無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計.ppt

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第6章無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 6 1數(shù)字濾波器的基本概念6 2模擬濾波器的設計6 3用脈沖響應不變法設計IIR數(shù)字低通濾波器6 4用雙線性變換法設計IIR數(shù)字低通濾波器 6 1數(shù)字濾波器的基本概念 本章講述濾波器的基本概念 講述無限脈沖響應數(shù)字濾波器 低通 高通 帶通和帶阻 的設計方法 轉(zhuǎn)換法 例1 0 濾波器的基本概念 設 分貝 dB 的定義 當 3dB帶寬 例2 系統(tǒng)函數(shù)為 頻率函數(shù)為 1 數(shù)字濾波器的分類 1 經(jīng)典濾波器與現(xiàn)代濾波器 2 低通 高通 帶通和帶阻 3 無限脈沖響應 IIR 濾波器和有限脈沖響應 FIR 濾波器 數(shù)字濾波器的低頻頻帶位于2 的整數(shù)倍處 高頻頻帶位于 的奇數(shù)倍附近 IIR和FIR系統(tǒng)函數(shù)分別為 6 1 1 6 1 2 N M 稱為N階IIR濾波器函數(shù) 稱為N 1階FIR濾波器函數(shù) 2 數(shù)字濾波器的技術要求 1 理想濾波器 圖6 1 1理想低通 高通 帶通 帶阻濾波器幅度特性 帶通 帶阻 假設數(shù)字濾波器的頻率函數(shù)H ej 用下式表示 為相頻特性 表示通過濾波器后各頻率成分在時間上的延遲情況 2 物理可實現(xiàn)濾波器 為幅頻特性 表示通過濾波器后各頻率成分衰減情況 p通帶截止頻率 c3dB通帶截止頻率 s阻帶截止頻率 圖6 1 2低通濾波器的技術要求 通帶 0 p 內(nèi)要求 阻帶 s 內(nèi)要求 p到 s為過渡帶 例如 某濾波器的頻率特性為 p和 s分別定義為 通帶內(nèi)允許的最大衰減用 p表示 阻帶內(nèi)允許的最小衰減用 s表示 如將 H ej0 歸一化為1 6 1 3 和 6 1 4 式則表示成 6 1 5 6 1 6 與理想低通比較 設計步驟 先設計模擬濾波器得到傳輸函數(shù)Ha s 然后將Ha s 按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H z 3 數(shù)字濾波器設計方法概述 IIR濾波器設計方法 經(jīng)常用的一類設計方法是借助于模擬濾波器的設計方法進行的 另一類是直接在頻域或時域中進行設計 FIR濾波器的設計方法 常用的有窗函數(shù)法和頻率采樣法 6 2模擬濾波器的設計 6 2 1模擬低通濾波器的設計指標及逼近方法 1 技術指標 模擬低通濾波器的設計指標有 p p s和 s 圖6 2 2低通濾波器的幅頻特性 p和 s分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率 損耗函數(shù) 用對數(shù)表示幅頻特性 圖中 c稱為3dB截止頻率 p是通帶 0 p 中的最大衰減系數(shù) s是阻帶 s的最小衰減系數(shù) p和 s一般用dB數(shù)表示 損耗函數(shù)曲線 對于單調(diào)下降的幅度特性 可表示成 如果 0處幅度已歸一化到1 即 Ha j0 1 p和 s表示為 由給定的指標 p p s和 s求出 然后得到Ha s 2 逼近方法 稱為幅度平方函數(shù) 而一般濾波器的單位沖激響應h t 為實數(shù)且收斂 因此 為保證系統(tǒng)的穩(wěn)定 的極點應位于S平面的左半平面 的極點應位于S平面的右半平面 具體做法 因為 將中位于左半平面的極點組成 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù) Ha j 2用下式表示 6 2 6 6 2 2巴特沃斯低通濾波器的設計方法 N稱為濾波器的階數(shù) 1 巴特沃斯低通濾波器的傳輸函數(shù)Ha s 1 巴特沃斯低通濾波器的設計原理 圖6 2 3巴特沃斯幅度特性和N的關系 將幅度平方函數(shù) 6 2 7 此式表明幅度平方函數(shù)有2N個極點 寫成s的函數(shù) 得 極點sk用下式表示 6 2 8 為形成穩(wěn)定的濾波器 2N個極點中只取s平面左半平面的N個極點構(gòu)成Ha s 而右半平面的N個極點構(gòu)成Ha s Ha s 的表示式為 比如N 3 通過下式可以計算出6個極點 同理 得 圖6 2 4三階巴特沃斯濾波器極點分布 當N 3時 6個極點中位于左半平面的三個分別為 取s平面左半平面的極點s0 s1 s2組成Ha s 2 歸一化傳輸函數(shù)Ha p 將對3dB截止頻率 c歸一化 6 2 10 歸一化后的Ha s 表示為 c 稱為歸一化頻率 上式中 令 p稱為歸一化拉氏復變量 式中 pk sk c為歸一化極點 sk為位于左半平面的極點 用下式表示 6 2 11 歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為 6 2 12 將極點表示式 6 2 12 代入 6 2 11 式 得到的Ha p 的分母是p的N階多項式 用下式表示 表6 2 1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) 續(xù)表6 2 1 續(xù)表6 2 1 3 N的確定 由技術指標 p p s和 s確定 整理得 由 6 2 14 和 6 2 15 式得到 令 則N由下式表示 6 2 16 取大于等于N的最小整數(shù) 關于3dB截止頻率 c 如果技術指標中沒有給出 可以按照 6 2 14 式或 6 2 15 式求出 4 總結(jié)低通巴特沃斯濾波器的設計步驟如下 