2018版高中數(shù)學(xué) 第1章 解三角形章末分層突破學(xué)案 新人教B版必修5.doc

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第1章 解三角形 章末分層突破 [自我校對] ①＝＝ ②已知兩角和其中一邊 ③c2＝a2＋b2－2abcos C ④已知三邊 ⑤S＝acsin B 　 　 　 利用正、余弦定理解三角形 解三角形就是已知三角形中的三個獨立元素(至少一條邊)求出其他元素的過程.三角形中的元素有基本元素(邊和角)和非基本元素(中線、高、角平分線、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑)，解三角形通常是指求未知的元素，有時也求三角形的面積. 解斜三角形共包括四種類型：(1)已知三角形的兩角和一邊(一般先用內(nèi)角和求角或用正弦定理求邊)；(2)已知兩邊及夾角(一般先用余弦定理求第三邊)；(3)已知三邊(先用余弦定理求角)；(4)已知兩邊和一邊的對角(先用正弦定理求另一邊的對角或先用余弦定理求第三邊，注意討論解的個數(shù)). 　△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B. (1)求角B的大??； (2)若∠A＝75，b＝2，求a，c. 【精彩點撥】　(1)用正弦定理將已知關(guān)系式變形為邊之間的關(guān)系，然后利用余弦定理求解. (2)先求角C，然后利用正弦定理求邊a，c. 【規(guī)范解答】　(1)由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B. 故cos B＝，因此∠B＝45. (2)sin A＝sin(30＋45) ＝sin 30cos 45＋cos 30sin 45＝. 故a＝b＝1＋. 由已知得，∠C＝180－45－75＝60， c＝b＝2＝. [再練一題] 1.在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，設(shè)a，b，c滿足條件b2＋c2－bc＝a2和＝＋，求∠A和tan B的值. 【導(dǎo)學(xué)號：18082014】 【解】　由余弦定理cos A＝＝，因此∠A＝60.在△ABC中，∠C＝180－∠A－∠B＝120－∠B. 由已知條件，應(yīng)用正弦定理 ＋＝＝＝ ＝ ＝＋，從而tan B＝. 正、余弦定理的綜合應(yīng)用 正、余弦定理將三角形中的邊和角關(guān)系進(jìn)行了量化，為我們解三角形或求三角形的面積提供了依據(jù)，而三角形中的問題常與向量、函數(shù)、方程及平面幾何相結(jié)合，通?？梢岳谜?、余弦定理完成證明、求值等問題. (1)解三角形與向量的交匯問題，可以結(jié)合向量的平行、垂直、夾角、模等知識轉(zhuǎn)化求解. (2)解三角形與其他知識的交匯問題，可以運用三角形的基礎(chǔ)知識、正余弦定理、三角形面積公式與三角恒等變換，通過等價轉(zhuǎn)化或構(gòu)造方程及函數(shù)求解. 　在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b.c,4sin2－cos 2C＝，a＋b＝5，c＝. (1)求角C的大?。? (2)求△ABC的面積. 【精彩點撥】　(1)先降冪，轉(zhuǎn)化成cos C的方程，求出cos C，進(jìn)而求出角C；(2)由余弦定理列方程，得方程組，求出a，b，再求面積. 【規(guī)范解答】　(1)由4sin2－cos 2C＝， 得4cos2－cos 2C＝， 所以4－(2cos2C－1)＝. 整理，得4cos2C－4cos C＋1＝0， 解得cos C＝， 所以∠C＝60. (2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C， 即7＝a2＋b2－ab. ① 又因為a＋b＝5，所以a2＋b2＋2ab＝25. ② ①②聯(lián)立，解得ab＝6. 所以S△ABC＝absin C＝6＝. [再練一題] 2.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求∠C； (2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長. 【解】　(1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 即2cos Csin(A＋B)＝sin C， 故2sin Ccos C＝sin C. 可得cos C＝，所以∠C＝. (2)由已知得absin C＝. 又∠C＝，所以ab＝6. 由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7， 故a2＋b2＝13，從而(a＋b)2＝25. 所以△ABC的周長為5＋. 正、余弦定理的實際應(yīng)用 正弦定理、余弦定理在實際生活中有著非常廣泛的應(yīng)用.常用的有測量距離問題，測量高度問題，測量角度問題等.解決的基本思路是畫出正確的示意圖，把已知量和未知量標(biāo)在示意圖中(目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關(guān)系)，最后確定用哪個定理轉(zhuǎn)化，用哪個定理求解，并進(jìn)行作答，解題時還要注意近似計算的要求. 　