D.
10.若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A,B兩個不同的點,且AB的中點的橫坐標(biāo)為2,則k等于 ( )
A.2或-1 B.-1 C.2 D.1
11．設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)
12. 已知是平面的斜線段，為斜足，若與平面成角，過定點的動直線與斜線 成角，且交于點，則動點的軌跡是( )
A. 圓 B. 橢圓 C.雙曲線 D.拋物線
二、填空題(4小題，每小題5分，共20分)
13、雙曲線－＝1的漸近線的方程為________．
14.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布， ，則＝__________
15．若三角形內(nèi)切圓的半徑為，三邊長為，則三角形的面積等于，根據(jù)類比推理的方法，若一個四面體的內(nèi)切球的半徑為，四個面的面積分別是，則四面體的體積 ?。?
16. 定義域在R上的可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足f(x)>，且，則不等式的解集為___________.
三、解答題(6小題，滿分70分)
17．(本小題滿分10分)某校在兩個班進(jìn)行教學(xué)方式對比試驗，兩個月后進(jìn)行了一次檢測，試驗班與對照班成績統(tǒng)計如下表所示(單位：人)：
80及80分以上
80分以下
總計
試驗班
35
15
50
對照班
20
m
50
總計
55
45
n
(1)求m，n；
(2)能否在犯錯誤的概率不超過0．005的情況下認(rèn)為教學(xué)方式與成績有關(guān)系？
P(K2≥k)
0.05
0.010
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828
18. （本小題滿分12分）
已知函數(shù)，在點處的切線方程為．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；
19. (本小題滿分12分)一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1，3張卡片上的數(shù)字是2，2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片．
(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；
(2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
(注：若三個數(shù)a，b，c滿足a≤b≤c，則稱b為這三個數(shù)的中位數(shù))
20．（本小題滿分12分）
已知四棱錐的底面為直角梯形，,底面，且是的中點.
(1)證明：平面平面
(2)求二面角的余弦值.
21.( 本小題滿分12分)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,它的一個頂點恰好是拋物線y=x2的焦點,離心率為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A,B兩點,交y軸于點M,若=m,=n,試判斷m+n是否為定值，若是求出m+n的值，若不是請說明理由.
22．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ln x－.
(1)若f(x)存在最小值且最小值為2，求a的值；
(2)設(shè)g(x)＝ln x－a，若g(x)＜x2在(0，e]上恒成立，求a的取值范圍．
2017－2018高二下期中考數(shù)學(xué)測試卷
班級： 座號： 姓名： 命題人：徐強(qiáng) 審題人：吳元良
一、選擇題(12小題，每小題5分,共60分)
1．復(fù)數(shù)的實部是( )
A．－2 B．2 C．3 D．4
解析：選B
2．張、王兩家夫婦各帶1個小孩一起到動物園游玩，購票后排隊依次入園．為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)共有( )
A．12 B．24 C．36 D．48
解析：選B 第一步，將兩位爸爸排在兩端有2種排法；第二步，將兩個小孩視作一人與兩位媽媽任意排在中間的三個位置上有2A種排法，故總的排法有22A＝24種．
3．下列說法正確的是 ( )
A.命題“若x2=1,則x=1”的否命題為“若x2=1,則x≠1”
B.命題“?x≥0,x2+x-1<0”的否定是“?x0<0,+x0-1<0”
C.命題“若x=y,則sinx=siny”的逆否命題為假命題
D.若“p∨q”為真命題,則p,q中至少有一個為真命題
【解析】選D.
4.的展開式中的常數(shù)項為 ( )
A.12 B.-12 C.6 D.-6
【解析】選A.展開式中的通項公式為Tr+1=x6-2r
(-2)rx-r=(-2)rx6-3r,
令6-3r=0,求得r=2,
故展開式中的常數(shù)項為43=12.
5.使不等式x2-3x<0成立的一個必要不充分條件是 ( )
A.03
【解析】選B.
6．已知，，是空間的一個基底，設(shè)＝＋，＝－，則下列向量中可以與，一起構(gòu)成空間的另一個基底的是( )
A． B． C． D．以上都不對
解析 ∵a，b，c不共面，
∴a＋b，a－b，c不共面，∴p，q，c可構(gòu)成空間的一個基底．
答案 C
7.如圖1，已知F是橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點，P是橢圓上的一點，PF⊥x軸，OP∥AB(O為原點)，則該橢圓的離心率是( )
圖1
A. B． C． D．
【解析】 因為PF⊥x軸，所以P.
又OP∥AB，所以＝，即b＝c.
于是b2＝c2，
即a2＝2c2，所以e＝＝.
【答案】 A
8. 定積分的值為（ ）
A. 0 B. C. 2 D. 4
【答案】C
9. 若函數(shù)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有T性質(zhì)，下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，若具有T性質(zhì)，則存在使或且處切線與x軸垂直.
A項，，，有具有T性質(zhì)，故A項正確；
B項，，，切線斜率存在，不滿足，不具有T性質(zhì)，故B項錯誤；
C項，， 不具有T性質(zhì)，故C項錯誤；
D項，，，不具有T性質(zhì)，故D項錯誤.
10.若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A,B兩個不同的點,且AB的中點的橫坐標(biāo)為2,則k等于 ( )
A.2或-1 B.-1 C.2 D.1
【解析】選C.由消去y得,
k2x2-4(k+2)x+4=0,
故Δ=[-4(k+2)]2-4k24=64(1+k)>0,
解得k>-1,由x1+x2==4,
解得k=-1或k=2,又因為k>-1,故k=2.
【易錯警示】本題易忽略Δ>0而錯選A.
