2019-2020年高三數(shù)學(xué)《數(shù)列求和問題》教學(xué)設(shè)計(jì).doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)《數(shù)列求和問題》教學(xué)設(shè)計(jì) 考綱要求： 1. 熟練掌握等差、等比數(shù)列的求和公式； 2. 掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法. 考點(diǎn)回顧： 求和是數(shù)列問題中考查的一個(gè)重要方面，而且常與不等式、函數(shù)等其他知識(shí)綜合考查，這樣可以很好的考查邏輯推理能力，近幾年新課標(biāo)高考試題中時(shí)有出現(xiàn)，因此，這類綜合問題有可能成為高考的命題方向；此類問題的考查雖然考查知識(shí)點(diǎn)較多，但是解答離不開通性通法，只要掌握了數(shù)列求和的基本方法，善于觀察，合理變形，正確求解就不難. 基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān)： 數(shù)列求和的常用方法 1. 公式法 （1） 直接應(yīng)用等差、等比數(shù)列的求和公式； （2） 掌握一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和： ，1+3+5+……+= ， 等. 2.倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和即可用倒序相加發(fā)，如 數(shù)列的前n項(xiàng)和就是此法推導(dǎo)的。 3.錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如 數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的. 4.裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和。常見的拆項(xiàng)公式有： ， ， ，等. 答案： 1. （2） 2.等差 3.等比 4. 高考題型歸納： 題型1.公式法求和 直接利用公式求和是數(shù)列求和的最基本的方法．常用的數(shù)列求和公式有： 等差數(shù)列求和公式: 等比數(shù)列求和公式: 例1. 已知，求的前n項(xiàng)和. 分析：本題可先求出x，而所求和的形式滿足等比數(shù)列，所以可以直接用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解. 解析：由 由等比數(shù)列求和公式得 ＝ ＝ ＝1－ 點(diǎn)評(píng)：如果計(jì)算過程中出現(xiàn)了這些關(guān)于n的多項(xiàng)式的求和形式，可以直接利用公式。 但是在迎合用等差、等比數(shù)列公式求和時(shí)，一定要看清構(gòu)成等比、等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，否則容易出錯(cuò). 題型2.倒序相加法求和 這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè).與二項(xiàng)式系數(shù)相關(guān)聯(lián)的求和也常用這種方法. 例2. 求證： 分析：根據(jù)性質(zhì)，可用倒序相加來解決這個(gè)問題. 證明： 設(shè)………………………….. ① 把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得 （反序） 又由可得 …………..…….. ② ①+②得 （反序相加） ∴ 點(diǎn)評(píng)：此類型關(guān)鍵是抓住數(shù)列中與首末兩端等距離的兩項(xiàng)之和相等這一特點(diǎn)來進(jìn)行倒序相加的。 題型3.錯(cuò)位相減法求和 這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an　bn}的前n項(xiàng)和，其中{ an }、{ bn }分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列. 例3. 求數(shù)列a,2a2,3a3,4a4,…,nan, …(a為常數(shù))的前n項(xiàng)和。 分析：本題符合錯(cuò)位相減法求解，即數(shù)列的每一項(xiàng)由兩部分構(gòu)成，一部分成等差，另一部分成等比。 解析：若a=0, 則Sn=0 若a=1, 則Sn=1+2+3+…+n= 若a≠0且a≠1 則Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+ nan ∴aSn= a2+2 a3+3 a4+…+nan+1 ∴(1-a) Sn=a+ a2+ a3+…+an- nan+1 = ∴Sn= 當(dāng)a=0時(shí)，此式也成立。 ∴Sn= 點(diǎn)評(píng)：數(shù)列是由數(shù)列與對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的，此類型的才適應(yīng)錯(cuò)位相減，（課本中的的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式就是用這種方法推導(dǎo)出來的），但要注意應(yīng)按以上三種情況進(jìn)行討論，最后再綜合成兩種情況。而且對(duì)于應(yīng)用等比數(shù)列求和時(shí)，一定要先注意公比的取值。 題型4.裂項(xiàng)相消法求和 這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）. 例4. 求數(shù)列，，，…，，…的前n項(xiàng)和S. 分析：∵=）則，對(duì)數(shù)列中每一項(xiàng)分解后即可得出結(jié)果. 解析：∵=） Sn= = = 點(diǎn)評(píng)：裂項(xiàng)相消就和是數(shù)列求和中的一種重要方法，它通過對(duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行整理變形，然后再相加過程中出現(xiàn)前后項(xiàng)正負(fù)抵消或約分的情況，從而求得結(jié)果。值得注意的是，利用裂項(xiàng)相消法時(shí)，抵消后并不一定只剩余第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能剩余前兩項(xiàng)和最后兩項(xiàng)，另外，將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，才能使裂開的兩項(xiàng)之差與原通項(xiàng)公式相等. 