2018-2019高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 4.2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例導(dǎo)學(xué)案 新人教A版選修4-5.doc

4.2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的基本思路2會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式：(1x)n>1nx(x>1，x0，n為大于1的自然數(shù))3了解n為實(shí)數(shù)時貝努利不等式也成立.一、自學(xué)釋疑根據(jù)線上提交的自學(xué)檢測，生生、師生交流討論，糾正共性問題。二、合作探究思考探究在應(yīng)用貝努利不等式時應(yīng)注意什么？名師點(diǎn)撥：1.對貝努利(Bernoulli)不等式的理解當(dāng)指數(shù)n推廣到任意實(shí)數(shù)時，x>1時，若0<<1，則(1x)1x.若<0或>1，則(1x)1x.當(dāng)且僅當(dāng)x0時等號成立2貝努利不等式的應(yīng)用貝努利不等式：如果x是實(shí)數(shù)，且x>1，x0，n為大于1的自然數(shù)，那么有(1x)n>1nx.推論：當(dāng)x是實(shí)數(shù)，且x>1，x0，n為不小于2的正整數(shù)時，有n>1.3數(shù)學(xué)歸納法與其他方法的聯(lián)系數(shù)學(xué)歸納法證明不等式有它的局限性，它只能用來證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式，其他證明不等式的方法運(yùn)用比較廣泛，但在具體應(yīng)用時，各自又有具體的要求，如反證法，必須有嚴(yán)格的格式(以否定結(jié)論入手，推出矛盾)，分析法也有獨(dú)特的表達(dá)格式，而數(shù)學(xué)歸納法必須分兩步且在第二步中，要從假設(shè)出發(fā)推證nk1命題正確時，也經(jīng)常用到綜合法、分析法、比較法、放縮法等4用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時常用技巧用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題時，要注意初始值n0的定位，要弄清楚nk和nk1時的結(jié)論是什么，要有目標(biāo)意識，緊盯nk1時的目標(biāo)，對nk1時的結(jié)論進(jìn)行一系列的變化，變化的目標(biāo)就是nk1時的結(jié)論形式，這種變化就是“湊假設(shè)，奔結(jié)論”常用放縮法做輔助手段【例1】求證：>(n2，nN)【變式訓(xùn)練1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：1<2(n2，nN)【例2】求證：當(dāng)n1(nN)時，(12n)n2.【變式訓(xùn)練2】求證：1(nN)【例3】已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，b11，b1b2b10145.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式bn；(2)設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)anloga，(其中a>0，且a1)，記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，試比較Sn與logabn1的大小，并證明你的結(jié)論【變式訓(xùn)練3】在數(shù)列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列(nN)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測an，bn的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；(2)證明：<.參考答案提示在應(yīng)用貝努利不等式時要注意應(yīng)用條件x>1，且x0.【例1】【分析】本題由nk到nk1時的推證過程中，nk時，首項(xiàng)是，尾項(xiàng)是，分母是從k1開始的連續(xù)正整數(shù)，因而當(dāng)nk1時，首項(xiàng)應(yīng)為，尾項(xiàng)是，與nk時比較，后面增加，共三項(xiàng)，而不只是增加一項(xiàng)，且還減少了一項(xiàng).【證明】(1)當(dāng)n2時，左邊>，不等式成立 (2)假設(shè)nk(k2，nN)時，不等式成立，即>，則當(dāng)nk1時，>>.當(dāng)nk1時，不等式也成立由(1)(2)，知原不等式對一切n2的自然數(shù)都成立【變式訓(xùn)練1】證明(1)當(dāng)n2時，1<2，不等式成立(2)假設(shè)nk(k2，kN)時命題成立，即1<2，則nk1時，1<2<222，不等式成立由(1)(2)知原不等式在n2(nN)時均成立【例2】【分析】本例中不等式左邊是兩項(xiàng)的積，而且含有等號，第一步需驗(yàn)證n1和n2時不等式成立，第二步推nk1時，為了湊出(k1)2，要恰當(dāng)?shù)姆趴s【證明】(1)當(dāng)n1時，左邊111右邊，不等式成立當(dāng)n2時，左邊(12)>22，不等式也成立(2)假設(shè)nk(k2)時，不等式成立，即(12k)k2.則當(dāng)nk1時，有左邊(12k)(k1)(12k)(12k)(k1)1k21(k1).當(dāng)k2時，11，(*)左邊k21(k1)k22k1>(k1)2.這就是說當(dāng)nk1時，不等式也成立由(1)(2)知，當(dāng)n1時，原不等式成立【變式訓(xùn)練2】證明(1)當(dāng)n1時，左邊1，右邊1，左邊右邊當(dāng)n2時，左邊，右邊，>，左邊>右邊，當(dāng)n1或n2時，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時，不等式成立，即1.當(dāng)nk1時，左邊1.>0，>右邊，由不等式的傳遞性知，左邊>右邊當(dāng)nk1時，不等式也成立由(1)(2)，可得對一切nN不等式都成立【例3】【解】(1)設(shè)數(shù)列bn的公差為d，由題意得bn3n2.(2)由bn3n2知Snloga(11)loga(1)logaloga，而logabn1loga.于是，比較Sn與logabn1的大小即比較(11)與的大小取n1，有(11)>.取n2，有(11)>>.由此猜想：(11)>.(*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時，已驗(yàn)證(*)成立假設(shè)nk(k1)時，(*)成立，即(11)>，則當(dāng)nk1時，(11)>.33>0，(3k2)>.從而(11)>，即當(dāng)nk1時(*)也成立由與知，(*)對任意正整數(shù)n都成立所以，當(dāng)a>1時，Sn>logabn1，當(dāng)0<a<1時，Sn<logabn1.【變式訓(xùn)練3】分析本題主要考查數(shù)列的概念和性質(zhì)，數(shù)學(xué)歸納法及用放縮法證明不等式的數(shù)學(xué)方法，考查歸納、推理及運(yùn)算能力解(1)由條件得2bnanan1，abnbn1，又a12，b14，由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜測ann(n1)，bn(n1)2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時，由上可知，結(jié)論成立假設(shè)nk時，結(jié)論成立，即akk(k1)，bk(k1)2.那么當(dāng)nk1時，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)bk1(k2)2.所以，當(dāng)nk1時，結(jié)論也成立由可知，ann(n1)，bn(n1)2對一切正整數(shù)都成立(2)<.當(dāng)n2時，由(1)知anbn(n1)(2n1)>2(n1)n.故<<.綜上，原不等式成立