2019年高中數學 第5章 推理與證明 5.2 直接證明與間接證明 5.2.1 直接證明：分析法與綜合法講義（含解析）湘教版選修1 -2.doc

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5．2.1　直接證明：分析法與綜合法 [讀教材填要點] 綜合法和分析法 綜合法 分析法 定義 從數學題的已知條件出發(fā)，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求的問題，稱為綜合法 從數學題的待證結論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件，稱為分析法 特點 從“已知”看“可知”，由因導果，尋找必要條件 從“未知”看“需知”，執(zhí)果索因，尋找充分條件 [小問題大思維] 1．綜合法與分析法的推理過程是合情推理還是演繹推理？ 提示：綜合法與分析法的推理過程是演繹推理，因為綜合法與分析法的每一步推理都是嚴密的邏輯推理，從而得到的每一個結論都是正確的，不同于合情推理中的“猜想”． 2．綜合法與分析法有什么區(qū)別？ 提示：綜合法是從已知條件出發(fā)，逐步推向未知，每步尋找的是必要條件；分析法是從待求結論出發(fā)，逐步靠攏已知，每步尋找的是充分條件． 綜合法的應用 已知a，b是正數，且a＋b＝1，求證：＋≥4. [自主解答]　法一：∵a，b∈R＋且a＋b＝1， ∴a＋b≥2. ∴≤. ∴＋＝＝≥4. 當且僅當a＝b＝時，取“＝”號． 法二：∵a，b∈R＋， ∴a＋b≥2＞0，＋≥2 ＞0. ∴(a＋b)≥4. 又因為a＋b＝1， ∴＋≥4. 當且僅當a＝b＝時，取“＝”號． 法三：∵a，b∈R＋，且a＋b＝1， ∴＋＝＋ ＝1＋＋＋1≥2＋2 ＝4. 當且僅當a＝b＝時，取“＝”號． 保持例題條件不變，求證：＋≥9. 證明：法一：∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1. ∴＋＝＋＝4＋＋＋1 ≥5＋2 ＝5＋4＝9. 當且僅當＝，即a＝2b＝時等號成立． 法二：∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1. ∴＋＝(a＋b)＝4＋＋＋1 ≥5＋2 ＝5＋4＝9. 當且僅當＝，即a＝2b＝時等號成立． 綜合法證明問題的步驟 (1)分析條件，選擇方向：確定已知條件和結論間的聯系，合理選擇相關定義、定理等． (2)轉化條件，組織過程：將條件合理轉化，書寫出嚴密的證明過程． 特別地，根據題目特點選取合適的證法可以簡化解題過程． 1．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，若a2＝b(b＋c)，求證：A＝2B. 證明：∵a2＝b(b＋c)， ∴cos A＝＝＝， cos 2B＝2cos2B－1＝22－1 ＝22－1＝＝， ∴cos A＝cos 2B. 又A，B是三角形的內角，∴A＝2B. 分析法的應用 當a＋b>0時，求證：≥(a＋b)． [自主解答]　要證 ≥(a＋b)， 只需證()2≥2， 即證a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即證a2＋b2≥2ab. 因為a2＋b2≥2ab對一切實數恒成立， 所以≥(a＋b)成立．綜上所述，不等式得證． 分析法的證明過程及書寫形式 (1)證明過程：確定結論與已知條件間的聯系，合理選擇相關定義、定理對結論進行轉化，直到獲得一個顯而易見的命題即可． (2)書寫形式：要證…，只需證…，即證…，然后得到一個明顯成立的條件，所以結論成立． 2．已知a>6，求證：－<－. 證明：法一：要證－<－， 只需證＋<＋ ?(＋)2<(＋)2 ?2a－9＋2<2a－9＋2 ?< ?(a－3)(a－6)<(a－5)(a－4) ?18<20， 因為18<20顯然成立， 所以原不等式－<－成立． 法二：要證－<－， 只需證<， 只需證＋>＋. ∵a>6， ∴a－3>0，a－4>0，a－5>0，a－6>0. 又∵a－3>a－5， ∴>， 同理有>， 則＋>＋. ∴－<－. 綜合法與分析法的綜合應用 已知△ABC的三個內角A，B，C為等差數列，且a，b，c分別為角A，B，C的對邊，求證：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1. [自主解答]　法一：要證(a＋b)－1＋(b＋c)－1 ＝3(a＋b＋c)－1， 只需證＋＝， 即證＋＝3， 化簡，得＋＝1， 即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)． 所以只需證c2＋a2＝b2＋ac. 因為△ABC的三個內角A，B，C成等差數列， 所以B＝60， 所以cos B＝＝. 所以a2＋c2－b2＝ac，所以原式成立． 法二：因為△ABC的三個內角A，B，C成等差數列， 所以B＝60. 由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos 60， 所以c2＋a2＝ac＋b2. 兩邊加ab＋bc，得 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 兩邊同時除以(a＋b)(b＋c)，得 ＋＝1， 所以＋＝3. 即＋＝. 所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1. 綜合法與分析法的適用范圍 (1)綜合法適用的范圍： ①定義明確的題型，如證明函數的單調性、奇偶性，求證無條件的等式或不等式問題等； ②已知條件明確，且容易通過找已知條件的必要條件逼近欲得結論的題型． (2)分析法適用的范圍： 已知條件不明確，或已知條件簡便而結論式子較復雜的問題． 3．(1)設x≥1，y≥1，證明：x＋y＋≤＋＋xy； (2)設1ab＋bc＋ca. [證明]　法一：(分析法) 要證a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca， 只需證2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)， 只需證(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0， 只需證(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0， 因為a，b，c∈R， 所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0. 