過關(guān)訓(xùn)練 數(shù)列求和 一、 選擇題 1．等差數(shù)列{an}中，a2＝6，a5＝15．若bn＝a2n，則數(shù)列{bn}的前5項(xiàng)和等于 ( ) A．30 B．45 C．90 D．186 2．若等比數(shù)列{an}的公比q＝2，前n項(xiàng)和為Sn，則 ( ) A．2 B．4 C． D． 3．如果數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝1，且(n≥2)，那么這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)等于 ( ) A． B． C． D． 4．?dāng)?shù)列{an}滿足：a1＝1，且對(duì)任意的m，n∈N*都有：am＋n＝am＋an＋mn，則 ( ) A． B． C． D． 5．?dāng)?shù)列{an}、{bn}都是公差為1的等差數(shù)列，若其首項(xiàng)滿足a1＋b1＝5，a1＞b1，且a1，b1∈N*，則數(shù)列{}前10項(xiàng)的和等于 ( ) A．100 B．85 C．70 D．55 6設(shè)S和T分別為兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意n∈N，都有 ，則第一個(gè)數(shù)列的第11項(xiàng)與第二個(gè)數(shù)列的第11項(xiàng)的比是( ) A4∶3 B3∶2 C7∶4 D78∶71 7一個(gè)首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列中，前3項(xiàng)的和等于前11項(xiàng)的和，當(dāng)這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和最大時(shí)，n等于（　） A5　　　　　 B6 C7　　　　 D8 8．設(shè)m=12+23+34+…+(n-1)n，則m等于 ( ) A. B.n(n+4) C.n(n+5) D.n(n+7) 9．若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1n，則S17+S33＋Ｓ50等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 10．閱讀下列文字，然后回答問題：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,符號(hào)［x］表示x的整數(shù)部分，即［x］是不超過x的最大整數(shù).函數(shù)［x］叫做“取整函數(shù)”，也叫高斯函數(shù).它具有以下性質(zhì)：x-1<［x］≤x<［x+1］.請(qǐng)回答:［log21］+［log22］+［log23］+…+［log21024］的值是( ) A.1024 B.8202 C.8204 D.9216 11．設(shè){an}為等比數(shù)列,{bn}為等差數(shù)列，且b1=0,cn=an+bn,若數(shù)列{cn}是1,1,2,…,則{cn}的前10項(xiàng)和為 ( ) A.978 B.557 C.467 D.979 12．1002-992+982-972+…+22-12的值是 ( ) A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 二、填空題 13．(1)等差數(shù)列{an}中，S4＝1，S8＝4，則a17＋a18＋a19＋a20＝_______； (2)等比數(shù)列{an}中，S4＝1，S8＝4，則S12＝________． 14．若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)，則該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和的比是________． 15．一個(gè)有2001項(xiàng)且各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為 . 16．若12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+cn，則a= ,b= ,c= . 三、解答題 17．已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，公差d＞0，且其第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是等比數(shù)列{bn}的第二、三、四項(xiàng)． (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列{cn}對(duì)任意自然數(shù)n均有成立． 求c1＋c2＋c3＋…＋c2003的值． 18．已知數(shù)列{an}滿足a1＝a，an＋1＝can＋1－c，其中a≠1，c≠0． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)a＝c＝，bn＝n(1－an)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn． 19．已知{an}、{bn}都是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，對(duì)任意的自然數(shù)n，都有an、、an＋1成等差數(shù)列，、an＋1、成等比數(shù)列． (1)試問{bn}是否是等差數(shù)列?為什么? (2)求證：對(duì)任意的自然數(shù)p、q(p＞q)，成立； (3)如果a1＝1，b1＝2，求Sn＝． 20．已知：等差數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正整數(shù)，a1＝3，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}中，b1＝1，且b2S2＝64，{bn}是公比為64的等比數(shù)列． (1)求an與bn； (2)證明：． 21．?dāng)?shù)列{an}中，a1=a，前n項(xiàng)和Sn構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列．(q≠1) (1)求證在{an}中，從第2項(xiàng)開始成等比數(shù)列； (2)當(dāng)a=250，q=時(shí)，設(shè)bn=log2|an|,求|b1|+|b2|+…+|bn|． 22．