根據(jù)技術指標 p p s和 s 用求出濾波器的階數(shù)N 按照 求出歸一化極點pk 將pk代入 得到歸一化傳輸函數(shù)Ha p 將Ha p 去歸一化 將p s c代入Ha p 得到實際的濾波器傳輸函數(shù)Ha s 例6 2 1已知通帶截止頻率fp 5kHz 通帶最大衰減 p 2dB 阻帶截止頻率fs 12kHz 阻帶最小衰減 s 30dB 按照以上技術指標設計巴特沃斯低通濾波器 解 1 確定階數(shù)N 技術指標 fp 5kHz p 2dBfs 12kHz s 30dB代入 取N 5 得到 2 確定歸一化傳輸函數(shù) 由N 5 直接查表6 2 1 得到 極點 0 3090 j0 9511 0 8090 j0 5878 1 0000 將共軛極點放在一起 形成因式分解形式 上式分母也可以展開成為五階多項式 式中b0 1 0000 b1 3 2361 b2 5 2361 b3 5 2361 b4 3 2361 先求3dB截止頻率 c 按照 6 2 17 式 得到 3 將Ha p 去歸一化 將p s c代入Ha p 中得到 例6 2 1圖1所設計濾波器的幅頻特性 closeall N 256 t linspace 0 1 N dt t 2 t 1 xt cos 2 pi 4 t cos 2 pi 10 t cos 2 pi 20 t f 0 N 2 1 dt N Xt fft xt N subplot 2 1 1 plot t 1 128 xt 1 128 subplot 2 1 2 plot f 1 64 abs Xt 1 64 xlabel f kHz Qc 5 2775 b0 1 b1 3 2361 b2 5 2361 b3 b2 b4 b1 Q f Q linspace 0 25 N Ha Qc 5 j Q 5 b4 Qc j Q 4 b3 Qc 2 j Q 3 b2 Qc 3 j Q 2 b1 Qc 4 j Q b0 Qc 5 L length Ha Has 20 log10 abs Ha figure plot Q 1 64 Has 1 64 Q 30 r 12 Has 5 Has axis 030 702 xlabel f kHz ylabel 20lg abs H a j Omega dB Yt Xt 1 L Ha yt ifft Yt figure subplot 2 1 1 plot t 1 128 abs yt 1 128 subplot 2 1 2 plot f 1 64 abs Yt 1 64 xlabel f kHz 附例題的繪圖程序 例6 2 1圖2假定的輸入信號的時域波形和頻譜 例6 2 1圖3濾波器的輸出信號的時域波形和頻譜 4 簡單討論 將 c代入 6 2 18 式 得到 第一 此值小于題目給定的值 說明設計出的濾波器在fs 12kHz處的衰減 超過30dB 過渡帶小于要求的 fp 5kHz p 2dBfs 12kHz s 30dB 要求設計的濾波器 設計的濾波器一 阻帶性能比設計要求好 第二 如果用計算 c 則 用計算 p 則 此值大于題目給定的值 這樣設計出的濾波器在fp 5kHz處的衰減 小于2dB 設計的濾波器二 fp 5kHz p 2dBfs 12kHz s 30dB 要求設計的濾波器 通帶性能比設計要求好 2 用MATLAB工具箱函數(shù)設計巴特沃斯濾波器 MATLAB信號處理工具箱函數(shù)buttap buttord和butter是巴特沃斯濾波器設計函數(shù) 調(diào)用格式如下 Z P K buttap N 計算歸一化 以3dB截止頻率歸一化 系統(tǒng)函數(shù)的零極點和增益 N wc buttord wp ws Rp As s B A butter N wc s B A zp2tf Z P K 式中 Z k 和P k 分別為向量Z和P的第k個元素 1 Z P K buttap N 該格式用于計算N階巴特沃斯歸一化 3dB截止頻率 c 1 模擬低通原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零 極點和增益因子 得到的系統(tǒng)函數(shù)為如下形式 6 2 21 Z P K buttap 5 Z P 0 3090 0 9511i 0 3090 0 9511i 0 8090 0 5878i 0 8090 0 5878i 1 0000K 1 B A zp2tf Z P K B 000001A 1 00003 23615 23615 23613 23611 0000 2 N wc buttord wp ws Rp As 該格式用于計算巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率wc 調(diào)用參數(shù)wp和ws分別為數(shù)字濾波器的通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率的歸一化值 要求0 wp 1 0 ws 1 1表示數(shù)字頻率 對應模擬頻率Fs 2 Fs表示采樣頻率 Rp和As分別為通帶最大衰減和阻帶最小衰減 dB 當ws wp時 為高通濾波器 當wp和ws為二元矢量時 為帶通或帶阻濾波器 這時wc也是二元向量 3 N wc buttord wp ws Rp As s 該格式用于計算巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率wc wp ws和wc是實際模擬角頻率 rad s 其他參數(shù)與格式2 相同 wp 2 pi 5000 ws 2 pi 12000 Rp 2 As 30 N wc buttord wp ws Rp As s N 5wc 3 7792e 004 4 B A butter N wc ftype 計算N階巴特沃斯數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子和分母多項式的系數(shù)向量B和A 