2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第3章 空間向量與立體幾何 3.1 空間向量及其運算 3.1.2 共面向量定理講義（含解析）蘇教版選修2-1.doc

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31.2共面向量定理如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，觀察下列幾組向量，回答問題問題1：、可以移到一個平面內(nèi)嗎？提示：可以，因為，三個向量可移到平面ABCD內(nèi)問題2：，三個向量的位置關(guān)系？提示：三個向量都在平面ACC1A1內(nèi)問題3：、三個向量是什么關(guān)系？提示：相等 1共面向量一般地，能夠平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量2共面向量定理如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)，使得pxayb.1空間中任意兩個向量都是共面的，空間中任意三個向量可能共面，也可能不共面2向量共面不具有傳遞性3共面向量定理給出了平面向量的表示式，說明兩個不共線的向量能確定一個平面，它是判定三個向量是否共面的依據(jù)向量共面的判定例1給出以下命題：用分別在兩條異面直線上的兩條有向線段表示兩個向量，則這兩個向量一定不共面；已知空間四邊形ABCD，則由四條線段AB、BC、CD、DA分別確定的四個向量之和為零向量；若存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)使得xy，則O、P、A、B四點共面；若三個向量共面，則這三個向量的起點和終點一定共面；若a，b，c三向量兩兩共面，則a，b，c三向量共面其中正確命題的序號是_思路點撥先緊扣每個命題的條件，再充分利用相關(guān)概念做出正確的判斷精解詳析錯：空間中任意兩個向量都是共面的；錯：因為四條線段確定的向量沒有強調(diào)方向；正確：因為、共面，O、P、A、B四點共面；錯：沒有強調(diào)零向量；錯：例如三棱柱的三條側(cè)棱表示的向量答案一點通共面向量不一定在同一個平面內(nèi)，但可以平移到同一個平面內(nèi)判定向量共面的主要依據(jù)是共面向量定理1下列說法正確的是_(填序號)以三個向量為三條棱一定可以作成一個平行六面體；設(shè)平行六面體的三條棱是、，則這一平行六面體的對角線所對應(yīng)的向量是；若()成立，則P點一定是線段AB的中點；在空間中，若向量與是共線向量，則A、B、C、D四點共面若a，b，c三向量共面，則由a，b所在直線所確定的平面與由b，c所在直線確定的平面是同一個平面解析：不正確，正確答案：2已知三個向量a，b，c不共面，并且pabc，q2a3b5c，r7a18b22c，試問向量p、q、r是否共面？解：設(shè)rxpyq，則7a18b22cx(abc)y(2a3b5c)(x2y)a(x3y)b(x5y)c，解得r3p5q.p、q、r共面.向量共面的證明例2如圖所示，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.證明：與、共面思路點撥由共面向量定理，只要用、線性表示出即可精解詳析()()，與、共面一點通利用向量法證明向量共面問題，關(guān)鍵是熟練的進行向量的表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件解題過程中注意區(qū)分向量所在的直線的位置關(guān)系與向量的位置關(guān)系，解答本題，實質(zhì)上是證明存在惟一一對實數(shù)x，y使向量xy成立，也就是用空間向量的加、減法則及運算律，結(jié)合圖形，用、表示.3如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1和A1D1的中點證明：向量，是共面向量證明：法一：(.由向量共面的充要條件知，是共面向量法二：連接A1D，BD，取A1D中點G，連結(jié)FG，BG，則有FG綊DD1，BE綊DD1，F(xiàn)G綊BE.四邊形BEFG為平行四邊形EFBG.BG平面A1BD，EF平面A1BDEF平面A1BD.同理，B1CA1D，B1C平面A1BD，都與平面A1BD平行，是共面向量4已知斜三棱柱ABCA1B1C1，點M，N分別在AC1和BC上，且滿足k，k (0k1)求證：與向量，共面證明： 如圖，在封閉四邊形MABN中，.在封閉四邊形MC1CN中， k，k()(1k)k，即(1k)k0，同理(1k)k0.(1k)k得(1k)k，(1k)k，故向量與向量，共面.共面向量定理的應(yīng)用例3如圖所示，已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(1)用向量法證明E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)用向量法證明BD平面EFGH.思路點撥(1)要證E，F(xiàn)，G，H四點共面，根據(jù)共面向量定理的推論，只要能找到實數(shù)x，y，使xy即可(2)要證BD平面EFGH，只需證向量與向量、共面即可精解詳析(1)如圖所示，連接BG，EG，則：().由共面向量定理知E，F(xiàn)，G，H四點共面(2)設(shè)a，b，c，則ca.(cb)abc，c(ab)abc.假設(shè)存在x，y，使xy.即caxyabc.a，b，c不共線解得.、是共面向量，BD不在平面EFGH內(nèi)BD平面EFGH.一點通1空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在實數(shù)對x、y，使xy.滿足這個關(guān)系式的點P都在平面MAB內(nèi)；反之，平面MAB內(nèi)的任一點P都滿足這個關(guān)系式，這個充要條件常用來證明四點共面在許多情況下，可以用“若存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)使得對于空間任意一點O，有xyz，且xyz1成立，則P、A、B、C四點共面”作為判定空間中四個點共面的依據(jù)2用共面向量定理證明線面平行的關(guān)鍵是：(1)在直線上取一向量；(2)在平面內(nèi)找出兩個不共線的向量，并用這兩個不共線的向量表示直線上的向量；(3)說明直線不在面內(nèi)，三個條件缺一不可5如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中點求證：B1C平面ODC1.證明：設(shè)a，b，c，則ca，又O是B1D1的中點，所以(ba)因為D1D綊C1C，所以c，(ba)c.(ab)，假設(shè)存在實數(shù)x，y，使xy，所以caxy(ab)(xy)axcb，且a，b，c不共線，所以x1，(xy)1，且0，即x1，y1.所以，所以，是共面向量，又因為不在，所確定的平面ODC1內(nèi)，所以B1C平面ODC1.6如圖，已知P是平面四邊形ABCD所在平面外一點，連結(jié)PA、PB、PC、PD，點E、F、G、H分別為PAB、PBC、PCD、PDA的重心求證：E、F、G、H四點共面證明：分別延長PE、PF、PG、PH交平面四邊形ABCD各邊于M、N、Q、R.E、F、G、H分別是所在三角形的重心，M、N、Q、R為所在邊的中點，順次連結(jié)M、N、Q、R所得四邊形為平行四邊形，且有，.MNQR為平行四邊形，()()().由共面向量定理得E、F、G、H四點共面向量e1，e2，e3共面存在三個不全為0的實數(shù)，使得e1e2e30.若e1，e2，e3是不共面的三個向量，且e1e2e30(其中，R)，則0.空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對x，y，使xy.對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練(十九) 1下列結(jié)論中，正確的是_(填序號)若a、b、c共面，則存在實數(shù)x，y，使axbyc；若a、b、c不共面，則不存在實數(shù)x，y，使axbyc；若a、b、c共面，b 、c不共線，則存在實數(shù)x、y，使axbyc.解析：要注意共面向量定理給出的是一個充要條件所以第個命題正確但定理的應(yīng)用又有一個前提：b、c是不共線向量，否則即使三個向量a、b、c共面，也不一定具有線性關(guān)系，故不正確，正確答案：2已知A，B，C三點不共線，O為平面ABC外一點，若由向量確定的點P與A，B，C共面，那么_.解析：P與A，B，C共面，()()，即(1)，11.因此1.解得.答案：3如圖，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1，若xyzAA1，則xyz_.解析：()x1，y1，z.xyz.答案：4i，j，k是三個不共面的向量，i2j2k，2ij3k，i3j5k，且A、B、C、D四點共面，則的值為_解析：若A、B、C、D四點共面，則向量、共面，故存在不全為零的實數(shù)a，b，c，使得abc0.即a(i2j2k)b(2ij3k)c(i3j5k)0.(a2bc)i(2ab3c)j(2a3b5c)k0.i，j，k不共面，答案：15命題：若A、B、C三點不共線，O是平面ABC外一點，則點M一定在平面ABC上，且在ABC內(nèi)部是_命題(填“真”或“假”)解析：()()()令BC中點為D，則，點M一定在平面ABC上，且在ABC內(nèi)部，故命題為真命題答案：真6已知A，B，C三點不共線，平面ABC外的一點O滿足.判斷，三個向量是否共面解：(1)由已知得3，()()，即，共面7若e1，e2，e3是三個不共面的向量，試問向量a3e12e2e3，be1e23e3，c2e1e24e3是否共面，并說明理由解：法一：令x(3e12e2e3)y(e1e23e3)z(2e1e24e3)0，亦即(3xy2z)e1(2xyz)e2(x3y4z)e30，因為e1，e2，e3是三個不共面的向量，所以解得從而a7b5c，a，b，c三個向量共面法二：令存在，使ab c成立，即3e12e2e3(e1e23e3)(2e1e24e3)，因為e1，e2，e3是三個不共面向量，所以解這個方程組得7，5，從而a7b5c，即a，b，c三向量共面8如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EFAB，AB2EF，H為BC的中點求證：FH平面EDB.證明：因為H為BC的中點，所以()()(2)因為EFAB，CD綊AB，且AB2EF，所以20，所以().又與不共線，根據(jù)向量共面的充要條件可知，共面由于FH不在平面EDB內(nèi)，所以FH平面EDB