2019-2020年人教版高中數(shù)學必修二教案：4-1-1 圓的標準方程.doc

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2019-2020年人教版高中數(shù)學必修二教案：4-1-1 圓的標準方程項目內(nèi)容課題4.1.1 圓的標準方程（1課時）修改與創(chuàng)新教學目標1.使學生掌握圓的標準方程,能根據(jù)圓心、半徑寫出圓的標準方程,能根據(jù)圓的標準方程寫出圓的圓心、半徑,進一步培養(yǎng)學生能用解析法研究幾何問題的能力,滲透數(shù)形結(jié)合思想,注意培養(yǎng)學生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.2.會用待定系數(shù)法求圓的標準方程,通過圓的標準方程解決實際問題的學習,形成代數(shù)方法處理幾何問題的能力,從而激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情和興趣,培養(yǎng)學生分析、概括的思維能力.3.理解掌握圓的切線的求法.包括已知切點求切線,從圓外一點引切線,已知切線斜率求切線等.把握運動變化原則,培養(yǎng)學生樹立相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義觀點,欣賞和體驗圓的對稱性,感受數(shù)學美.教學重、難點教學重點：圓的標準方程的推導過程和圓的標準方程特點的明確.教學難點:會根據(jù)不同的已知條件,利用待定系數(shù)法求圓的標準方程.教學準備多媒體課件教學過程導入新課同學們,我們知道直線可以用一個方程表示,那么,圓可以用一個方程表示嗎？圓的方程怎樣來求呢?這就是本堂課的主要內(nèi)容,教師板書本節(jié)課題:圓的標準方程.推進新課新知探究提出問題已知兩點A(2,-5),B(6,9),如何求它們之間的距離?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它們之間的距離?具有什么性質(zhì)的點的軌跡稱為圓？圖1中哪個點是定點？哪個點是動點？動點具有什么性質(zhì)？圓心和半徑都反映了圓的什么特點？圖1我們知道,在平面直角坐標系中,確定一條直線的條件是兩點或一點和傾斜角,那么,決定圓的條件是什么?如果已知圓心坐標為C(a,b),圓的半徑為r,我們?nèi)绾螌懗鰣A的方程?圓的方程形式有什么特點？當圓心在原點時,圓的方程是什么？討論結(jié)果：根據(jù)兩點之間的距離公式,得|AB|=,|CD|=.平面內(nèi)與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓,定點是圓心,定長是半徑(教師在黑板上畫一個圓).圓心C是定點,圓周上的點M是動點,它們到圓心距離等于定長|MC|=r,圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小.確定圓的條件是圓心和半徑,只要圓心和半徑確定了,那么圓的位置和大小就確定了.確定圓的基本條件是圓心和半徑,設圓的圓心坐標為C(a,b),半徑為r(其中a、b、r都是常數(shù),r0).設M(x,y)為這個圓上任意一點,那么點M滿足的條件是(引導學生自己列出)P=M|MA|=r,由兩點間的距離公式讓學生寫出點M適合的條件=r.將上式兩邊平方得(x-a)2+(y-b)2=r2.化簡可得(x-a)2+(y-b)2=r2.若點M(x,y)在圓上,由上述討論可知,點M的坐標滿足方程,反之若點M的坐標滿足方程,這就說明點M與圓心C的距離為r,即點M在圓心為C的圓上.方程就是圓心為C(a,b),半徑長為r的圓的方程,我們把它叫做圓的標準方程.這是二元二次方程,展開后沒有xy項,括號內(nèi)變數(shù)x,y的系數(shù)都是1.點(a,b)、r分別表示圓心的坐標和圓的半徑.當圓心在原點即C(0,0)時,方程為x2+y2=r2.提出問題根據(jù)圓的標準方程說明確定圓的方程的條件是什么?確定圓的方程的方法和步驟是什么?坐標平面內(nèi)的點與圓有什么位置關(guān)系?如何判斷?討論結(jié)果：圓的標準方程(xa)2(yb)2=r2中,有三個參數(shù)a、b、r,只要求出a、b、r且r0,這時圓的方程就被確定,因此確定圓的標準方程,需三個獨立條件,其中圓心是圓的定位條件,半徑是圓的定形條件.確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法,即列出關(guān)于a、b、r的方程組,求a、b、r或直接求出圓心(a,b)和半徑r,一般步驟為：1根據(jù)題意,設所求的圓的標準方程(xa)2(yb)2=r2；2根據(jù)已知條件,建立關(guān)于a、b、r的方程組；3解方程組,求出a、b、r的值,并把它們代入所設的方程中去,就得到所求圓的方程.