調(diào)用參數(shù)N和wc分別為巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)和3dB截止頻率的歸一化值 關于 歸一化 一般按格式2 調(diào)用函數(shù)buttord計算N和wc 由系數(shù)向量B和A可以寫出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù) 6 2 22 式中 B k 和A k 分別為向量B和A的第k個元素 5 B A butter N wc ftype s 計算巴特沃斯模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式的系數(shù)向量B和A 調(diào)用參數(shù)N和wc分別為巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)和3dB截止頻率 實際角頻率 由系數(shù)向量B和A寫出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 6 2 23 6 2 21 6 2 22 和 6 2 23 式也適用于后面要介紹的切比雪夫和橢圓濾波器的MATLAB設計函數(shù) B A butter N wc s B 1 0e 022 000007 7094A 1 0e 022 0 00000 00000 00000 00000 00077 7094 Z P K buttap 5 B A zp2tf Z P K B 000001A 1 00003 23615 23615 23613 23611 0000 由于高通濾波器和低通濾波器都只有一個3dB截止頻率wc 因此僅由調(diào)用參數(shù)wc不能區(qū)別要設計的是高通還是低通濾波器 當然僅由二維向量wc也不能區(qū)分帶通和帶阻 所以用參數(shù)ftype來區(qū)分 ftype high時 設計3dB截止頻率為wc的高通濾波器 缺省ftype時默認設計低通濾波器 ftype stop時 設計通帶3dB截止頻率為wc的帶阻濾波器 此時wc為二元向量 wcl wcu wcl和wcu分別為帶阻濾波器的通帶3dB下截止頻率和上截止頻率 缺省ftype時設計帶通濾波器 通帶為頻率區(qū)間wcl wcu 應當注意 設計的帶通和帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)是2N階的 這是因為帶通濾波器相當于N階低通濾波器與N階高通濾波器級聯(lián) ftype選項 例6 2 2 調(diào)用buttord和butter設計巴特沃斯低通模擬濾波器 要求與例6 2 1相同 設計程序如下 wp 2 pi 5000 ws 2 pi 12000 Rp 2 As 30 設置濾波器參數(shù) N wc buttord wp ws Rp As s 計算濾波器階數(shù)N和3dB截止頻率 B A butter N wc s 計算濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù)k 0 511 fk 0 14000 512 14000 wk 2 pi fk Hk freqs B A wk plot fk 1000 20 log10 abs Hk gridonxlabel 頻率 kHz ylabel 幅度 dB axis 0 14 40 5 fc wc 2 pi 運行結(jié)果 N 5 wc 3 7792e 004fc 6 0148e 003B 1 0e 022 000007 7094 A 1 0e 022 0 00000 00000 00000 00000 00077 7094 低通濾波器的幅頻特性 將B和A代入 6 2 23 式寫出系統(tǒng)函數(shù)為與例6 2 1計算結(jié)果形式相同 濾波器的損耗函數(shù)曲線如圖6 2 6所示 由圖可以看出 阻帶剛好滿足指標要求 通帶指標有富余 這就說明buttord函數(shù)使用 6 2 20 式計算 3dB截止頻率 6 2 3切比雪夫濾波器的設計 1 切比雪夫濾波器的設計原理 切比雪夫濾波器有兩種形式 一 振幅特性在通帶內(nèi)是等波紋的 在阻帶內(nèi)是單調(diào)下降的切比雪夫 型濾波器 二 振幅特性在通帶內(nèi)是單調(diào)下降 在阻帶內(nèi)是等波紋的切比雪夫 型濾波器 采用何種形式的切比雪夫濾波器取決于實際用途 圖6 2 7 a 和 b 分別畫出不同階數(shù)的切比雪夫 型和 型濾波器幅頻特性 圖6 2 7不同階數(shù)的切比雪夫 型和 型濾波器幅頻特性 型 型 圖中的歸一化角頻率定義為 型 對通帶截止頻率歸一化 型 對阻帶截止頻率歸一化 我們這里僅介紹切比雪夫 型濾波器的設計方法 式中 為小于1的正數(shù) 表示通帶內(nèi)幅度波動的程度 愈大 波動幅度也愈大 p稱為通帶截止頻率 令 p 稱為對 p的歸一化頻率 其幅度平方函數(shù)用 Ha j 2表示 CN x 稱為N階切比雪夫多項式 定義為 MATLAB信號處理工具箱函數(shù)cheb1ap cheb1ord和cheby1是切比雪夫 型濾波器設計函數(shù) 其調(diào)用格式如下 1 Z P G cheb1ap N Rp 計算歸一化 以通帶截止頻率歸一化 系統(tǒng)函數(shù)的零極點和增益 2 N wpo cheb1ord wp ws Rp As s 3 B A cheby1 N Rp wpo ftype s 2 用MATLAB設計切比雪夫濾波器 wpo是切比雪夫 型濾波器的通帶截止頻率 MATLAB信號處理工具箱函數(shù)cheb2ap cheb2ord和cheby2是切比雪夫 型濾波器設計函數(shù) 