2019年高中數(shù)學 第5章 推理與證明 5.2 直接證明與間接證明 5.2.1 直接證明：分析法與綜合法講義（含解析）湘教版選修1 -2.doc

《2019年高中數(shù)學 第5章 推理與證明 5.2 直接證明與間接證明 5.2.1 直接證明：分析法與綜合法講義（含解析）湘教版選修1 -2.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019年高中數(shù)學 第5章 推理與證明 5.2 直接證明與間接證明 5.2.1 直接證明：分析法與綜合法講義（含解析）湘教版選修1 -2.doc（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

52.1直接證明：分析法與綜合法讀教材填要點綜合法和分析法綜合法分析法定義從數(shù)學題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求的問題，稱為綜合法從數(shù)學題的待證結論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件，稱為分析法特點從“已知”看“可知”，由因導果，尋找必要條件從“未知”看“需知”，執(zhí)果索因，尋找充分條件小問題大思維1綜合法與分析法的推理過程是合情推理還是演繹推理？提示：綜合法與分析法的推理過程是演繹推理，因為綜合法與分析法的每一步推理都是嚴密的邏輯推理，從而得到的每一個結論都是正確的，不同于合情推理中的“猜想”2綜合法與分析法有什么區(qū)別？提示：綜合法是從已知條件出發(fā)，逐步推向未知，每步尋找的是必要條件；分析法是從待求結論出發(fā)，逐步靠攏已知，每步尋找的是充分條件綜合法的應用 已知a，b是正數(shù)，且ab1，求證：4.自主解答法一：a，bR且ab1，ab2.4.當且僅當ab時，取“”號法二：a，bR，ab20，2 0.(ab)4.又因為ab1，4.當且僅當ab時，取“”號法三：a，bR，且ab1，1122 4.當且僅當ab時，取“”號保持例題條件不變，求證：9.證明：法一：a0，b0，且ab1.4152 549.當且僅當，即a2b時等號成立法二：a0，b0，且ab1.(ab)4152 549.當且僅當，即a2b時等號成立綜合法證明問題的步驟(1)分析條件，選擇方向：確定已知條件和結論間的聯(lián)系，合理選擇相關定義、定理等(2)轉化條件，組織過程：將條件合理轉化，書寫出嚴密的證明過程特別地，根據(jù)題目特點選取合適的證法可以簡化解題過程1在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，若a2b(bc)，求證：A2B.證明：a2b(bc)，cos A，cos 2B2cos2B1221221，cos Acos 2B.又A，B是三角形的內(nèi)角，A2B.分析法的應用 當ab0時，求證：(ab)自主解答要證 (ab)，只需證()22，即證a2b2(a2b22ab)，即證a2b22ab.因為a2b22ab對一切實數(shù)恒成立，所以(ab)成立綜上所述，不等式得證分析法的證明過程及書寫形式(1)證明過程：確定結論與已知條件間的聯(lián)系，合理選擇相關定義、定理對結論進行轉化，直到獲得一個顯而易見的命題即可(2)書寫形式：要證，只需證，即證，然后得到一個明顯成立的條件，所以結論成立2已知a6，求證：.證明：法一：要證，只需證()2()22a922a92(a3)(a6)(a5)(a4)1820，因為1820顯然成立，所以原不等式成立法二：要證，只需證.a6，a30，a40，a50，a60.又a3a5，同理有，則.綜合法與分析法的綜合應用 已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C為等差數(shù)列，且a，b，c分別為角A，B，C的對邊，求證：(ab)1(bc)13(abc)1.自主解答法一：要證(ab)1(bc)13(abc)1，只需證，即證3，化簡，得1，即c(bc)(ab)a(ab)(bc)所以只需證c2a2b2ac.因為ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B60，所以cos B.所以a2c2b2ac，所以原式成立法二：因為ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B60.由余弦定理，有b2c2a22accos 60，所以c2a2acb2.