點M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的關(guān)系的判斷方法：當點M(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上時,點M的坐標滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.當點M(x0,y0)不在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上時,點M的坐標不滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.用點到圓心的距離和半徑的大小來說明應為:1點到圓心的距離大于半徑,點在圓外(x0-a)2+(y0-b)2r2,點在圓外;2點到圓心的距離等于半徑,點在圓上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,點在圓上;3點到圓心的距離小于半徑,點在圓內(nèi)(x0-a)2+(y0-b)2r2,點在圓內(nèi).應用示例例1 寫出下列各圓的標準方程：(1)圓心在原點,半徑是3；圓心在點C(3,4),半徑是;(3)經(jīng)過點P(5,1),圓心在點C(8,-3)；(4)圓心在點C(1,3),并且和直線3x-4y-7=0相切.解:(1)由于圓心在原點,半徑是3,所以圓的標準方程為(x-0)2+(y-0)2=32,即x2+y2=9.(2)由于圓心在點C(3,4),半徑是5,所以圓的標準方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5.(3)方法一:圓的半徑r=|CP|=5,因此所求圓的標準方程為(x-8)2+(y+3)2=25.方法二:設圓的標準方程為(x-8)2+(y+3)2=r2,因為圓經(jīng)過點P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r2,r2=25,因此所求圓的標準方程為(x-8)2+(y+3)2=25. 這里方法一是直接法,方法二是間接法,它需要確定有關(guān)參數(shù)來確定圓的標準方程,兩種方法都可,要視問題的方便而定.(4)設圓的標準方程為(x-1)2+(y-3)2=r2,由圓心到直線的距離等于圓的半徑,所以r=.因此所求圓的標準方程為(x-1)2+(y-3)2=.點評：要求能夠用圓心坐標、半徑長熟練地寫出圓的標準方程.例2 寫出圓心為A(2,-3),半徑長等于5的圓的方程,并判斷點M1(5,-7),M2(-,-1)是否在這個圓上.解:圓心為A(2,-3),半徑長等于5的圓的標準方程是(x-2)2+(y+3)2=25,把點M1(5,-7),M2(-,-1)分別代入方程(x-2)2+(y+3)2=25,則M1的坐標滿足方程,M1在圓上.M2的坐標不滿足方程,M2不在圓上.點評:本題要求首先根據(jù)坐標與半徑大小寫出圓的標準方程,然后給一個點,判斷該點與圓的關(guān)系,這里體現(xiàn)了坐標法的思想,根據(jù)圓的坐標及半徑寫方程從幾何到代數(shù)；根據(jù)坐標滿足方程來看在不在圓上從代數(shù)到幾何.例3 ABC的三個頂點的坐標是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程.活動：教師引導學生從圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要確定圓的標準方程,可用待定系數(shù)法確定a、b、r三個參數(shù).另外可利用直線AB與AC的交點確定圓心,從而得半徑,圓的方程可求,師生總結(jié)、歸納、提煉方法.解法一:設所求的圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,因為A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圓上,它們的坐標都滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是解此方程組得所以ABC的外接圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25.解法二:線段AB的中點坐標為(6,-1),斜率為-2,所以線段AB的垂直平分線的方程為y+1=(x-6). 同理線段AC的中點坐標為(3.5,-3.5),斜率為3,所以線段AC的垂直平分線的方程為y+3.5=3(x-3.5). 解由組成的方程組得x=2,y=-3,所以圓心坐標為(2,-3),半徑r=5,所以ABC的外接圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25.