其調(diào)用格式如下 1 Z P G cheb2ap N As 計算歸一化 以阻帶截止頻率歸一化 系統(tǒng)函數(shù)的零極點和增益 2 N wso cheb2ord wp ws Rp As s 3 B A cheby2 N Rp wso ftype s wso是切比雪夫 型濾波器的阻帶截止頻率 設計切比雪夫 型模擬低通濾波器 wp 2 pi 3000 ws 2 pi 12000 Rp 0 1 As 60 設置指標參數(shù) N1 wp1 cheb1ord wp ws Rp As s 計算切比雪夫 型模擬低通濾波器階數(shù)和通帶邊界頻率 B1 A1 cheby1 N1 Rp wp1 s 計算切比雪夫 型模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)fk 0 14000 512 14000 wk 2 pi fk Hk freqs B1 A1 wk 在指定的頻率點上計算頻率響應plot fk 1000 20 log10 abs Hk gridonxlabel 頻率 kHz ylabel 幅度 dB axis 0 14 70 5 例6 2 3 設計切比雪夫 型和切比雪夫 型模擬低通濾波器 要求與例6 2 2相同 運行結(jié)果 N 5 切比雪夫 型模擬低通濾波器通帶邊界頻率 wp1 1 8850e 004 切比雪夫 型模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù) B 1 2187e 011 A 13 2873e 0049 8445e 0081 6053e 0131 8123e 0179 7448e 020 濾波器損耗函數(shù)如圖6 2 9所示 圖6 2 9五階切比雪夫 型模擬低通濾波器損耗函數(shù) 例6 2 3的設計結(jié)果 6 2 4橢圓濾波器的設計 橢圓濾波器的典型幅頻響應特性曲線如圖6 2 10所示 橢圓濾波器的階數(shù)N由通帶邊界頻率 p 阻帶邊界頻率 s 通帶最大衰減 p和阻帶最小衰減 s共同決定 圖6 2 10橢圓濾波器幅頻響應特性曲線 圖中的歸一化角頻率定義為 對通帶截止頻率歸一化 MATLAB信號處理工具箱提供橢圓濾波器設計函數(shù)ellipap ellipord和ellip 其調(diào)用格式如下 1 z p k ellipap N Rp As 計算歸一化 以通帶截止頻率歸一化 系統(tǒng)函數(shù)的零極點和增益 2 N wpo ellipord wp ws Rp As s 3 B A ellip N Rp wpo ftype s 橢圓濾波器設計程序 wp 2 pi 3000 ws 2 pi 12000 Rp 0 1 As 60 設置指標參數(shù) N wpo ellipord wp ws Rp As s 計算橢圓低通模擬濾波器階數(shù)和通帶邊界頻率 B A ellip N Rp As wpo s 計算低通模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù) fk 0 14000 512 14000 wk 2 pi fk Hk freqs B A wk plot fk 1000 20 log10 abs Hk gridonxlabel 頻率 kHz ylabel 幅度 dB axis 0 14 70 5 例6 2 4 設計橢圓模擬低通濾波器 要求與例6 2 2相同 運行結(jié)果 橢圓模擬低通濾波器階數(shù) N 4 模擬低通濾波器通帶邊界頻率 wpo 1 8850e 004橢圓模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù) B 0 0010 8 3913e 0152 9126e 0078 0051e 0041 0859e 017 A 13 3792e 0049 3066e 0081 3646e 0131 0984e 017 濾波器損耗函數(shù)如圖6 2 11所示 圖6 2 11四階橢圓模擬低通濾波器損耗 6 2 5四種類型模擬濾波器的比較 巴特沃思 切比雪夫 型 切比雪夫 型和橢圓濾波器 wp 2 pi 5000 ws 2 pi 12000 Rp 2 As 30 濾波器階數(shù)N1 5N2 3N3 3N4 3 濾波器參數(shù)為N 5 Rp 2 As 30 高通 帶通 帶阻濾波器的幅頻響應曲線及邊界頻率分別如下圖所示 6 2 6模擬高通 帶通 帶阻濾波器的設計 用MATLAB實現(xiàn) N wc buttord wp ws Rp As s B A butter N wc ftype s 高通 ftype high 帶通 wp ws均為二元向量 ftype缺省 帶阻 wp ws均為二元向量 ftype stop wp 2 pi 12000 ws 2 pi 5000 Rp 2 As 30 設置濾波器參數(shù) N1 wc buttord wp ws Rp As s 計算濾波器階數(shù)N和3dB截止頻率 B A butter N1 wc high s 計算濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù) wp 2 pi 5000 10000 ws 2 pi 3000 12000 Rp 2 As 30 設置濾波器參數(shù) N1 wc buttord wp ws Rp As s 計算濾波器階數(shù)N和3dB截止頻率 B A butter N1 wc s 計算濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù) ws 2 pi 5000 10000 wp 2 pi 3000 12000 Rp 2 As 30 設置濾波器參數(shù) N1 wc buttord wp ws Rp As s 