11．設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)
解析：選D 設(shè)F(x)＝，
則F′(x)＝，
由題意知：F(x)為奇函數(shù)，F(xiàn)(x)在(－∞，0)上遞增，F(xiàn)(3)＝0，數(shù)形結(jié)合易得F(x)<0的解集為(－∞，－3)∪(0,3)，從而f(x)g(x)<0的解集也為(－∞，－3)∪(0,3)．
12. 已知是平面的斜線段，為斜足，若與平面成角，過定點的動直線與斜線 成角，且交于點，則動點的軌跡是( )
A. 圓 B. 橢圓 C.雙曲線 D.拋物線
解析：選D
二、填空題(4小題，每小題5分，共20分)
13、雙曲線－＝1的漸近線的方程為________．
答案： y＝x
14.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布， ，則＝__________
答案：0.34
15．若三角形內(nèi)切圓的半徑為，三邊長為，則三角形的面積等于，根據(jù)類比推理的方法，若一個四面體的內(nèi)切球的半徑為，四個面的面積分別是，則四面體的體積 ．
答案： R(S1+S2+S3+S4)
16. 定義域在R上的可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為___________.
【答案】
【解析】令，，
可得函數(shù)在R上為減函數(shù)，
又，
故不等式即.
不等式的解集為 .
三、解答題(6小題，滿分70分)
17．(本小題滿分10分)某校在兩個班進(jìn)行教學(xué)方式對比試驗，兩個月后進(jìn)行了一次檢測，試驗班與對照班成績統(tǒng)計如下表所示(單位：人)：
80及80分以上
80分以下
總計
試驗班
35
15
50
對照班
20
m
50
總計
55
45
n
(1)求m，n；
(2)能否在犯錯誤的概率不超過0．005的情況下認(rèn)為教學(xué)方式與成績有關(guān)系？
P(K2≥k)
0.05
0.010
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828
解：(1)m＝45－15＝30，n＝50＋50＝100．
(2)由表中的數(shù)據(jù)，得K2的觀測值為
k＝≈9．091．
因為9．091>7．879，所以能在犯錯誤的概率不超過0．005的前提下認(rèn)為教學(xué)方式與成績有關(guān)系．
18. （本小題滿分12分）
已知函數(shù)，在點處的切線方程為．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；
解：（Ⅰ）
又切線斜率為－１，故，從而
將代入方程得：，從而
，將代入得
故
（Ⅱ）依題意知，
令，得：，再令，得：
故的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為
19. (本小題滿分12分)一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1，3張卡片上的數(shù)字是2，2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片．
(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；
(2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
(注：若三個數(shù)a，b，c滿足a≤b≤c，則稱b為這三個數(shù)的中位數(shù))
解：(1)由古典概型的概率計算公式知所求概率為P＝＝.
(2)X的所有可能值為1，2，3，且P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝.
故X的分布列為：
X
1
2
3
P
從而E(X)＝1＋2＋3＝.
20．（本小題滿分12分）
已知四棱錐的底面為直角梯形，,底面，且是的中點.
(1)證明：平面平面
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)詳見解析;(2).
(1)證明：面，，
∴由三垂線定理得：.
因而，與面內(nèi)兩條相交直線都垂直，
面，又面，
∴面面.
(2)作，垂足為，連接.
在中，，又，≌,
，故為所求二面角的平面角
，由三垂線定理，得,
在中，，所以.
在等腰三角形中，,
,
.
故二面角余弦值為.
注：向量法請酌情給分。
21.( 本小題滿分12分)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,它的一個頂點恰好是拋物線y=x2的焦點,離心率為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A,B兩點,交y軸于點M,若=m,=n,試判斷m+n是否為定值，若是求出m+n的值，若不是請說明理由.
【解析】(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0).
拋物線方程可化為x2=4y,其焦點為(0,1),
則橢圓C的一個頂點為(0,1),即b=1.
由e===.
得a2=5,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
(2)m+n 為定值。
易求出橢圓C的右焦點F(2,0),
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),顯然直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=k(x-2),
代入方程+y2=1,
得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0.
所以x1+x2=,x1x2=.
又=(x1,y1-y0),=(x2,y2-y0),
=(x1-2,y1),=(x2-2,y2).
因為=m,=n,
所以m=,n=,
所以m+n=,
又2x1x2-2(x1+x2)=
=-,
4-2(x1+x2)+x1x2
=4-+=,
所以m+n=10.
22．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ln x－.
(1)若f(x)存在最小值且最小值為2，求a的值；
(2)設(shè)g(x)＝ln x－a，若g(x)＜x2在(0，e]上恒成立，求a的取值范圍．
解：(1)f′(x)＝＋＝(x＞0)，
當(dāng)a≥0時，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，f(x)不存在最小值．
當(dāng)a＜0時，由f′(x)＝0，得x＝－a，
且0＜x＜－a時f′(x)＜0，
x＞－a時f′(x)＞0.
∴x＝－a時f(x)取最小值，
f(－a)＝ln(－a)＋1＝2，解得a＝－e.
(2)g(x)＜x2，即ln x－a＜x2，即a＞ln x－x2，
故g(x)＜x2在(0，e]上恒成立，也就是a＞ln x－x2在(0，e]上恒成立．
設(shè)h(x)＝ln x－x2，則h′(x)＝－2x＝，由h′(x)＝0及0＜x≤e，得x＝.
當(dāng)0＜x＜時h′(x)＞0，當(dāng)＜x≤e時h′(x)＜0，即h(x)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以當(dāng)x＝時h(x)取得最大值為h＝ln －.
所以g(x)＜x2在(0，e]上恒成立時，
a的取值范圍為.
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