2018年秋高中數(shù)學 第一章 解三角形 1.2 應用舉例 第1課時 解三角形的實際應用舉例學案 新人教A版必修5.doc

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第1課時解三角形的實際應用舉例學習目標：1.能將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題(難點).2.能夠用正、余弦定理求解與距離、高度有關的實際應用問題(重點)自 主 預 習探 新 知1基線的概念與選擇原則 (1)定義在測量上，根據(jù)測量需要適當確定的線段叫做基線(2)性質(zhì)在測量過程中，要根據(jù)實際需要選取合適的基線長度，使測量具有較高的精確度一般來說，基線越長，測量的精確度越高思考：在本章“解三角形”引言中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？提示：利用正弦定理和余弦定理2測量中的有關角的概念(1)仰角和俯角與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角(如圖121所示)圖121(2)方向角從指定方向線到目標方向線所成的水平角如南偏西60，即以正南方向為始邊，順時針方向向西旋轉(zhuǎn)60. (如圖122所示)圖122思考：李堯出校向南前進了200米，再向東走了200米，回到自己家中，你認為李堯的家在學校的哪個方向？提示：東南方向基礎自測1思考辨析(1)已知三角形的三個角，能夠求其三條邊()(2)兩個不可到達的點之間的距離無法求得()(3)東偏北45的方向就是東北方向()(4)仰角與俯角所在的平面是鉛垂面()答案(1)(2)(3)(4)提示：已知三角形中至少知道一條邊才能解三角形，故(1)錯兩個不可到達的點之間的距離可以用解三角形的方法求出，故(2)錯2如圖123，為了測量隧道口AB的長度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測量時應選用數(shù)據(jù)() 【導學號：91432044】圖123A，a，bB，aCa，b， D，bC選擇a，b，可直接利用余弦定理AB求解3小強站在地面上觀察一個建在山頂上的建筑物，測得其視角為，同時測得觀察該建筑物頂部的仰角為，則小強觀測山頂?shù)难鼋菫?)A B C DC如圖所示，設小強觀測山頂?shù)难鼋菫?，則，因此，故選C項4某人先向正東方向走了x km，然后他向右轉(zhuǎn)150，向新的方向走了3 km，結果他離出發(fā)點恰好為 km，那么x的值為() 【導學號：91432045】A. B2C2或 D3C如圖，在ABC中由余弦定理得39x26xcos 30，即x23x60，解之得x2或.合 作 探 究攻 重 難測量距離問題海上A，B兩個小島相距10 海里，從A島望C島和B島成60的視角，從B島望C島和A島成75的視角，則B，C間的距離是() 【導學號：91432046】A10 海里B.海里C5海里 D5海里D根據(jù)題意，可得右圖在ABC中，A60，B75，AB10，C45.由正弦定理可得，即，BC5(海里)規(guī)律方法三角形中與距離有關的問題的求解策略：(1)解決與距離有關的問題，若所求的線段在一個三角形中，則直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的線段在多個三角形中，要根據(jù)條件選擇適當?shù)娜切?，再利用正、余弦定理求?(2)解決與距離有關的問題的關鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊，分析所解三角形中已知哪些元素，還需要求出哪些元素，靈活應用正、余弦定理來解決.跟蹤訓練1如圖124所示，為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點A，B，望對岸標記物C，測得CAB30，CBA75，AB120 m，則河的寬度為_ m.圖124 60由題意知，ACB180307575，ABC為等腰三角形河寬即AB邊上的高，這與AC邊上的高相等，過B作BDAC于D，河寬BD120sin 3060(m)測量高度問題(1)如圖125，從山頂望地面上C，D兩點，測得它們的俯角分別為45和30，已知CD100米，點C位于BD上，則山高AB等于()圖125A100米B50米C50米 D50(1)米(2)在一幢20 m高的樓頂測得對面一塔吊頂?shù)难鼋菫?0，塔基的俯角為45，那么這座塔吊的高是() 【導學號：91432047】A20 m B20(1)mC10()m D20()m思路探究：(1)解決本題關鍵是求AB時確定在哪一個三角形中求解，該三角形是否可解(2)解決本題關鍵是畫出示意圖(1)D(2)B(1)設山高為h，則由題意知CBh，DBh，hh100，即h50(1)(2)如圖，由條件知四邊形ABCD為正方形，ABCD20 m，BCAD20 m.在DCE中，EDC60，DCE90，CD20 m，ECCDtan 6020 m，BEBCCE(2020)m.選B.規(guī)律方法解決測量高度問題的一般步驟：(1)畫圖：根據(jù)已知條件畫出示意圖.