2018版高中數(shù)學(xué) 第1章 解三角形章末分層突破學(xué)案 新人教B版必修5.doc

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第1章 解三角形章末分層突破 自我校對已知兩角和其中一邊c2a2b22abcos C已知三邊Sacsin B 利用正、余弦定理解三角形解三角形就是已知三角形中的三個獨立元素(至少一條邊)求出其他元素的過程.三角形中的元素有基本元素(邊和角)和非基本元素(中線、高、角平分線、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑)，解三角形通常是指求未知的元素，有時也求三角形的面積.解斜三角形共包括四種類型：(1)已知三角形的兩角和一邊(一般先用內(nèi)角和求角或用正弦定理求邊)；(2)已知兩邊及夾角(一般先用余弦定理求第三邊)；(3)已知三邊(先用余弦定理求角)；(4)已知兩邊和一邊的對角(先用正弦定理求另一邊的對角或先用余弦定理求第三邊，注意討論解的個數(shù)).ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asin Acsin Casin Cbsin B.(1)求角B的大小；(2)若A75，b2，求a，c.【精彩點撥】(1)用正弦定理將已知關(guān)系式變形為邊之間的關(guān)系，然后利用余弦定理求解.(2)先求角C，然后利用正弦定理求邊a，c.【規(guī)范解答】(1)由正弦定理得a2c2acb2.由余弦定理得b2a2c22accos B.故cos B，因此B45.(2)sin Asin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45.故ab1.由已知得，C180457560，cb2.再練一題1.在ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，設(shè)a，b，c滿足條件b2c2bca2和，求A和tan B的值. 【導(dǎo)學(xué)號：18082014】【解】由余弦定理cos A，因此A60.在ABC中，C180AB120B.由已知條件，應(yīng)用正弦定理，從而tan B.正、余弦定理的綜合應(yīng)用正、余弦定理將三角形中的邊和角關(guān)系進(jìn)行了量化，為我們解三角形或求三角形的面積提供了依據(jù)，而三角形中的問題常與向量、函數(shù)、方程及平面幾何相結(jié)合，通?？梢岳谜?、余弦定理完成證明、求值等問題.(1)解三角形與向量的交匯問題，可以結(jié)合向量的平行、垂直、夾角、模等知識轉(zhuǎn)化求解.(2)解三角形與其他知識的交匯問題，可以運用三角形的基礎(chǔ)知識、正余弦定理、三角形面積公式與三角恒等變換，通過等價轉(zhuǎn)化或構(gòu)造方程及函數(shù)求解.在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b.c,4sin2cos 2C，ab5，c.(1)求角C的大??；(2)求ABC的面積.【精彩點撥】(1)先降冪，轉(zhuǎn)化成cos C的方程，求出cos C，進(jìn)而求出角C；(2)由余弦定理列方程，得方程組，求出a，b，再求面積.【規(guī)范解答】(1)由4sin2cos 2C，得4cos2cos 2C，所以4(2cos2C1).整理，得4cos2C4cos C10，解得cos C，所以C60.(2)由余弦定理，得c2a2b22abcos C，即7a2b2ab.又因為ab5，所以a2b22ab25.聯(lián)立，解得ab6.所以SABCabsin C6.再練一題2.ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面積為，求ABC的周長.【解】(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C.可得cos C，所以C.(2)由已知得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得a2b22abcos C7，故a2b213，從而(ab)225.所以ABC的周長為5.正、余弦定理的實際應(yīng)用正弦定理、余弦定理在實際生活中有著非常廣泛的應(yīng)用.常用的有測量距離問題，測量高度問題，測量角度問題等.解決的基本思路是畫出正確的示意圖，把已知量和未知量標(biāo)在示意圖中(目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關(guān)系)，最后確定用哪個定理轉(zhuǎn)化，用哪個定理求解，并進(jìn)行作答，解題時還要注意近似計算的要求.在某海濱城市附近海面有臺風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺風(fēng)中心位于城市O(如圖11)的東偏南方向300 km的海面P處，并以20 km/h的速度向西偏北45方向移動.臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60 km，并以10 km/h的速度不斷增大.問幾小時后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲.圖11【精彩點撥】設(shè)臺風(fēng)中心在t小時后由P到Q，所以在OPQ中，OP300，OPQ45，PQ20t，可由余弦定理求出OQ.城市O受到臺風(fēng)的侵襲，需滿足條件OQ10t60，然后通過解不等式求出城市O受到臺風(fēng)侵襲的時間.【規(guī)范解答】設(shè)在時刻t(h)臺風(fēng)中心為Q，此時臺風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑為(10t60)km，若在時刻t城市O受到臺風(fēng)的侵襲，則OQ10t60.由余弦定理，知OQ2PQ2PO22PQPOcosOPQ.因為PO300 km，PQ20t km，cosOPQcos(45)cos cos 45sin sin 45，所以O(shè)Q2(20t)23002220t300202t29 600t3002.又因為OQ10t60，所以202t29 600t3002(10t60)2，即t236t2880，解得12t24.所以12個小時后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲.再練一題3.如圖12，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AOC.小區(qū)的兩個出入口設(shè)置在點A及點C處，小區(qū)里有兩條筆直的小路AD，DC，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為120.