2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.2.1 第二課時 排列的綜合應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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第二課時排列的綜合應(yīng)用 用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可以組成多少個符合下列條件的無重復(fù)的數(shù)字？(1)六位奇數(shù)；(2)個位數(shù)字不是5的六位數(shù)；(3)不大于4310的四位偶數(shù)思路導(dǎo)引排數(shù)問題中，當(dāng)個位數(shù)字是奇數(shù)時，則該數(shù)即為奇數(shù)，當(dāng)個位數(shù)字為偶數(shù)時，該數(shù)即為偶數(shù)，注意0不能作首位解(1)第一步，排個位，有A種排法；第二步，排十萬位，有A種排法；第三步，排其他位，有A種排法故共有AAA288個六位奇數(shù)(2)解法一：(直接法)十萬位數(shù)字的排法因個位上排0與不排0而有所不同，因此需分兩類第一類，當(dāng)個位排0時，有A個；第二類，當(dāng)個位不排0時，有AAA個故符合題意的六位數(shù)共有AAAA504(個)解法二：(排除法)0在十萬位和5在個位的排列都不對應(yīng)符合題意的六位數(shù)，這兩類排列中都含有0在十萬位和5在個位的情況故符合題意的六位數(shù)共有A2AA504(個)(3)分三種情況，具體如下：當(dāng)千位上排1,3時，有AAA個當(dāng)千位上排2時，有AA個當(dāng)千位上排4時，形如40，42的各有A個；形如41的有AA個；形如43的只有4310和4302這兩個數(shù)故共有AAAAA2AAA2110(個)變式1本例中條件不變，能組成多少個被5整除的五位數(shù)？解個位上的數(shù)字必須是0或5.若個位上是0，則有A個；若個位上是5，若不含0，則有A個；若含0，但0不作首位，則0的位置有A種排法，其余各位有A種排法，故共有AAAA216(個)能被5整除的五位數(shù)2本例條件不變，若所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個數(shù)列an，則240135是第幾項？解由于是六位數(shù)，首位數(shù)字不能為0，首位數(shù)字為1有A個數(shù)，首位數(shù)字為2，萬位上為0,1,3中的一個有3A個數(shù)，所以240135的項數(shù)是A3A1193，即240135是數(shù)列的第193項數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項(1)解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應(yīng)分類討論(2)常用方法：直接法、間接法(3)注意事項：解決數(shù)字問題時，應(yīng)注意題干中的限制條件，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類和分步，尤其注意特殊元素“0”的處理跟蹤訓(xùn)練用1,2,3,4,5,6,7這7個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)(1)如果組成的四位數(shù)必須是偶數(shù)，那么這樣的四位數(shù)有多少個？(2)如果組成的四位數(shù)必須大于6500，那么這樣的四位數(shù)有多少個？解(1)第一步排個位上的數(shù)，因為組成的四位數(shù)必須是偶數(shù)，個位數(shù)字只能是2,4,6之一，所以有A種排法；第二步排千、百、十這三個數(shù)位上的數(shù)字，有A種排法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，符合條件的四位數(shù)的個數(shù)是AA3654360.故這樣的四位數(shù)有360個(2)因為組成的四位數(shù)要大于6500，所以千位上的數(shù)字只能取7或6.排法可以分兩類第一類，千位上排7，有A種不同的排法；第二類，若千位上排6，則百位上可排7或5，十位和個位可以從余下的數(shù)字中取2個來排，共有AA種不同的排法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，符合條件的四位數(shù)的個數(shù)是AAA160.故這樣的四位數(shù)有160個題型二排隊問題 3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊拍照，求不同的排隊方案的方法種數(shù)(1)全體站成一排，其中甲只能在中間或兩端；(2)全體站成一排，其中甲、乙必須在兩端；(3)全體站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(4)全體站成一排，男、女生各站在一起；(5)全體站成一排，男生必須站在一起；(6)全體站成一排，男生不能站在一起；(7)全體站成一排，男、女生各不相鄰；(8)全體站成一排，甲、乙中間必須有2人；(9)排成前后兩排，前排3人，后排4人解(1)(特殊元素優(yōu)先法)先考慮甲的位置，有A種方法，再考慮其余6人的位置，有A種方法故有AA2160種方法(2)(特殊元素優(yōu)先法)先安排甲、乙的位置，有A種方法，再安排其余5人的位置，有A種方法故有AA240種方法(3)解法一：(特殊元素優(yōu)先法)按甲是否在最右端分兩類：第一類，甲在最右端，有A種方法；第二類，甲不在最右端，甲有A個位置可選，乙也有A個位置可選，其余5人有A種排法，即AAA種方法故有AAAA3720種方法解法二：(間接法)無限制條件的排列方法共有A種，而甲在最左端，乙在最右端的排法分別有A種，甲在最左端且乙在最右端的排法有A種故有A2AA3720種方法解法三：(特殊元素優(yōu)先法)按最左端先安排分步對于最左端、除甲外有A種排法，余下六個位置全排列有A種排法，其中甲不在最左端，乙在最右端的排法有AA種故有AAAA3720種方法(4)(相鄰問題捆綁法)男生必須站在一起，即把3名男生進(jìn)行全排列，有A種排法，女生必須站在一起，即把4名女生進(jìn)行全排列，有A種排法，全體男生、女生各看成一個元素全排列有A種排法，由分步乘法計數(shù)原理知共有AAA288種排法(5)(捆綁法)把所有男生看