又因為a，b，c不全相等， 所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0. 所以原不等式a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca成立． 法二：(綜合法) 因為a，b，c∈R， 所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0. 又因為a，b，c不全相等， 所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0. 所以(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0. 所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)． 所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca. 1．命題“對于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的證明過程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”，此過程應用了(　　) A．分析法　　　　　　　　 　B．綜合法 C．綜合法、分析法綜合使用 D．間接證明法 解析：結合推理及分析法和綜合法的定義可知，B正確． 答案：B 2．在△ABC中，若sin Bsin C＝cos2，則下列等式一定成立的是(　　) A．A＝B B．A＝C C．B＝C D．A＝B＝C 解析：∵sin Bsin C＝cos2 ＝＝， ∴cos(B＋C)＝1－2sin Bsin C， ∴cos Bcos C－sin Bsin C＝1－2sin Bsin C， ∴cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，∴cos(B－C)＝1. 又0b>c，且a＋b＋c＝0，求證：0　　　　　　　 　B．a－c>0 C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0 解析：0 ?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0. 答案：C 4．命題“函數f(x)＝x－xln x在區(qū)間(0,1)上是增函數”的證明過程“對函數f(x)＝x－ xln x求導得f′(x)＝－ln x，當x∈(0,1)時，f′(x)＝－ln x>0，故函數f(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數”應用了________的證明方法． 解析：由證明過程可知，該證明方法為綜合法． 答案：綜合法 5．將下面用分析法證明≥ab的步驟補充完整：要證≥ab，只需證a2＋b2≥2ab，也就是證______，即證________，由于________顯然成立，因此原不等式成立． 答案：a2＋b2－2ab≥0　(a－b)2≥0　(a－b)2≥0 6．已知x>0，y>0，且x＋y＝1，試分別用綜合法與分析法證明：≥9. 證明：法一：(綜合法) 左邊＝＝ ＝4＋2＋1≥5＋4＝9. 當且僅當x＝y＝時等號成立． 法二：(分析法)要證≥9成立， ∵x，y∈R＋且x＋y＝1，∴y＝1－x. 只需證明≥9成立， 即證(1＋x)(1－x＋1)≥9x(1－x)， 即證2＋x－x2≥9x－9x2， 即證4x2－4x＋1≥0，即證(2x－1)2≥0，此式顯然成立， 所以原不等式成立． 一、選擇題 1．已知a，b，c∈R，那么下列命題中正確的是(　　) A．若a>b，則ac2>bc2 B．若>，則a>b C．若a3>b3且ab<0，則> D．若a2>b2且ab>0，則< 解析：對于A：若c＝0，則A不成立，故A錯； 對于B：若c<0，則B不成立，B錯； 對于C：若a3>b3且ab<0， 則所以>，故C對； 對于D：若則D不成立． 答案：C 2．設a＞0，b＞0，若是3a與3b的等比中項，則＋的最小值為(　　) A．8　　　　　　　　　 　B．4 C．1 D. 解析：是3a與3b的等比中項?3a3b＝3?3a＋b＝3?a＋b＝1， 因為a＞0，b＞0，所以≤＝?ab≤， 所以＋＝＝≥＝4. 答案：B 3．已知△ABC中，cos A＋cos B>0，則必有(　　) A．00，得cos A>－cos B， ∴cos A>cos(π－B)． ∵02)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，則p與q的大小關系是________． 解析：p＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，當且僅當a＝3時等號成立． －a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2，∴q<22＝4≤p. 答案：p>q 8．若對任意x>0，≤a恒成立，則a的取值范圍是________． 解析：∵a≥＝對任意x>0恒成立， 設μ＝x＋＋3(x>0)． ∴只需a≥恒成立即可． 又∵μ＝x＋＋3≥5，當且僅當x＝1時“＝”成立． ∴0<≤.∴a≥. 答案： 三、解答題 9．已知數列{an}的首項a1＝5，Sn＋1＝2Sn＋n＋5，(n∈N*)． (1)證明數列{an＋1}是等比數列． (2)求an. 解：(1)證明：由條件得 Sn＝2Sn－1＋(n－1)＋5(n≥2) ① 又Sn＋1＝2Sn＋n＋5， ② ②－①得an＋1＝2an＋1(n≥2)， 所以＝＝＝2. 又n＝1時，S2＝2S1＋1＋5，且a1＝5， 所以a2＝11， 所以＝＝2， 所以數列{an＋1}是以2為公比的等比數列． (2)因為a1＋1＝6，所以an＋1＝62n－1＝32n， 所以an＝32n－1. 10．已知a，b，m為非零實數，且a2＋b2＋2－m＝0，＋＋1－2m＝0. (1)求證：＋≥； (2)求證：m≥. 證明：(1)(分析法)要證＋≥成立， 只需證(a2＋b2)≥9， 即證1＋4＋＋≥9，即證＋≥4. 根據基本不等式，有＋≥2 ＝4成立， 所以原不等式成立． (2)(綜合法)因為a2＋b2＝m－2，＋＝2m－1， 由(1)，知(m－2)(2m－1)≥9， 即2m2－5m－7≥0，解得m≤－1或m≥. 因為a2＋b2＝m－2>0，＋＝2m－1>0， 所以m≥.