點評:ABC外接圓的圓心是ABC的外心,它是ABC三邊的垂直平分線的交點,它到三頂點的距離相等,就是圓的半徑,利用這些幾何知識,可豐富解題思路.變式訓練 一圓過原點O和點P(1,3),圓心在直線y=x+2上,求此圓的方程.解法一：因為圓心在直線y=x+2上,所以設圓心坐標為(a,a+2).則圓的方程為(x-a)2+(y-a-2)2=r2.因為點O(0,0)和P(1,3)在圓上,所以解得所以所求的圓的方程為(x+)2+(y-)2=.解法二：由題意：圓的弦OP的斜率為3,中點坐標為(,),所以弦OP的垂直平分線方程為y-=-(x-),即x+3y-5=0.因為圓心在直線y=x+2上,且圓心在弦OP的垂直平分線上,所以由解得,即圓心坐標為C(-,).又因為圓的半徑r=|OC|=,所以所求的圓的方程為(x+)2+(y-)2=.點評:(1)圓的標準方程中有a、b、r三個量,要求圓的標準方程即要求a、b、r三個量,有時可用待定系數(shù)法.(2)要重視平面幾何中的有關(guān)知識在解題中的運用.例3 求下列圓的方程:(1)圓心在直線y=-2x上且與直線y=1-x相切于點(2,-1).(2)圓心在點(2,-1),且截直線y=x-1所得弦長為22.解:(1)設圓心坐標為(a,-2a),由題意知圓與直線y=1-x相切于點(2,-1),所以,解得a=1.所以所求圓心坐標為(1,-2),半徑r=.所以所求圓的標準方程為(x-1)2+(y+2) 2=2.(2)設圓的方程為(x-2)2+(y+1)2=r2(r0),由題意知圓心到直線y=x-1的距離為d=.又直線y=x-1被圓截得弦長為2,所以由弦長公式得r2-d2=2,即r=2.所以所求圓的標準方程為(x-2)2+(y+1)2=4.點評:本題的兩個題目所給條件均與圓心和半徑有關(guān),故都利用了圓的標準方程求解,此外平面幾何的性質(zhì)的應用,使得解法簡便了許多,所以類似問題一定要注意圓的相關(guān)幾何性質(zhì)的應用,從確定圓的圓心和半徑入手來解決.知能訓練課本本節(jié)練習1、2.拓展提升1.求圓心在直線y=2x上且與兩直線3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圓的方程.活動:學生思考交流,教師提示引導,求圓的方程,無非就是確定圓的圓心和半徑,師生共同探討解題方法.解:首先兩平行線的距離d=2,所以半徑為r=1.方法一：設與兩直線3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距離相等的直線方程為3x+4y+k=0,由平行線間的距離公式d=,得,即k=-2,所以直線方程為3x+4y-2=0.解3x+4y-2=0與y=2x組成的方程組得,因此圓心坐標為(,).又半徑為r=1,所以所求圓的方程為(x-)2+(y-)2=1.方法二：解方程組因此圓心坐標為(,).又半徑r=1,所以所求圓的方程為(x-)2+(y-)2=1.點評:要充分考慮各幾何元素間的位置關(guān)系,把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來處理.課堂小結(jié)圓的標準方程.點與圓的位置關(guān)系的判斷方法.根據(jù)已知條件求圓的標準方程的方法.利用圓的平面幾何的知識構(gòu)建方程.直徑端點是A(x1,y1)、B(x2,y2)的圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.作業(yè)1.復習初中有關(guān)點與圓的位置關(guān)系,直線與圓的位置關(guān)系,圓與圓的位置關(guān)系有關(guān)內(nèi)容.2.預習有關(guān)圓的切線方程的求法.3.課本習題4.1 A組第2、3題.板書設計4.1.1 圓的標準方程1、 圓的標準方程的推導 例12、 圓的標準方程 例23、 點與圓的位置關(guān)系 變式教學反思 圓是學生比較熟悉的曲線,求圓的標準方程既是本節(jié)課的教學重點也是難點,為此先讓學生熟悉圓心、半徑與圓的標準方程之間的關(guān)系,逐步理解三個參數(shù)的重要性,自然形成待定系數(shù)法的解題思路,在突出重點的同時突破了難點.利用圓的標準方程由淺入深的解決問題,并通過圓的方程在實際問題中的應用,增強學生應用數(shù)學的意識.另外,為了培養(yǎng)學生的理性思維,在例題中,設計了由特殊到一般的學習思路,培養(yǎng)學生的歸納概括能力.在問題的設計中,我用一題多解的探究,縱向挖掘知識深度,橫向加強知識間的聯(lián)系,培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新精神,并且使學生的有效思維量加大,隨時對所學知識和方法產(chǎn)生有意注意,能力與知識的形成相伴而行,不但突出了重點,更使難點的突破水到渠成.