計算濾波器階數(shù)N和3dB截止頻率 B A butter N1 wc stop s 計算濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù) 6 3用脈沖響應不變法設計IIR數(shù)字低通濾波器 主要講述 將模擬濾波器Ha s 轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器H z 1 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器 仍是因果穩(wěn)定的 轉(zhuǎn)換關系應實現(xiàn)s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi) 2 數(shù)字濾波器的頻率響應模仿模擬濾波器的頻響 轉(zhuǎn)換關系應實現(xiàn)s平面的虛軸映射到z平面的單位圓 相應的頻率之間成線性關系 為了保證轉(zhuǎn)換后的H z 穩(wěn)定且滿足技術要求 對轉(zhuǎn)換關系提出兩點要求 設模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha s 相應的單位沖激響應是ha t 由拉普拉斯變換 設模擬濾波器Ha s 只有單階極點 且分母多項式的階次高于分子多項式的階次 一 脈沖響應不變法 6 3 1 式中si為Ha s 的單階極點 將Ha s 用部分分式表示 6 3 1 式中si為Ha s 的單階極點 將Ha s 用部分分式表示 將Ha s 進行逆拉氏變換得到ha t 式中u t 是單位階躍函數(shù) 6 3 2 對ha t 進行等間隔采樣 采樣間隔為T 得到 6 3 3 對上式進行Z變換 得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H z 6 3 1 比較 二 標準映射關系 所以 即 由此得到標準映射關系 6 3 6 設 按照z esT式 得到 因此得到 6 3 10 即 當 0時 r 1 S平面上的虛軸映射到z平面的單位圓 當 0時 r 1 當 0時 r 1 S平面上的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi) S平面上的右半平面映射到z平面的單位圓外 另外 z esT是一個周期函數(shù) 可寫成 所以 可見數(shù)字頻率 與模擬頻率 是線性關系但不是一一對應的 0 r 1 0 r 1 圖6 3 1z esT s平面與z平面之間的映射關系 s平面 z平面 采樣信號的頻譜與原模擬信號的關系 離散信號x n 的頻譜與原模擬信號的關系 比較 有 在中 令 0 r 1 也可得到這個結(jié)論 1 脈沖響應不變法 變換方法 采樣 若 則 2 標準映射關系 是否滿足第一點要求 3 是否滿足第二點要求 0 0 模擬濾波器 希望的數(shù)字濾波器 轉(zhuǎn)換后 0 實際的數(shù)字濾波器 三 頻譜混疊現(xiàn)象 設模擬濾波器的頻譜為 6 3 7 將 6 3 7 式代入上式 可得 假設 在這種情況下 用脈沖響應不變法設計的數(shù)字濾波器可以重現(xiàn)原模擬濾波器的頻響 則 圖6 3 2脈沖響應不變法的頻率混疊現(xiàn)象 脈沖響應不變法不適合設計高通濾波器和帶阻 四 濾波器的傳輸函數(shù) 一般Ha s 的極點si是一個復數(shù) 且以共軛成對的形式出現(xiàn) 在中將一對復數(shù)共軛極點放在一起 形成一個二階基本節(jié) 相應的數(shù)字濾波器二階基本節(jié) 只有實數(shù)乘法 的形式為 6 3 12 如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為 6 3 11 如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為 6 3 14 相應的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)的形式為 6 3 13 脈沖響應不變法的優(yōu)點與缺點 優(yōu)點 1 頻率變換線性 2 時域特性好 缺點 頻譜混疊 不適合設計高通和帶阻 用脈沖響應不變法將Ha s 轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H z 例6 3 1已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha s 為 極點為 解首先將Ha s 寫成部分分式 式中T是采樣間隔 T的選取應滿足抽樣定理 方法一 按照 并經(jīng)過整理 得到 那么H z 的極點為 設T 1s時用H1 z 表示 T 0 1s時用H2 z 表示 則 方法二 轉(zhuǎn)換時 也可以直接按照 6 3 13 6 3 14 式進行轉(zhuǎn)換 首先將Ha s 寫成 6 3 13 式的形式 如極點s1 2 1 j 1 則 再按照 6 3 14 式 H z 為 圖6 3 3例6 3 1的幅度特性 圖 a 表示模擬濾波器的幅度特性 圖 b 表示數(shù)字濾波器的幅度特性 模擬頻率 與數(shù)字頻率 滿足 T 如T 0 1s a 圖中C點 15rad s 4 77 rad s b 圖中c點 4 77 0 1 0 477 rad 令 a 圖的縱坐標為 令 b 圖的縱坐標為 P1946 解 收斂域包括虛軸 另解 直接對采樣 數(shù)值上 因此有 則 數(shù)字系統(tǒng)為低通濾波器 五 脈沖響應不變法的MATLAB實現(xiàn) Bz Az impinvar B A Fs 用脈沖響應不變法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器 B