成一個元素，與4名女生組成5個元素全排列，故有AA720種不同的排法(6)(不相鄰問題插空法)先排女生有A種排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五個空中，有A種排法，故有AA1440種不同的排法(7)對比(6)，讓女生插空，有AA144種不同的排法(8)(捆綁法)除甲、乙處，從其余的5人中任取2人，并站在甲、乙之間，與甲、乙組成一個整體，再與余下的3個人進(jìn)行全排列，故有AAA960種不同的排法(9)直接分步完成，共有AA5040種不同的排法排隊問題的解答策略(1)“排隊”問題與“排數(shù)”問題有些類似，主要是從特殊位置或特殊元素兩個方面考慮，當(dāng)正面考慮情況復(fù)雜時，可考慮用間接法；(2)直接法解題一般采用元素分析法和位置分析法，要注意分類時不重不漏，分步要連續(xù)、獨立；間接法要注意不符合條件的情形，做到不重不漏；(3)某些元素要求必須相鄰時，可以先將這些元素看成一個整體，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排列，這種方法稱為“捆綁法”，即“相鄰元素捆綁法”；(4)某些元素要求不相鄰時，可以先安排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空檔，這種方法稱為“插空法”，即“不相鄰元素插空法”跟蹤訓(xùn)練從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列，求解下列問題：(1)甲不在首位的排法有多少種？(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少種？(3)甲與乙既不在首位又不在末位的排法有多少種？(4)甲不在首位，同時乙不在末位的排法有多少種？解(1)解法一：把元素作為研究對象第一類，不含甲，此時只需從甲以外的其他6個元素中取出5個放在5個位置上，有A種第二類，含有甲，甲不在首位：先從4個位置中選出1個放甲，再從甲以外的6個元素中選4個排在沒有甲的位置上，有A種排法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，含有甲時共有4A種排法由分類加法計數(shù)原理，共有A4A2160種排法解法二：把位置作為研究對象第一步，從甲以外的6個元素中選1個排在首位，有A種排法第二步，從占據(jù)首位以外的6個元素中選4個排在除首位以外的其他4個位置上，有A種排法由分步乘法計數(shù)原理，可得共有AA2160種排法解法三：(間接法)即先不考慮限制條件，從7人中選出5人進(jìn)行排列，然后把不滿足條件的排列去掉不考慮甲在首位的要求，總的可能情況有A種；甲在首位的情況有A種，所以符合要求的有AA2160種排法(2)把位置作為研究對象，先滿足特殊位置第一步，從甲以外的6個元素中選兩個排在首末兩個位置上，有A種排法；第二步，從未排上的5個元素中選3個排在中間3個位置上，有A種排法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有AA1800種排法(3)把位置作為研究對象第一步，從甲、乙以外的5個元素中選兩個排在首末兩個位置，有A種排法；第二步，從未排上的5個元素中選出3個排在中間3個位置上，有A種排法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有AA1200種排法(4)用間接法總的可能情況是A種，減去甲在首位的A種，再減去乙在末位的A種注意到甲在首位同時乙在末位的情況被減去了兩次，所以還需加上一次A種，所以共有A2AA1860種排法 7人站成一排(1)甲必須在乙的前面(不一定相鄰)，則有多少種不同的排列方法；(2)甲、乙、丙三人自左向右的順序不變(不一定相鄰)，則有多少不同的排列方法思路導(dǎo)引這類問題的解法是采用分類法n個不同元素的全排列有A種排法，m個元素的全排列有A種排法因此A種排法中，關(guān)于m個元素的不同分法有A類，而且每一分類的排法數(shù)是一樣的當(dāng)這m個元素順序確定時，共有種排法解(1)甲在乙前面的排法種數(shù)占全體全排列種數(shù)的一半，故有2520(種)不同的排法(2)甲、乙、丙自左向右的順序保持不變，即甲、乙、丙自左向右順序的排法種數(shù)占全排列種數(shù)的.故有840(種)不同的排法在有些排列問題中，某些元素的前后順序是確定的(不一定相鄰)解決這類問題的基本方法有兩個：(1)整體法，即若有mn個元素排成一列，其中m個元素之間的先后順序確定不變，將這mn個元素排成一列，有A種不同的排法；然后任取一個排列，固定其他n個元素的位置不動，把這m個元素交換順序，有A種排法，其中只有一個排列是我們需要的，因此共有種滿足條件的不同排法；(2)插空法，即m個元素之間的先后順序確定不變，因此先排這m個元素，只有一種排法，然后把剩下的n個元素分類或分步插入由以上m個元素形成的空中跟蹤訓(xùn)練將A，B，C，D，E這五個字母排成一列，要求A，B，C在排列中的順序為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，則這樣的排列有多少種？解5個不同元素中部分元素A，B，C的排列順序已定，這種問題有以下兩種常用的解法解法一：(整體法)5個元素?zé)o約束條件的全排列有A種，由于字母A，B，C的排列順序為“A，B，C”或“C，B，A”，因此，在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列種數(shù)為240.解法二：(插空法)若字母A，B，C的排列順序為“A，B，C”，這時形成4個空，分兩類將字母D，E插入第1類，若字母D，E相鄰，則有AA種排法；第2類，若字母D，E不相鄰，則有A種排法所以有AAA20種不同的排列方法同理，若字母A，B，C的排列順序為“C，B，A”，也有20種不同的排列方法因此，滿足條件的排列種數(shù)為202040.1.本節(jié)課的重點是排列中的數(shù)字問題、排隊問題以及定序問題，其中數(shù)字問題是本節(jié)課的難點2本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法(1)數(shù)字排列問題的解決方法，見典例1；(2)排隊問題的解決方法，見典例2；(3)排列中的定序問題，見典例3.3.“排隊”問題與“排數(shù)”問題類似，主要是從特殊位置或特殊元素兩個方面考慮，當(dāng)正面考慮情況較復(fù)雜時，可以用間接法注意分類時不重不漏，分步要連續(xù)獨立；間接法要注意不符合條件的情形