2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：2-3-4 平面與平面垂直的性質(zhì).doc

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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：2-3-4 平面與平面垂直的性質(zhì) 項(xiàng)目 內(nèi)容 課題 2.3.4 平面與平面垂直的性質(zhì) （1課時(shí)） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 1.探究平面與平面垂直的性質(zhì)定理，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力. 2.面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力. 3.通過(guò)平面與平面垂直的性質(zhì)定理的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想. 教學(xué)重、 難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):平面與平面垂直的性質(zhì)定理. 教學(xué)難點(diǎn):平面與平面性質(zhì)定理的應(yīng)用. 教學(xué) 準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí) （1）面面垂直的定義. 如果兩個(gè)相交平面所成的二面角為直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直. （2）面面垂直的判定定理. 兩個(gè)平面垂直的判定定理： 如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂直. 兩個(gè)平面垂直的判定定理符號(hào)表述為：α⊥β. 兩個(gè)平面垂直的判定定理圖形表述為： 圖1 如圖2，長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′中，平面A′ADD′與平面ABCD垂直,直線(xiàn)A′A垂直于其交線(xiàn)AD.平面A′ADD′內(nèi)的直線(xiàn)A′A與平面ABCD垂直嗎？ 圖2 提出問(wèn)題 ①如圖3,若α⊥β,α∩β=CD,ABα,AB⊥CD,AB∩CD=B. 請(qǐng)同學(xué)們討論直線(xiàn)AB與平面β的位置關(guān)系. 圖3 ②用三種語(yǔ)言描述平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并給出證明. ③設(shè)平面α⊥平面β,點(diǎn)P∈α,P∈a,a⊥β,請(qǐng)同學(xué)們討論直線(xiàn)a與平面α的關(guān)系. ④分析平面與平面垂直的性質(zhì)定理的特點(diǎn)，討論應(yīng)用定理的難點(diǎn). ⑤總結(jié)應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理的口訣. 活動(dòng):問(wèn)題①引導(dǎo)學(xué)生作圖或借助模型探究得出直線(xiàn)AB與平面β的關(guān)系. 問(wèn)題②引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行語(yǔ)言轉(zhuǎn)換. 問(wèn)題③引導(dǎo)學(xué)生作圖或借助模型探究得出直線(xiàn)a與平面α的關(guān)系. 問(wèn)題④引導(dǎo)學(xué)生回憶立體幾何的核心，以及平面與平面垂直的性質(zhì)定理的特點(diǎn). 問(wèn)題⑤引導(dǎo)學(xué)生找出應(yīng)用平面與平面垂直的性質(zhì)定理的口訣. 討論結(jié)果：①通過(guò)學(xué)生作圖或借助模型探究得出直線(xiàn)AB與平面β垂直,如圖3. ②兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理用文字語(yǔ)言描述為：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一平面. 兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理用圖形語(yǔ)言描述為：如圖4. 圖4 兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理用符號(hào)語(yǔ)言描述為：AB⊥β. 兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理證明過(guò)程如下： 圖5 如圖5，已知α⊥β,α∩β=a,ABα，AB⊥a于B. 求證：AB⊥β. 證明：在平面β內(nèi)作BE⊥CD垂足為B,則∠ABE就是二面角αCDβ的平面角. 由α⊥β,可知AB⊥BE.又AB⊥CD，BE與CD是β內(nèi)兩條相交直線(xiàn),∴AB⊥β. ③問(wèn)題③也是闡述面面垂直的性質(zhì)，變?yōu)槲淖謹(jǐn)⑹鰹椋? 求證：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線(xiàn)，在第一個(gè)平面內(nèi).下面給出證明. 如圖6,已知α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.求證：aα. 圖6 證明：設(shè)α∩β=c，過(guò)點(diǎn)P在平面α內(nèi)作直線(xiàn)b⊥c， ∵α⊥β,∴b⊥β.而a⊥β，P∈a, ∵經(jīng)過(guò)一點(diǎn)只能有一條直線(xiàn)與平面β垂直,∴直線(xiàn)a應(yīng)與直線(xiàn)b重合.那么aα. 利用“同一法”證明問(wèn)題，主要是在按一般途徑不易完成問(wèn)題的情形下所采用的一種數(shù)學(xué)方法，這里要求做到兩點(diǎn).一是作出符合題意的直線(xiàn)b，不易想到，二是證明直線(xiàn)b和直線(xiàn)a重合，相對(duì)容易些.