2019-2020年人教版高中數(shù)學必修二教案：2-3-4 平面與平面垂直的性質(zhì).doc

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2019-2020年人教版高中數(shù)學必修二教案：2-3-4 平面與平面垂直的性質(zhì) 項目 內(nèi)容 課題 2.3.4 平面與平面垂直的性質(zhì) （1課時） 修改與創(chuàng)新 教學 目標 1.探究平面與平面垂直的性質(zhì)定理，進一步培養(yǎng)學生的空間想象能力. 2.面面垂直的性質(zhì)定理的應用，培養(yǎng)學生的推理能力. 3.通過平面與平面垂直的性質(zhì)定理的學習,培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化的思想. 教學重、 難點 教學重點:平面與平面垂直的性質(zhì)定理. 教學難點:平面與平面性質(zhì)定理的應用. 教學 準備 多媒體課件 教學過程 復習 （1）面面垂直的定義. 如果兩個相交平面所成的二面角為直二面角，那么這兩個平面互相垂直. （2）面面垂直的判定定理. 兩個平面垂直的判定定理： 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直. 兩個平面垂直的判定定理符號表述為：α⊥β. 兩個平面垂直的判定定理圖形表述為： 圖1 如圖2，長方體ABCD—A′B′C′D′中，平面A′ADD′與平面ABCD垂直,直線A′A垂直于其交線AD.平面A′ADD′內(nèi)的直線A′A與平面ABCD垂直嗎？ 圖2 提出問題 ①如圖3,若α⊥β,α∩β=CD,ABα,AB⊥CD,AB∩CD=B. 請同學們討論直線AB與平面β的位置關系. 圖3 ②用三種語言描述平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并給出證明. ③設平面α⊥平面β,點P∈α,P∈a,a⊥β,請同學們討論直線a與平面α的關系. ④分析平面與平面垂直的性質(zhì)定理的特點，討論應用定理的難點. ⑤總結(jié)應用面面垂直的性質(zhì)定理的口訣. 活動:問題①引導學生作圖或借助模型探究得出直線AB與平面β的關系. 問題②引導學生進行語言轉(zhuǎn)換. 問題③引導學生作圖或借助模型探究得出直線a與平面α的關系. 問題④引導學生回憶立體幾何的核心，以及平面與平面垂直的性質(zhì)定理的特點. 問題⑤引導學生找出應用平面與平面垂直的性質(zhì)定理的口訣. 討論結(jié)果：①通過學生作圖或借助模型探究得出直線AB與平面β垂直,如圖3. ②兩個平面垂直的性質(zhì)定理用文字語言描述為：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一平面. 兩個平面垂直的性質(zhì)定理用圖形語言描述為：如圖4. 圖4 兩個平面垂直的性質(zhì)定理用符號語言描述為：AB⊥β. 兩個平面垂直的性質(zhì)定理證明過程如下： 圖5 如圖5，已知α⊥β,α∩β=a,ABα，AB⊥a于B. 求證：AB⊥β. 證明：在平面β內(nèi)作BE⊥CD垂足為B,則∠ABE就是二面角αCDβ的平面角. 由α⊥β,可知AB⊥BE.又AB⊥CD，BE與CD是β內(nèi)兩條相交直線,∴AB⊥β. ③問題③也是闡述面面垂直的性質(zhì)，變?yōu)槲淖謹⑹鰹椋? 求證：如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內(nèi).下面給出證明. 如圖6,已知α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.求證：aα. 圖6 證明：設α∩β=c，過點P在平面α內(nèi)作直線b⊥c， ∵α⊥β,∴b⊥β.而a⊥β，P∈a, ∵經(jīng)過一點只能有一條直線與平面β垂直,∴直線a應與直線b重合.那么aα. 利用“同一法”證明問題，主要是在按一般途徑不易完成問題的情形下所采用的一種數(shù)學方法，這里要求做到兩點.一是作出符合題意的直線b，不易想到，二是證明直線b和直線a重合，相對容易些.點P的位置由投影所給的圖及證明過程可知，可以在交線上，也可以不在交線上. ④我認為立體幾何的核心是：直線與平面垂直，因為立體幾何的幾乎所有問題都是圍繞它展開的，例如它不僅是線線垂直與面面垂直相互轉(zhuǎn)化的橋梁，而且由它還可以轉(zhuǎn)化為線線平行，即使作線面角和二面角的平面角也離不開它.兩個平面垂直的性質(zhì)定理的特點就是幫我們找平面的垂線，因此它是立體幾何中最重要的定理. ⑤應用面面垂直的性質(zhì)定理口訣是：“見到面面垂直，立即在一個平面內(nèi)作交線的垂線”. 