A分別是模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha s 分子分母多項式的系數(shù) Bz Az分別是數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H z 分子分母多項式的系數(shù) Fs為采樣頻率 impluseinvariable 例題6 3 1的轉(zhuǎn)換程序b 0 5012 a 1 0 6449 0 7079 h w freqs b a 計算模擬濾波器的頻響subplot 2 1 1 plot w 1 180 20 log10 abs h 1 180 max h gridonxlabel 歸一化角頻率 ylabel 幅度 title 模擬濾波器 bz az impinvar b a 1 h w freqz bz az 計算數(shù)字濾波器的頻響subplot 2 1 2 plot w pi 20 log10 abs h max h gridonxlabel 以 pi 為單位 ylabel 幅度 title 數(shù)字濾波器 holdon bz az impinvar b a 10 h w freqz bz az 計算數(shù)字濾波器的頻響subplot 2 1 2 plot w pi 20 log10 abs h max h gridonxlabel 以 pi 為單位 ylabel 幅度 title 數(shù)字濾波器 例題6 3 1的轉(zhuǎn)換結(jié)果 例 用脈沖響應不變法設計數(shù)字濾波器 要求通帶和阻帶具有單調(diào)下降特性 技術指標如下 解 要求數(shù)字濾波器的通帶和阻帶具有單調(diào)下降特性 可采用巴特沃思模擬濾波器作為原型 設計步驟 1 利用關系將數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換為模擬頻率 2 先設計巴特沃思模擬濾波器 3 用脈沖響應不變法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器 將數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換為模擬頻率 假設T 1s 第二步 第三步用MATLAB實現(xiàn) 程序如下 結(jié)果如下 wp 0 2 pi ws 0 35 pi Rp 2 As 30 設置濾波器參數(shù) N wc buttord wp ws Rp As s 計算濾波器階數(shù)N和3dB截止頻率 B A butter N wc s 計算濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù)N Hk wk freqs B A subplot 2 1 1 plot wk 1 150 20 log10 abs Hk 1 150 gridonxlabel 頻率 Hz ylabel 幅度 dB bz az impinvar B A 1 h w freqz bz az 計算數(shù)字濾波器的頻響subplot 2 1 2 plot w pi 20 log10 abs h max h gridonxlabel 以 pi 為單位 ylabel 幅度 title 數(shù)字濾波器 如果頻率指標是用數(shù)字頻率給的 采樣間隔可任取 6 4用雙線性變換法設計IIR數(shù)字低通濾波器 為了克服頻譜混疊的缺點 采用非線性頻率壓縮方法 即 將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到之間 再用轉(zhuǎn)換到z平面上 一 非線性頻率壓縮 圖6 4 1雙線性變換法的映射關系 當 1從 T經(jīng)過0變化到 T時 則由 經(jīng)過0變化到 實現(xiàn)了s平面上整個虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的 T之間的轉(zhuǎn)換 用正切變換實現(xiàn)頻率壓縮 6 4 1 式中T是采樣間隔 設 經(jīng)非線性頻率壓縮后 用表示 這樣 由s j 和s1 j 1得到 6 4 2 6 4 3 6 4 4 稱為雙線性變換 將代入 得 由 將s平面映射為s1平面 圖6 4 1雙線性變換法的映射關系 二 模擬頻率 和數(shù)字頻率 之間的關系 令s j z ej 并代入中 有 圖6 4 2雙線性變換法的頻率變換關系 6 4 5 所以 模擬頻率與數(shù)字頻率是一一對應的 但非線性 圖6 4 3雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射 三 幅度特性和相位特性的失真 設 四 數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù) 則 表6 4 1系數(shù)關系表 小結(jié) 用雙線性變換法將模擬濾波器Ha s 轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器H z 1 轉(zhuǎn)換方法 2 頻率映射關系 3 優(yōu)點 沒有頻譜混疊 4 缺點 頻率關系非線性 例6 4 1試分別用脈沖響應不變法和雙線性不變法將圖6 4 4所示的RC低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器 解 首先按照圖6 4 4寫出該濾波器的傳輸函數(shù)Ha s 為 圖6 4 4RC低通濾波器 利用脈沖響應不變法轉(zhuǎn)換 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1 z 為 利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2 z 