(2)分析三角形：分析與問題有關的三角形.(3)求解：運用正、余弦定理，有序地解相關的三角形，逐步求解.在解題中，要綜合運用立體幾何知識與平面幾何知識，注意方程思想的運用. 跟蹤訓練2.某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m)如圖126所示，豎直放置的標桿BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.該小組已測得一組，的值，算出了tan 1.24，tan 1.20，請據(jù)此算出H的值圖126解 由AB，BD，AD及ABBDAD，得，解得H124.因此電視塔的高度H是124 m.與立體幾何有關的測量問題探究問題1已知A，B是海平面上的兩個點，相距800 m，在A點測得山頂C的仰角為45，BAD120，又在B點測得ABD45，其中D是點C到水平面的垂足試畫出符合題意的示意圖提示：用線段CD表示山，用DAB表示海平面結合題中相應的距離及角度，畫出立體圖形，如圖所示2在探究1中若要求山高CD怎樣求解？提示：由探究1知CD平面ABD，首先在ABD中利用正弦定理求出AD的長，然后在RtACD中求出CD.如圖127，為了測量河對岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C和D，測得CD200米，在C點和D點測得塔頂A的仰角分別是45和30，且CBD30，求塔高AB. 【導學號：91432048】圖127思路探究：利用方程的思想，設ABh.表示出BCh，BDh，然后在BCD中利用余弦定理求解解在RtABC中，ACB45，若設ABh，則BCh.在RtABD中，ADB30，則BDh.在BCD中，由余弦定理可得CD2BC2BD22BCBDcosCBD，即2002h2(h)22hh，所以h22002，解得h200(h200舍去)，即塔高AB200米母題探究：(變條件)若將例題中的條件“CD200米，在C點和D點測得塔頂A的仰角分別是45和30，且CBD30”改為“CD800米，在D點測得塔頂A的仰角為45，CDB120，又在C點測得DCB45.”求塔高AB.解在BCD中，CBD1801204515，CD800 m，BCD45，由正弦定理，BD800(1)m，又ADB45，ABBD.AB800(1)m.即山的高度為800(1) m.規(guī)律方法測量高度問題的兩個關注點(1)“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化：測量高度問題往往是空間中的問題，因此先要選好所求線段所在的平面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.(2)“解直角三角形”與“解斜三角形”結合，全面分析所有三角形，仔細規(guī)劃解題思路.當 堂 達 標固 雙 基1甲、乙兩人在同一地平面上的不同方向觀測20 m高的旗桿，甲觀測的仰角為50，乙觀測的仰角為40，用d1，d2分別表示甲、乙兩人離旗桿的距離，那么有() 【導學號：91432049】Ad1d2Bd120 m Dd2tan 40，所以d1d2.2如圖128，D，C，B三點在地面同一直線上，DC100米，從C，D兩點測得A點仰角分別是60，30，則A點離地面的高度AB等于()圖128A50米 B100米C50米 D100米A因為DACACBD603030，所以ADC為等腰三角形，所以ACDC100米，在RtABC中，ABACsin 6050米3一艘船上午9：30在A處，測得燈塔S在它的北偏東30的方向，且與它相距8海里，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75的方向，此船的航速是()海里/小時. 【導學號：91432050】A8() B8()C16() D16()D由題意得在三角形SAB中，BAS30，SBA18075105，BSA45.由正弦定理得，即，得AB8()，因此此船的航速為16()(海里/小時)4在高出海平面200 m的小島頂上A處，測得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別是45與30，此時兩船間的距離為_m.200(1)過點A作AHBC于點H，由圖易知BAH45，CAH60，AH200 m，則BHAH200 m，CHAHtan 60200 m.故兩船距離BCBHCH200(1)m.5海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75，距離為12海里；在A處看燈塔C，在貨輪的北偏西30，距離為8海里；貨輪向正北由A處航行到D處時看燈塔B在北偏東120，求：(1)A處與D處之間的距離；(2)燈塔C與D處之間的距離.【導學號：91432051】解由題意，畫出示意圖(1)在ABD中，由已知ADB60，B45，AB12.由正弦定理得ADsin 4524(海里)(2)在ADC中，由余弦定理得CD2AD2AC22ADACcos 30242(8)22248(8)2，CD8(海里)即A處與D處之間的距離為24海里，C、D之間的距離為8海里