應用示例 例1 如圖7，已知α⊥β，a⊥β,aα,試判斷直線a與平面α的位置關系. 圖7 解:在α內(nèi)作垂直于α與β交線的垂線b, ∵α⊥β,∴b⊥β.∵a⊥β,∴a∥b.∵aα,∴a∥α. 變式訓練 如圖8,已知平面α交平面β于直線a.α、β同垂直于平面γ，又同平行于直線b.求證：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ. 圖8 圖9 證明：如圖9, (1)設α∩γ=AB，β∩γ=AC.在γ內(nèi)任取一點P并在γ內(nèi)作直線PM⊥AB，PN⊥AC. ∵γ⊥α，∴PM⊥α.而aα，∴PM⊥a. 同理,PN⊥a.又PMγ，PNγ，∴a⊥γ. (2)在a上任取點Q，過b與Q作一平面交α于直線a1，交β于直線a2.∵b∥α，∴b∥a1.同理,b∥a2. ∵a1、a2同過Q且平行于b，∴a1、a2重合. 又a1α，a2β，∴a1、a2都是α、β的交線，即都重合于a. ∵b∥a1，∴b∥a.而a⊥γ，∴b⊥γ. 點評：面面垂直的性質(zhì)定理作用是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，見到面面垂直首先考慮利用性質(zhì)定理，其口訣是：“見到面面垂直，立即在一個平面內(nèi)作交線的垂線”. 例2 如圖10，四棱錐P—ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD. 圖10 圖11 （1）證明側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC； （2）求側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角； （3）求直線AB與平面PCD的距離. （1）證明：在矩形ABCD中，BC⊥AB, 又∵面PAB⊥底面ABCD,側(cè)面PAB∩底面ABCD=AB,∴BC⊥側(cè)面PAB. 又∵BC側(cè)面PBC,∴側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC. （2）解：如圖11,取AB中點E，連接PE、CE,又∵△PAB是等邊三角形,∴PE⊥AB. 又∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD. ∴∠PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成角. PE=BA=,CE==, 在Rt△PEC中，∠PCE=45為所求. （3）解：在矩形ABCD中，AB∥CD, ∵CD側(cè)面PCD，AB側(cè)面PCD，∴AB∥側(cè)面PCD. 取CD中點F，連接EF、PF，則EF⊥AB. 又∵PE⊥AB,∴AB⊥平面PEF.又∵AB∥CD, ∴CD⊥平面PEF.∴平面PCD⊥平面PEF. 作EG⊥PF，垂足為G，則EG⊥平面PCD. 在Rt△PEF中，EG=為所求. 變式訓練 如圖12，斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱長都是a，側(cè)棱與底面成60角，側(cè)面BCC1B1⊥面ABC.求平面AB1C1與底面ABC所成二面角的大小. 圖12 活動:請同學考慮面BB1C1C⊥面ABC及棱長相等兩個條件，師生共同完成表述過程，并作出相應輔助線. 解：∵面ABC∥面A1B1C1，則面BB1C1C∩面ABC=BC, 面BB1C1C∩面A1B1C1=B1C1,∴BC∥B1C1，則B1C1∥面ABC. 設所求兩面交線為AE，即二面角的棱為AE, 則B1C1∥AE，即BC∥AE. 過C1作C1D⊥BC于D，∵面BB1C1C⊥面ABC, ∴C1D⊥面ABC，C1D⊥BC. 又∠C1CD=60,CC1=a,故CD=,即D為BC的中點. 又△ABC是等邊三角形,∴BC⊥AD. 那么有BC⊥面DAC1,即AE⊥面DAC1. 故AE⊥AD，AE⊥AC1,∠C1AD就是所求二面角的平面角. ∵C1D=a，AD=a，C1D⊥AD,故∠C1AD=45. 點評:利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理,找出平面的垂線是解決問題的關鍵. 課堂小結(jié) 知識總結(jié)：利用面面垂直的性質(zhì)定理找出平面的垂線，然后解決證明垂直問題、平行問題、求角問題、求距離問題等. 思想方法總結(jié)：轉(zhuǎn)化思想，即把面面關系轉(zhuǎn)化為線面關系，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. 作業(yè) 課本習題2.3 B組3、4. 板書設計 教學反思