在某海濱城市附近海面有臺風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺風(fēng)中心位于城市O(如圖11)的東偏南θ方向300 km的海面P處，并以20 km/h的速度向西偏北45方向移動.臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60 km，并以10 km/h的速度不斷增大.問幾小時后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲. 圖11 【精彩點撥】　設(shè)臺風(fēng)中心在t小時后由P到Q，所以在△OPQ中，OP＝300，∠OPQ＝θ－45，PQ＝20t，可由余弦定理求出OQ.城市O受到臺風(fēng)的侵襲，需滿足條件OQ≤10t＋60，然后通過解不等式求出城市O受到臺風(fēng)侵襲的時間. 【規(guī)范解答】　設(shè)在時刻t(h)臺風(fēng)中心為Q，此時臺風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑為(10t＋60)km，若在時刻t城市O受到臺風(fēng)的侵襲，則OQ≤10t＋60. 由余弦定理，知 OQ2＝PQ2＋PO2－2PQPOcos∠OPQ. 因為PO＝300 km，PQ＝20t km， cos∠OPQ＝cos(θ－45)＝cos θcos 45＋sin θsin 45＝＋＝， 所以O(shè)Q2＝(20t)2＋3002－220t300 ＝202t2－9 600t＋3002. 又因為OQ≤10t＋60， 所以202t2－9 600t＋3002≤(10t＋60)2， 即t2－36t＋288≤0， 解得12≤t≤24. 所以12個小時后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲. [再練一題] 3.如圖12，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AOC.小區(qū)的兩個出入口設(shè)置在點A及點C處，小區(qū)里有兩條筆直的小路AD，DC，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為120.已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了6分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長(精確到1米). 圖12 【解】　法一：設(shè)該扇形的半徑為r米，由題意，得CD＝500米，DA＝300米，∠CDO＝60. 在△CDO中，CD2＋OD2－2CDODcos 60＝OC2， 即5002＋(r－300)2－2500(r－300)＝r2， 解得r＝≈445(米). 法二：連接AC，作OH⊥AC，交AC于點H， 由題意，得CD＝500米，AD＝300米，∠CDA＝120. 在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2CDADcos 120＝5002＋3002＋2500300＝7002， ∴AC＝700(米). cos∠CAD＝＝. 在Rt△HAO中，AH＝350(米)，cos∠HAO＝， ∴OA＝＝≈445(米). 三角形形狀的判斷 一般來說，判斷三角形的形狀問題常用的方法有兩種：(1)通過邊之間的關(guān)系判斷形狀；(2)通過角之間的關(guān)系判斷形狀.正弦定理、余弦定理在解題中起到將已知條件中的邊、角互化，把條件化為邊之間的關(guān)系或化為角之間的關(guān)系的作用. 　在△ABC中，已知∠B＝60，2b＝a＋c，試判斷△ABC的形狀. 【精彩點撥】　通過正弦定理，把2b＝a＋c化邊為角判斷或通過余弦定理，利用cos B＝化角為邊判斷. 【規(guī)范解答】　法一：由正弦定理，得2sin B＝sin A＋sin C. 因為∠B＝60，所以∠A＋ ∠C＝120， 所以∠A＝120－∠C. 代入上式，得2sin 60＝sin(120－C)＋sin C. 整理，得sin C＋cos C＝1， 即sin(C＋30)＝1. 所以∠C＋30＝90，∠C＝60. 所以∠A＝60. 所以△ABC為等邊三角形. 法二：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B. 代入b＝(a＋c)，得(a＋c)2＝a2＋c2－2ac. 化簡，得a2＋c2－2ac＝0， 即(a－c)2＝0， 所以a＝c，△ABC為等腰三角形. 又因為∠B＝60， 所以△ABC為等邊三角形. [再練一題] 4.在△ABC中，若sin A＋cos A＝，則這個三角形是(　　) A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等邊三角形 【解析】　法一：若∠A≤90，則sin A＋cos A＝sin(A＋45)≥1＞，∴∠A＞90，故選A. 法二：∵sin A＋cos A＝， ∴(sin A＋cos A)2＝， ∴1＋2sin Acos A＝， ∴sin Acos A＝－＜0. ∵0＜∠A＜180，sin A＞0， ∴cos A＜0,90＜∠A＜180，故選A. 【答案】　A 轉(zhuǎn)化與化歸思想 轉(zhuǎn)化與化歸思想用于研究、解決數(shù)學(xué)問題時思維受阻或?qū)で蠛唵畏椒ǖ那闆r下，把一種狀況轉(zhuǎn)化為另一種狀況，也就是轉(zhuǎn)化為另一種情境，使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略，同時也是成功的思維方式. 