點(diǎn)P的位置由投影所給的圖及證明過(guò)程可知，可以在交線(xiàn)上，也可以不在交線(xiàn)上. ④我認(rèn)為立體幾何的核心是：直線(xiàn)與平面垂直，因?yàn)榱Ⅲw幾何的幾乎所有問(wèn)題都是圍繞它展開(kāi)的，例如它不僅是線(xiàn)線(xiàn)垂直與面面垂直相互轉(zhuǎn)化的橋梁，而且由它還可以轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)平行，即使作線(xiàn)面角和二面角的平面角也離不開(kāi)它.兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理的特點(diǎn)就是幫我們找平面的垂線(xiàn)，因此它是立體幾何中最重要的定理. ⑤應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理口訣是：“見(jiàn)到面面垂直，立即在一個(gè)平面內(nèi)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)”. 應(yīng)用示例 例1 如圖7，已知α⊥β，a⊥β,aα,試判斷直線(xiàn)a與平面α的位置關(guān)系. 圖7 解:在α內(nèi)作垂直于α與β交線(xiàn)的垂線(xiàn)b, ∵α⊥β,∴b⊥β.∵a⊥β,∴a∥b.∵aα,∴a∥α. 變式訓(xùn)練 如圖8,已知平面α交平面β于直線(xiàn)a.α、β同垂直于平面γ，又同平行于直線(xiàn)b.求證：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ. 圖8 圖9 證明：如圖9, (1)設(shè)α∩γ=AB，β∩γ=AC.在γ內(nèi)任取一點(diǎn)P并在γ內(nèi)作直線(xiàn)PM⊥AB，PN⊥AC. ∵γ⊥α，∴PM⊥α.而aα，∴PM⊥a. 同理,PN⊥a.又PMγ，PNγ，∴a⊥γ. (2)在a上任取點(diǎn)Q，過(guò)b與Q作一平面交α于直線(xiàn)a1，交β于直線(xiàn)a2.∵b∥α，∴b∥a1.同理,b∥a2. ∵a1、a2同過(guò)Q且平行于b，∴a1、a2重合. 又a1α，a2β，∴a1、a2都是α、β的交線(xiàn)，即都重合于a. ∵b∥a1，∴b∥a.而a⊥γ，∴b⊥γ. 點(diǎn)評(píng)：面面垂直的性質(zhì)定理作用是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直，見(jiàn)到面面垂直首先考慮利用性質(zhì)定理，其口訣是：“見(jiàn)到面面垂直，立即在一個(gè)平面內(nèi)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)”. 例2 如圖10，四棱錐P—ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD. 圖10 圖11 （1）證明側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC； （2）求側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角； （3）求直線(xiàn)AB與平面PCD的距離. （1）證明：在矩形ABCD中，BC⊥AB, 又∵面PAB⊥底面ABCD,側(cè)面PAB∩底面ABCD=AB,∴BC⊥側(cè)面PAB. 又∵BC側(cè)面PBC,∴側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC. （2）解：如圖11,取AB中點(diǎn)E，連接PE、CE,又∵△PAB是等邊三角形,∴PE⊥AB. 又∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD. ∴∠PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成角. PE=BA=,CE==, 在Rt△PEC中，∠PCE=45為所求. （3）解：在矩形ABCD中，AB∥CD, ∵CD側(cè)面PCD，AB側(cè)面PCD，∴AB∥側(cè)面PCD. 取CD中點(diǎn)F，連接EF、PF，則EF⊥AB. 又∵PE⊥AB,∴AB⊥平面PEF.又∵AB∥CD, ∴CD⊥平面PEF.∴平面PCD⊥平面PEF. 作EG⊥PF，垂足為G，則EG⊥平面PCD. 在Rt△PEF中，EG=為所求. 變式訓(xùn)練 如圖12，斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱長(zhǎng)都是a，側(cè)棱與底面成60角，側(cè)面BCC1B1⊥面ABC.求平面AB1C1與底面ABC所成二面角的大小. 圖12 活動(dòng):請(qǐng)同學(xué)考慮面BB1C1C⊥面ABC及棱長(zhǎng)相等兩個(gè)條件，師生共同完成表述過(guò)程，并作出相應(yīng)輔助線(xiàn). 解：∵面ABC∥面A1B1C1，則面BB1C1C∩面ABC=BC, 面BB1C1C∩面A1B1C1=B1C1,∴BC∥B1C1，則B1C1∥面ABC. 設(shè)所求兩面交線(xiàn)為AE，即二面角的棱為AE, 則B1C1∥AE，即BC∥AE. 過(guò)C1作C1D⊥BC于D，∵面BB1C1C⊥面ABC, ∴C1D⊥面ABC，C1D⊥BC. 又∠C1CD=60,CC1=a,故CD=,即D為BC的中點(diǎn). 又△ABC是等邊三角形,∴BC⊥AD. 那么有BC⊥面DAC1,即AE⊥面DAC1. 故AE⊥AD，AE⊥AC1,∠C1AD就是所求二面角的平面角. ∵C1D=a，AD=a，C1D⊥AD,故∠C1AD=45. 點(diǎn)評(píng):利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理,找出平面的垂線(xiàn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵. 課堂小結(jié) 知識(shí)總結(jié)：利用面面垂直的性質(zhì)定理找出平面的垂線(xiàn)，然后解決證明垂直問(wèn)題、平行問(wèn)題、求角問(wèn)題、求距離問(wèn)題等. 思想方法總結(jié)：轉(zhuǎn)化思想，即把面面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面關(guān)系，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題. 作業(yè) 課本習(xí)題2.3 B組3、4. 板書(shū)設(shè)計(jì) 教學(xué)反思