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=2an+(-1)n,n≥1. (1)求證數(shù)列{an+(-1)n}是等比數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (3)證明：對(duì)任意的整數(shù)m>4,有 答案與解析 一、選擇題 1．解：等差數(shù)列{an}中，公差，數(shù)列{bn}中，公差d＝2d＝6， 則b1＝a2＝6，b5＝a10＝30，數(shù)列{bn}的前5項(xiàng)和：． 答案：C. 2.解：不妨設(shè)首項(xiàng)為1，又公比為2，則可分別寫出求出既得. 答案:C. 3．解：∵(n≥2)，∴(n≥2)，即：(n≥2) ∴數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差， ∴，∴． 答案：D. 4．解：∵am＋n＝am＋an＋mn，∴an＋1＝an＋a1＋n＝an＋1＋n， ∴利用疊加法得到：，∴， ∴ ． 答案：A. 5．解：∵an＝a1＋n－1，bn＝b1＋n－1 ∴＝a1＋bn－1＝a1＋(b1＋n―1)―1 ＝a1＋b1＋n－2＝5＋n－2＝n＋3 則數(shù)列{}也是等差數(shù)列，并且前10項(xiàng)和等于： 答案：B. 6解：設(shè)這兩個(gè)等差數(shù)列分別為{an}和{bn} 答案：A 7解：依題意知數(shù)列單調(diào)遞減，公差d＜0因?yàn)? S3=S11=S3+a4+a5+…+a10+a11 所以　a4+a5+…+a10+a11=0 即　a4+a11=…=a7+a8=0， 故當(dāng)n=7時(shí)，a7＞0，a8＜0 答案：C 8．解：因?yàn)?an=n2-n.，則依據(jù)分組集合即得. 答案;A. 9．解：對(duì)前n項(xiàng)和要分奇偶分別解決，即： Sn= 答案：A 10．解：［log2N］=故原式=0+1(22-2)+2(23-22)+…+9(210-29)+10=9210-(29+28+…+2)+10=8204, 答案：C. 11．解 由題意可得a1=1,設(shè)公比為q,公差為d,則 ∴q2-2q=0,∵q≠0,∴q=2,∴an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,∴cn=2n-1+1-n,∴Sn=978. 答案：A 12．解：并項(xiàng)求和，每兩項(xiàng)合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050. 答案：B 二、填空題 13.解：由已知求出和d(q)即可. 答案：9、13 14．解：， ， ∵等差數(shù)列中，，∴． 答案：. 15． 解： 設(shè)此數(shù)列{an},其中間項(xiàng)為a1001, 則S奇=a1+a3+a5+…+a2001=1001a1001,S偶=a2+a4+a6+…+a2000=1000a1001. 答案: 16．解： 原式= 答案： 三、解答題 17．解：(1)由題意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2(d＞0) 解得d＝2，∴an＝2n－1，可得bn＝3n－1 (2)當(dāng)n＝1時(shí)，c1＝3； 當(dāng)n≥2時(shí)，由，得cn＝23n－1， 故 故c1＋c2＋c3＋…＋c2003＝3＋23＋232＋…＋232002＝32003． 18．解：(1)∵an＋1＝can＋1－c，∴an＋1－1＝c(an－1)， ∴數(shù)列{an－1)是首項(xiàng)為a－1≠0，公比為c≠0的等比數(shù)列， ∴an－1＝(a―1)cn―1，即：an＝(a―1)cn―1＋1 (2)當(dāng)時(shí)，， 則， 利用“差比數(shù)列”的求和方法有：． 19．解：依題意， (1)∵an＞0，bn＞0，∴an＋1＝bnbn＋1，同理：an＝bn－1bn(n≥2) ∴2bn2＝bn－1bn＋bnbn＋1，∴2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2)，∴{bn}是等差數(shù)列． (2)∵{bn}是等差數(shù)列， ∴bp－q＋bp＋q＝2bp， ∴， (3)由a1＝1，b1＝及①②兩式易得a2＝3，b2＝，∴{bn}中公差， ∴，∴．③ ∴，∴， ∴， 20．解：(1)設(shè){an}公差為d，由題意易知d≥0，且d∈N， 則{an}通項(xiàng)an＝3＋(n－1)d，前n項(xiàng)和． 再設(shè){bn}公比為q，則{bn}通項(xiàng)bn＝qn－1 由b2S2＝64可得q(6＋d)＝64 ① 又{bn}為公比為64的等比數(shù)列， ∴，∴qd＝64 ② 聯(lián)立①、②及d≥0，且d∈N可解得q＝8，d＝2． ∴{an}通項(xiàng)公式an＝2n＋1，{bn}通項(xiàng)公式bn＝8n－1， (2)由(1)知，n∈N* ∴，n∈N* ． 21．(1)證明 由已知S1=a1=a，Sn=aqn-1,∴Sn-1=aqn-2， ∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=a(q-1)qn-2． ∵=q,∴{an}是當(dāng)n≥2時(shí)公比為q的等比數(shù)列． (2)解 a2=S2-S1=a(q-1),∴an= ∴當(dāng)a=250，q=時(shí)，b1=log2|a|=50,當(dāng)n≥2時(shí)，bn=log2|an|=log2|250(-1)()n-2|=51-n. ∴bn=51-n(n∈N)． ①當(dāng)1≤n≤51時(shí)，|b1|+|b2|+…+|bn|=(51-1)+(51-2)+…+(51-n)=51n-(1+2+…+n)=51n- ②當(dāng)n≥52時(shí)，|b1|+|b2|+…+|bn|=(50+49+48+…+1)+［1+2+3+…+(n-51)］= 22．(1)證明 由已知得an=Sn-Sn-1=2an+(-1)n-2an-1-(-1)n-1(n≥2), 化簡(jiǎn)得 an=2an-1+2(-1)n-1(n≥2), 上式可化為 an+(-1)n=2［an-1+(-1)n-1］(n≥2),∵a1=1,∴a1+(-1)1=. 故數(shù)列{an+(-1)n}是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列. (2)解 由（1）可知an+(-1)n=. ∴an=2n-1-(-1)n=［2n-2-(-1)n］,故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an=［2n-2-(-1)n］. (3)證明 由已知得 = = = 故