已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了6分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長(精確到1米).圖12【解】法一：設(shè)該扇形的半徑為r米，由題意，得CD500米，DA300米，CDO60.在CDO中，CD2OD22CDODcos 60OC2，即5002(r300)22500(r300)r2，解得r445(米).法二：連接AC，作OHAC，交AC于點H，由題意，得CD500米，AD300米，CDA120.在ACD中，AC2CD2AD22CDADcos 1205002300225003007002，AC700(米).cosCAD.在RtHAO中，AH350(米)，cosHAO，OA445(米).三角形形狀的判斷一般來說，判斷三角形的形狀問題常用的方法有兩種：(1)通過邊之間的關(guān)系判斷形狀；(2)通過角之間的關(guān)系判斷形狀.正弦定理、余弦定理在解題中起到將已知條件中的邊、角互化，把條件化為邊之間的關(guān)系或化為角之間的關(guān)系的作用.在ABC中，已知B60，2bac，試判斷ABC的形狀.【精彩點撥】通過正弦定理，把2bac化邊為角判斷或通過余弦定理，利用cos B化角為邊判斷.【規(guī)范解答】法一：由正弦定理，得2sin Bsin Asin C.因為B60，所以AC120，所以A120C.代入上式，得2sin 60sin(120C)sin C.整理，得sin Ccos C1，即sin(C30)1.所以C3090，C60.所以A60.所以ABC為等邊三角形.法二：由余弦定理，得b2a2c22accos B.代入b(ac)，得(ac)2a2c22ac.化簡，得a2c22ac0，即(ac)20，所以ac，ABC為等腰三角形.又因為B60，所以ABC為等邊三角形.再練一題4.在ABC中，若sin Acos A，則這個三角形是()A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形【解析】法一：若A90，則sin Acos Asin(A45)1，A90，故選A.法二：sin Acos A，(sin Acos A)2，12sin Acos A，sin Acos A0.0A180，sin A0，cos A0,90A180，故選A.【答案】A轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想用于研究、解決數(shù)學(xué)問題時思維受阻或?qū)で蠛唵畏椒ǖ那闆r下，把一種狀況轉(zhuǎn)化為另一種狀況，也就是轉(zhuǎn)化為另一種情境，使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略，同時也是成功的思維方式.本章主要是綜合運用正、余弦定理解決較為復(fù)雜的與解三角形有關(guān)的問題，在判斷三角形的形狀的問題中，利用邊、角之間的轉(zhuǎn)化與化歸的方法是解決這類問題的基本思路.在ABC中，已知(abc)(abc)3ab，且2cos Asin Bsin C，試確定ABC的形狀.【精彩點撥】充分運用正弦定理和余弦定理，可利用邊的關(guān)系判斷，也可轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系來判斷.【規(guī)范解答】法一：由正弦定理，得.又2cos Asin Bsin C，所以cos A.由余弦定理，有cos A.所以，即c2b2c2a2.所以ab.又因為(abc)(abc)3ab，所以(ab)2c23ab，所以4b2c23b2.所以bc，所以abc.因此ABC為等邊三角形.法二：因為ABC180，所以sin Csin(AB).又因為2cos Asin Bsin C，所以2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin(AB)0.因為A、B均為三角形的內(nèi)角，所以AB.又由(abc)(abc)3ab.得(ab)2c23ab，即a2b2c2ab.所以cos C.因為0C180，所以C60.因此ABC為等邊三角形.再練一題5.已知ABC中，c2，且acos Bbcos A，試判斷ABC的形狀.【解】由c2，得a3b3c3c2(ab)c3，a2b2abc2，cos C，C60.由acos Bbcos A，得2Rsin Acos B2Rsin Bcos A(R為ABC外接圓的半徑)，sin(AB)0，AB0，ABC60，ABC為等邊三角形.1.ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，c2，cos A，則b()A.B.C.2D.3【解析】由余弦定理得5b242b2，解得b3或b(舍去)，故選D.【答案】D2.ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c.已知bc，a22b2(1sin A)，則A()A. B. C. D.【解析】bc，BC.又由ABC得B.由正弦定理及a22b2(1sin A)得sin2A2sin2B(1sin A)，即sin2A2sin2(1sin A)，即sin2A2cos2(1sin A)，即4sin2cos22cos2(1sin A)，整理得cos20，即cos2(cos Asin A)0.0A，0，cos 0，cos Asin A.又0A，A.【答案】C3.在ABC中，A，ac，則_.【解析】在ABC中，A，a2b2c22bccos，即a2b2c2bc.ac，3c2b2c2bc，b2bc2c20，(b2c)(bc)0，bc0，bc，1.【答案】14.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c.已知asin 2Bbsin A.(1)求B；(2)若cos A，求sin C的值.【解】(1)在ABC中，由，可得asin Bbsin A.又由asin 2Bbsin A，得2asin Bcos Bbsin Aasin B，所以cos B，所以B.(2)由cos A，可得sin A，則sin Csin(AB)sin(AB)sinsin Acos A.5.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bc2acos B.(1)證明：A2B；(2)若cos B，求cos C的值.【解】(1)證明：由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB).又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此，A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)由cos B得sin B，cos 2B2cos2B1，故cos A，sin A，cos Ccos(AB)cos Acos Bsin Asin B.