為 圖6 4 5例6 4 1圖 H1 z 和H2 z 的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu) a H1 z b H2 z 脈沖響應不變法 雙線性變換法 圖6 4 6例6 4 1圖 數(shù)字濾波器H1 z 和H2 z 的幅頻特性 總結(jié) 利用模擬濾波器設計IIR數(shù)字低通濾波器的步驟 1 確定數(shù)字低通濾波器的技術指標 通帶截止頻率 p 通帶衰減 p 阻帶截止頻率 s 阻帶衰減 s 2 將數(shù)字低通濾波器的技術指標轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術指標 如果采用雙線性變換法 邊界頻率的轉(zhuǎn)換關系為 T可任選 T 如果采用脈沖響應不變法 邊界頻率的轉(zhuǎn)換關系為 具體轉(zhuǎn)換 3 按照模擬低通濾波器的技術指標設計模擬低通濾波器Ha s 4 將模擬濾波器Ha s 從s平面轉(zhuǎn)換到z平面 得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H z 采樣間隔T的選擇 1 脈沖響應不變法要求 選擇T滿足 s是阻帶截止頻率 2 雙線性變換法T可任選 一般選T 1 若先給定數(shù)字濾波器的技術指標 脈沖響應不變法和雙線性變換法的T可任選 一般選T 1 例6 4 2設計低通數(shù)字濾波器 要求在通帶內(nèi)頻率低于0 2 rad時 容許幅度誤差在1dB以內(nèi) 在頻率0 3 到 之間的阻帶衰減大于15dB 指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器 試分別用脈沖響應不變法和雙線性變換法設計濾波器 解 1 用脈沖響應不變法設計數(shù)字低通濾波器 p 0 2 rad s p 1dB s 0 3 rad s s 15dB 模擬低通的技術指標為 選T 1s 由 T可得 數(shù)字低通的技術指標為 p 0 2 rad p 1dB s 0 3 rad s 15dB 設計巴特沃斯低通濾波器 先計算階數(shù)N及3dB截止頻率 c 取N 6 此值滿足通帶技術要求 同時給阻帶衰減留一定余量 這對防止頻率混疊有一定好處 為求3dB截止頻率 c 將 p和 p代入下式 得到 為去歸一化 將p s c代入Ha p 中 得到實際的傳輸函數(shù)Ha s 根據(jù)階數(shù)N 6 查表6 2 1 得到歸一化傳輸函數(shù)為 用脈沖響應不變法將Ha s 轉(zhuǎn)換成H z 圖6 4 7例6 4 2圖 用脈沖響應不變法設計的數(shù)字低通濾波器的幅度特性 wp 0 200 pi ws 0 30 pi Rp 1 As 15 設置濾波器參數(shù) N wc buttord wp ws Rp As s 計算階數(shù)N和3dB截止頻率 用阻帶參數(shù) B A butter N wc s 計算系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù) bz az impinvar B A 脈沖響應不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字系統(tǒng) N 6wc 0 7087B 0000000 1266A 1 00002 73803 74843 25331 88240 69050 1266bz 0 00000 00070 01050 01670 00420 00010az 1 0000 3 34435 0183 4 21902 0725 0 56000 0647 模擬低通的技術指標為 2 用雙線性變換法設計數(shù)字低通濾波器 數(shù)字低通技術指標仍為 p 0 2 rad p 1dB s 0 3 rad s 15dB 設計巴特沃斯低通濾波器 這樣阻帶技術指標滿足要求 通帶指標已經(jīng)超過 階數(shù)N計算如下 N 6 用計算 c 得到 c 0 7662rad s 根據(jù)N 6 查表6 2 1得到的歸一化傳輸函數(shù)Ha p 與脈沖響應不變法得到的相同 為去歸一化 將p s c代入Ha p 得實際的Ha s 用雙線性變換法將Ha s 轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H z 圖6 4 8例6 4 2圖 用雙線性變換法設計的數(shù)字低通濾波器的幅度特性 wp 0 65 pi 3 14 ws 1 019 pi 3 14 Rp 1 As 15 設置濾波器參數(shù) N wc buttord wp ws Rp As s 計算階數(shù)N和3dB截止頻率 B A butter N wc s 計算系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù) S G tf2sos B A 將直接型轉(zhuǎn)換為級聯(lián)型 bz az bilinear B A 1 用雙線性變換 Sz Gz tf2sos bz az 將直接型轉(zhuǎn)換為級聯(lián)型 N 6wc 0 7666B 0000000 2029A 1 00002 96184 38624 11812 57751 02280 2029S 001 00001 00001 48090 5876001 00001 00000 39680 5876001 00001 00001 08410 5876G 0 2029bz 0 00070 00440 01110 01480 01110 00440 0007az 1 0000 3 18244 6194 3 77631 8118 0 47940 0544Sz 1 00002 02601 02621 0000 0 90400 21541 00001 99971 00001 0000 1 01020 35811 00001 97430 97451 0000 1 26820 7050Gz 7 3937e 004 Bz Az bilinear B A Fs 用雙線性變換法將分子分母多項式系數(shù)分別為B和A的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha s 轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器H z Bz和Az分別為H z 的分子分母多項式系數(shù) Fs為抽樣頻率 五 雙線性變換法的MATLAB實現(xiàn) N wc buttord wp ws Rp As B A butter N wc ftype 直接設計數(shù)字濾波器的命令 N wc ellipord wp ws Rp As B A ellip N wc 默認用雙線性變換法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器 用巴特沃斯模擬濾波器作為原型設計數(shù)字濾波器 用橢圓模擬濾波器作為原型設計數(shù)字濾波器 用MATLAB實現(xiàn) N wc buttord wp ws Rp As s B A butter N wc ftype s 高通 ftype high 帶通 wp ws均為二元向量 ftype缺省 帶阻 wp ws均為二元向量 ftype stop P193習題15 1 78 6 5數(shù)字高通 帶通和帶阻濾波器的設計 具體設計步驟 1 確定所需類型數(shù)字濾波器的技術指標 2 將所需類型數(shù)字濾波器的技術指標轉(zhuǎn)換成所需類型模擬濾波器的技術指標 轉(zhuǎn)換公式為 3 將所需類型模擬濾波器技術指標轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技術指標 具體轉(zhuǎn)換公式參考本章6 2節(jié) 6 采用雙線性變換法 將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器 5 將模擬低通通過頻率變換 轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器 4 設計模擬低通濾波器 1 數(shù)字高通的技術指標為 p 0 8 rad p 3dB s 0 44 rad s 15dB 例6 5 1設計一個數(shù)字高通濾波器 要求通帶截止頻率 p 0 8 rad 通帶衰減不大于3dB 阻帶截止頻率 s 0 44 rad 阻帶衰減不小于15dB 希望采用巴特沃斯型濾波器 解 設計方法為 設計模擬低通濾波器 將模擬低通濾波器用頻率變換法轉(zhuǎn)換為模擬高通濾波器 再用雙線性變換法將模擬高通濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字高通濾波器 2 模擬高通的技術指標計算如下 令T 1 則由得 3 模擬低通技術指標 4 設計歸一化模擬低通濾波器HL p 模擬低通濾波器的階數(shù)N計算如下 查表6 2 1 得到歸一化模擬低通傳輸函數(shù)HL p 去歸一化 令p s cl 得到HL s 5 將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通 6 用雙線性變換法將模擬高通HH s 轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通H z 也可以這樣作 設計模擬低通濾波器 將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器 再用頻率變換法將數(shù)字低通濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字高通濾波器 1 零極點累試法 6 6IIR數(shù)字濾波器的直接設計法 在確定零極點位置時要注意 1 極點必須位于z平面單位圓內(nèi) 保證數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定 2 復數(shù)零極點必須共軛成對 保證系統(tǒng)函數(shù)有理式的系數(shù)是實的 例6 6 1設計帶通濾波器 通帶中心頻率 0 2 0 時 幅度衰減到0 解 由 0 2為通帶中心頻率可確定極點 由 0 時 幅度衰減到0可確定零點 寫出H z 如下 系數(shù)G用于對某一固定頻率的幅度要求確定 如果要求 2處幅度為1 則 即 同時設r 0 7 0 9可得G 0 255 0 095 代入H z 得 頻率特性 畫出幅頻特性如圖所示 圖6 6 1例6 6 1圖 a 零極點分布 b 幅度特性 設IIR濾波器由K個二階網(wǎng)絡級聯(lián)而成 系統(tǒng)函數(shù)用H z 表示 6 6 1 2 在頻域利用幅度平方誤差最小法直接設計IIR數(shù)字濾波器 式中 A是常數(shù) ai bi ci di是待求的系數(shù) 如果在 0 區(qū)間取N點數(shù)字頻率 i i 1 2 N 在這N點頻率上 比較 Hd ej 和 H ej 寫出兩者的幅度平方誤差E為 6 6 2 設Hd ej 是希望設計的濾波器頻響 在 6 6 1 式中共有 4K 1 個待定的系數(shù) 求它們的原則是使E最小 例如 要求設計一個低通濾波器 頻率特性逼近下式 假定所設計的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 對采樣 得 所設計的濾波器的頻率函數(shù)為 令 解方程組 可以得到濾波器系數(shù)a b c d 最后可得系統(tǒng)函數(shù) P193習題15 1 78 6 4 2 式的推導