2018-2019高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 4.2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例導(dǎo)學(xué)案 新人教A版選修4-5.doc

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4.2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的基本思路． 2．會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式：(1＋x)n>1＋nx(x>－1，x≠0，n為大于1的自然數(shù))． 3．了解n為實(shí)數(shù)時(shí)貝努利不等式也成立. 一、自學(xué)釋疑 根據(jù)線上提交的自學(xué)檢測，生生、師生交流討論，糾正共性問題。 二、合作探究 思考探究　 在應(yīng)用貝努利不等式時(shí)應(yīng)注意什么？ 名師點(diǎn)撥： 1.對貝努利(Bernoulli)不等式的理解 當(dāng)指數(shù)n推廣到任意實(shí)數(shù)α?xí)r，x>－1時(shí)， ①若0<α<1，則(1＋x)α≤1＋αx. ②若α<0或α>1，則(1＋x)α≥1＋αx. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)等號成立． 2．貝努利不等式的應(yīng)用 貝努利不等式：如果x是實(shí)數(shù)，且x>－1，x≠0，n為大于1的自然數(shù)，那么有(1＋x)n>1＋nx. 推論：當(dāng)x是實(shí)數(shù)，且x>－1，x≠0，n為不小于2的正整數(shù)時(shí)，有n>1－. 3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法與其他方法的聯(lián)系 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式有它的局限性，它只能用來證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式，其他證明不等式的方法運(yùn)用比較廣泛，但在具體應(yīng)用時(shí)，各自又有具體的要求，如反證法，必須有嚴(yán)格的格式(以否定結(jié)論入手，推出矛盾)，分析法也有獨(dú)特的表達(dá)格式，而數(shù)學(xué)歸納法必須分兩步且在第二步中，要從假設(shè)出發(fā)推證n＝k＋1命題正確時(shí)，也經(jīng)常用到綜合法、分析法、比較法、放縮法等． 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)常用技巧 用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題時(shí)，要注意初始值n0的定位，要弄清楚n＝k和 n＝k＋1時(shí)的結(jié)論是什么，要有目標(biāo)意識，緊盯n＝k＋1時(shí)的目標(biāo)，對n＝k＋1時(shí)的結(jié)論進(jìn)行一系列的變化，變化的目標(biāo)就是n＝k＋1時(shí)的結(jié)論形式，這種變化就是“湊假設(shè)，奔結(jié)論”．常用放縮法做輔助手段． 【例1】　求證：＋＋＋…＋>(n≥2，n∈N)． 【變式訓(xùn)練1】　用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N)． 【例2】　求證：當(dāng)n≥1(n∈N)時(shí)，(1＋2＋…＋n)≥n2. 【變式訓(xùn)練2】　求證：1＋＋＋…＋≥(n∈N＋) 【例3】　已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145. (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn； (2)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝loga，(其中a>0，且a≠1)，記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，試比較Sn與logabn＋1的大小，并證明你的結(jié)論． 【變式訓(xùn)練3】　在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列(n∈N＋) (1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測{an}，{bn}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論； (2)證明：＋＋…＋<.  參考答案 提示　在應(yīng)用貝努利不等式時(shí)要注意應(yīng)用條件x>－1，且x≠0. 【例1】　【分析】　本題由n＝k到n＝k＋1時(shí)的推證過程中，n＝k時(shí)，首項(xiàng)是，尾項(xiàng)是，分母是從k＋1開始的連續(xù)正整數(shù)，因而當(dāng)n＝k＋1時(shí)，首項(xiàng)應(yīng)為，尾項(xiàng)是，與n＝k時(shí)比較，后面增加，，共三項(xiàng)，而不只是增加一項(xiàng)，且還減少了一項(xiàng). 【證明】　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝＋＋＋＝>，不等式成立． 　 (2)假設(shè)n＝k(k≥2，n∈N)時(shí)，不等式成立， 即＋＋…＋>， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋　 >＋ >＋ ＝＋＝. ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 由(1)(2)，知原不等式對一切n≥2的自然數(shù)都成立． 【變式訓(xùn)練1】證明　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，1＋＝<2－＝， ∴不等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N)時(shí)命題成立，即 1＋＋＋…＋<2－， 則n＝k＋1時(shí)， 1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋ ＝2－＋ ＝2－，不等式成立． 由(1)(2)知原不等式在n≥2(n∈N)時(shí)均成立． 【例2】【分析】　本例中不等式左邊是兩項(xiàng)的積，而且含有等號，第一步需驗(yàn)證n＝1和n＝2時(shí)不等式成立，第二步推n＝k＋1時(shí)，為了湊出(k＋1)2，要恰當(dāng)?shù)姆趴s． 【證明】　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝11＝1＝右邊，不等式成立． 當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝(1＋2)＝>22，不等式也成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥2)時(shí)，不等式成立，即(1＋2＋…＋k)≥k2. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有 左邊＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)]　 ＝(1＋2＋…＋k)＋(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)＋1 ≥k2＋＋1＋(k＋1). ∵當(dāng)k≥2時(shí)， 1＋＋…＋≥1＋＝，(*) ∴左邊≥k2＋＋1＋(k＋1) ＝k2＋2k＋1＋>(k＋1)2. 這就是說當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 由(1)(2)知，當(dāng)n≥1時(shí)，原不等式成立． 【變式訓(xùn)練2】證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝＝1， 左邊＝右邊． 當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝，右邊＝，∵>， ∴左邊>右邊，∴當(dāng)n＝1或n＝2時(shí)，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，不等式成立，即 1＋＋＋…＋≥. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 左邊＝1＋＋＋…＋＋≥＋＝. ∵－＝>0， ∴>＝右邊， 由不等式的傳遞性知，左邊>右邊． ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 由(1)(2)，可得對一切n∈N＋不等式都成立． 【例3】【解】　(1)設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d，由題意得 ? ∴bn＝3n－2. (2)由bn＝3n－2知 Sn＝loga(1＋1)＋loga(1＋)＋…＋loga ＝loga， 而logabn＋1＝loga. 于是，比較Sn與logabn＋1的大小即比較(1＋1)…與的大?。? 取n＝1，有(1＋1)＝>＝. 取n＝2，有(1＋1)>> ＝. 由此猜想： (1＋1)…>.(*) 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，已驗(yàn)證(*)成立． ②假設(shè)n＝k(k≥1)時(shí)，(*)成立，即 (1＋1)…>， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， (1＋1)… >＝. ∵3－3 ＝＝>0， ∴(3k＋2)>＝. 從而(1＋1)…>，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)(*)也成立． 由①與②知，(*)對任意正整數(shù)n都成立． 所以，當(dāng)a>1時(shí)，Sn>logabn＋1， 當(dāng)02(n＋1)n. 故＋＋…＋<＋ ＝＋ ＝＋<＋＝. 綜上，原不等式成立．