兩邊加abbc，得c(bc)a(ab)(ab)(bc)，兩邊同時除以(ab)(bc)，得1，所以3.即.所以(ab)1(bc)13(abc)1.綜合法與分析法的適用范圍(1)綜合法適用的范圍：定義明確的題型，如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，求證無條件的等式或不等式問題等；已知條件明確，且容易通過找已知條件的必要條件逼近欲得結論的題型(2)分析法適用的范圍：已知條件不明確，或已知條件簡便而結論式子較復雜的問題3(1)設x1，y1，證明：xyxy；(2)設1abbcca.證明法一：(分析法)要證a2b2c2abbcca，只需證2(a2b2c2)2(abbcca)，只需證(a2b22ab)(b2c22bc)(c2a22ca)0，只需證(ab)2(bc)2(ca)20，因為a，b，cR，所以(ab)20，(bc)20，(ca)20.又因為a，b，c不全相等，所以(ab)2(bc)2(ca)20.所以原不等式a2b2c2abbcca成立法二：(綜合法)因為a，b，cR，所以(ab)20，(bc)20，(ca)20.又因為a，b，c不全相等，所以(ab)2(bc)2(ca)20.所以(a2b22ab)(b2c22bc)(c2a22ca)0.所以2(a2b2c2)2(abbcca)所以a2b2c2abbcca.1命題“對于任意角，cos4sin4cos 2”的證明過程：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”，此過程應用了()A分析法B綜合法C綜合法、分析法綜合使用 D間接證明法解析：結合推理及分析法和綜合法的定義可知，B正確答案：B2在ABC中，若sin Bsin Ccos2，則下列等式一定成立的是()AAB BACCBC DABC解析：sin Bsin Ccos2 ，cos(BC)12sin Bsin C，cos Bcos Csin Bsin C12sin Bsin C，cos Bcos Csin Bsin C1，cos(BC)1.又0B，0C，BCbc，且abc0，求證：0Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0解析：ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.答案：C4命題“函數(shù)f(x)xxln x在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”的證明過程“對函數(shù)f(x)x xln x求導得f(x)ln x，當x(0,1)時，f(x)ln x0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”應用了_的證明方法解析：由證明過程可知，該證明方法為綜合法答案：綜合法5將下面用分析法證明ab的步驟補充完整：要證ab，只需證a2b22ab，也就是證_，即證_，由于_顯然成立，因此原不等式成立答案：a2b22ab0(ab)20(ab)206已知x0，y0，且xy1，試分別用綜合法與分析法證明：9.證明：法一：(綜合法)左邊421549.當且僅當xy時等號成立法二：(分析法)要證9成立，x，yR且xy1，y1x.只需證明9成立，即證(1x)(1x1)9x(1x)，即證2xx29x9x2，即證4x24x10，即證(2x1)20，此式顯然成立，所以原不等式成立一、選擇題1已知a，b，cR，那么下列命題中正確的是()A若ab，則ac2bc2B若，則abC若a3b3且abD若a2b2且ab0，則解析：對于A：若c0，則A不成立，故A錯；對于B：若cb3且ab，故C對；對于D：若則D不成立答案：C2設a0，b0，若是3a與3b的等比中項，則的最小值為()A8B4C1 D.解析：是3a與3b的等比中項3a3b33ab3ab1，因為a0，b0，所以ab，所以4.答案：B3已知ABC中，cos Acos B0，則必有()A0AB B0ABC.AB D.AB0，得cos Acos B，cos Acos(B)0A，0B，且ycos x在x(0，)上單調(diào)遞減AB.AB，即0AB2)，q2a24a2(a2)，則p與q的大小關系是_解析：pa22224，當且僅當a3時等號成立a24a22(a2)22，qq8若對任意x0，a恒成立，則a的取值范圍是_解析：a對任意x0恒成立，設x3(x0)只需a恒成立即可又x35，當且僅當x1時“”成立00，2m10，所以m.