本章主要是綜合運用正、余弦定理解決較為復(fù)雜的與解三角形有關(guān)的問題，在判斷三角形的形狀的問題中，利用邊、角之間的轉(zhuǎn)化與化歸的方法是解決這類問題的基本思路. 　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sin C，試確定△ABC的形狀. 【精彩點撥】　充分運用正弦定理和余弦定理，可利用邊的關(guān)系判斷，也可轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系來判斷. 【規(guī)范解答】　法一：由正弦定理，得＝. 又2cos Asin B＝sin C，所以cos A＝＝. 由余弦定理，有cos A＝. 所以＝，即c2＝b2＋c2－a2. 所以a＝b. 又因為(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， 所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2. 所以b＝c，所以a＝b＝c. 因此△ABC為等邊三角形. 法二：因為∠A＋∠B＋∠C＝180，所以sin C＝sin(A＋B). 又因為2cos Asin B＝sin C， 所以2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以sin(A－B)＝0. 因為∠A、∠B均為三角形的內(nèi)角，所以∠A＝∠B. 又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab. 得(a＋b)2－c2＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab. 所以cos C＝＝＝. 因為0<∠C<180，所以∠C＝60. 因此△ABC為等邊三角形. [再練一題] 5.已知△ABC中，＝c2，且acos B＝bcos A，試判斷△ABC的形狀. 【解】　由＝c2，得a3＋b3－c3＝c2(a＋b)－c3， ∴a2＋b2－ab＝c2，∴cos C＝，∴∠C＝60. 由acos B＝bcos A，得2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A(R為△ABC外接圓的半徑)， ∴sin(A－B)＝0，∴∠A－∠B＝0， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60，∴△ABC為等邊三角形. 1.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，則b＝(　　) A.　　　　B.　　　　C.2　　　　D.3 【解析】　由余弦定理得5＝b2＋4－2b2， 解得b＝3或b＝－(舍去)，故選D. 【答案】　D 2.△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，則∠A＝(　　) A. B. C. D. 【解析】　∵b＝c，∴∠B＝∠C. 又由∠A＋∠B＋∠C＝π得∠B＝－. 由正弦定理及a2＝2b2(1－sin A)得 sin2A＝2sin2B(1－sin A)， 即sin2A＝2sin2(1－sin A)， 即sin2A＝2cos2(1－sin A)， 即4sin2cos2＝2cos2(1－sin A)， 整理得cos2＝0， 即cos2(cos A－sin A)＝0. ∵0<∠A<π，∴0<<，∴cos ≠0， ∴cos A＝sin A. 又0<∠A<π，∴A＝. 【答案】　C 3.在△ABC中，∠A＝，a＝c，則＝________. 【解析】　在△ABC中，∠A＝， ∴a2＝b2＋c2－2bccos，即a2＝b2＋c2＋bc. ∵a＝c，∴3c2＝b2＋c2＋bc，∴b2＋bc－2c2＝0， ∴(b＋2c)(b－c)＝0，∴b－c＝0，∴b＝c，∴＝1. 【答案】　1 4.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c.已知asin 2B＝bsin A. (1)求∠B； (2)若cos A＝，求sin C的值. 【解】　(1)在△ABC中，由＝， 可得asin B＝bsin A. 又由asin 2B＝bsin A，得 2asin Bcos B＝bsin A＝asin B， 所以cos B＝，所以∠B＝. (2)由cos A＝，可得sin A＝，則 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin ＝sin A＋cos A＝. 5.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b＋c＝2acos B. (1)證明：∠A＝2∠B； (2)若cos B＝，求cos C的值. 【解】　(1)證明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B， 故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B). 又∠A，∠B∈(0，π)，故0<∠A－∠B<π，所以∠B＝π－(∠A－∠B)或∠B＝∠A－∠B，因此，∠A＝π(舍去)或∠A＝2∠B，所以∠A＝2∠B. (2)由cos B＝得sin B＝，cos 2B＝2cos2B－1＝－，故cos A＝－，sin A＝， cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝.