2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第3章 空間向量與立體幾何 3.1 空間向量及其運算 3.1.2 共面向量定理講義（含解析）蘇教版選修2-1.doc

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3．1.2　共面向量定理 如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，觀察下列幾組向量，回答問題． 問題1：、、可以移到一個平面內(nèi)嗎？ 提示：可以，因為＝，三個向量可移到平面ABCD內(nèi)． 問題2：，，三個向量的位置關(guān)系？ 提示：三個向量都在平面ACC1A1內(nèi)． 問題3：、、三個向量是什么關(guān)系？ 提示：相等． 1．共面向量 一般地，能夠平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量． 2．共面向量定理 如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)，使得p＝xa＋yb. 1．空間中任意兩個向量都是共面的，空間中任意三個向量可能共面，也可能不共面． 2．向量共面不具有傳遞性． 3．共面向量定理給出了平面向量的表示式，說明兩個不共線的向量能確定一個平面，它是判定三個向量是否共面的依據(jù)． 向量共面的判定 [例1]　給出以下命題： ①用分別在兩條異面直線上的兩條有向線段表示兩個向量，則這兩個向量一定不共面； ②已知空間四邊形ABCD，則由四條線段AB、BC、CD、DA分別確定的四個向量之和為零向量； ③若存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)使得＝x＋y，則O、P、A、B四點共面； ④若三個向量共面，則這三個向量的起點和終點一定共面； ⑤若a，b，c三向量兩兩共面，則a，b，c三向量共面． 其中正確命題的序號是________． [思路點撥]　先緊扣每個命題的條件，再充分利用相關(guān)概念做出正確的判斷． [精解詳析]　①錯：空間中任意兩個向量都是共面的； ②錯：因為四條線段確定的向量沒有強調(diào)方向； ③正確：因為、、共面， ∴O、P、A、B四點共面； ④錯：沒有強調(diào)零向量； ⑤錯：例如三棱柱的三條側(cè)棱表示的向量． [答案]?、? [一點通]　共面向量不一定在同一個平面內(nèi)，但可以平移到同一個平面內(nèi)．判定向量共面的主要依據(jù)是共面向量定理． 1．下列說法正確的是________(填序號)． ①以三個向量為三條棱一定可以作成一個平行六面體； ②設(shè)平行六面體的三條棱是、、，則這一平行六面體的對角線所對應(yīng)的向量是＋＋； ③若＝(＋)成立，則P點一定是線段AB的中點； ④在空間中，若向量與是共線向量，則A、B、C、D四點共面． ⑤若a，b，c三向量共面，則由a，b所在直線所確定的平面與由b，c所在直線確定的平面是同一個平面． 解析：①②③⑤不正確，④正確． 答案：④ 2．已知三個向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，試問向量p、q、r是否共面？ 解：設(shè)r＝xp＋yq， 則－7a＋18b＋22c＝x(a＋b－c)＋y(2a－3b－5c) ＝(x＋2y)a＋(x－3y)b＋(－x－5y)c， ∴解得 ∴r＝3p－5q. ∴p、q、r共面. 向量共面的證明 [例2]　如圖所示，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.證明：與、共面． [思路點撥]　由共面向量定理，只要用、線性表示出即可． [精解詳析]　∵＝＋＋ ＝＋＋＋ ＝(＋)＋(＋) ＝＋＋＋ ＝＋， ∴與、共面． [一點通]　利用向量法證明向量共面問題，關(guān)鍵是熟練的進(jìn)行向量的表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件．解題過程中注意區(qū)分向量所在的直線的位置關(guān)系與向量的位置關(guān)系，解答本題，實質(zhì)上是證明存在惟一一對實數(shù)x，y使向量＝x＋y成立，也就是用空間向量的加、減法則及運算律，結(jié)合圖形，用、表示. 3．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1和A1D1的中點．證明：向量，，是共面向量． 證明：法一：＝＋＋ ＝－＋ ＝(＋－ ＝－. 由向量共面的充要條件知，，，是共面向量． 法二：連接A1D，BD，取A1D中點G，連結(jié)FG，BG，則有FG綊DD1， BE綊DD1， ∴FG綊BE. ∴四邊形BEFG為平行四邊形． ∴EF∥BG. BG?平面A1BD，EF平面A1BD ∴EF∥平面A1BD. 同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD， ∴，，都與平面A1BD平行． ∴，，是共面向量． 4．已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，點M，N分別在AC1和BC上，且滿足＝k，＝k (0≤k≤1)．求證：與向量，共面． 證明： 如圖，在封閉四邊形MABN中，＝＋＋.① 在封閉四邊形MC1CN中，＝＋＋ ② ∵＝k， ∴＝k(＋) ∴(1－k)＝k，即(1－k)＋k＝0， 同理(1－k)＋k＝0. ①(1－k)＋②k得＝(1－k)＋k， ∵＝－，∴＝(1－k)－k， 故向量與向量，共面. 共面向量定理的應(yīng)用 [例3]　如圖所示，已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點． (1)用向量法證明E，F(xiàn)，G，H四點共面； (2)用向量法證明BD∥平面EFGH. [思路點撥]　(1)要證E，F(xiàn)，G，H四點共面，根據(jù)共面向量定理的推論，只要能找到實數(shù)x，y，使＝x＋y即可． (2)要證BD∥平面EFGH，只需證向量與向量、共面即可． [精解詳析]　(1)如圖所示，連接BG，EG，則： ＝＋＝＋(＋) ＝＋＋＝＋. 由共面向量定理知E，F(xiàn)，G，H四點共面． (2)設(shè)＝a，＝b，＝c， 則＝－＝c－a. ＝＋＝－＋(c＋b)＝－a＋b＋c， ＝＋＝－c＋(a＋b)＝a＋b－c. 假設(shè)存在x，y，使＝x＋y. 即c－a＝x＋y ＝a＋b＋c. ∵a，b，c不共線． ∴　解得 ∴＝－. ∴、、是共面向量， ∵BD不在平面EFGH內(nèi)． ∴BD∥平面EFGH. [一點通]　 1．空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在實數(shù)對x、y，使＝x＋y.滿足這個關(guān)系式的點P都在平面MAB內(nèi)；反之，平面MAB內(nèi)的任一點P都滿足這個關(guān)系式，這個充要條件常用來證明四點共面．在許多情況下，可以用“若存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)使得對于空間任意一點O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，則P、A、B、C四點共面”作為判定空間中四個點共面的依據(jù)． 2．用共面向量定理證明線面平行的關(guān)鍵是： (1)在直線上取一向量； (2)在平面內(nèi)找出兩個不共線的向量，并用這兩個不共線的向量表示直線上的向量； (3)說明直線不在面內(nèi)，三個條件缺一不可． 5．如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中點． 求證：B1C∥平面ODC1. 證明：設(shè)＝a，＝b，＝c，則＝c－a，又O是B1D1的中點，所以＝＝(b－a)． 因為D1D綊C1C， 所以＝c，＝＋＝(b－a)＋c. ＝－(a＋b)，假設(shè)存在實數(shù)x，y， 使＝x＋y， 所以c－a＝x－y(a＋b) ＝－(x＋y)a＋xc＋b，且a，b，c不共線， 所以x＝1，(x＋y)＝1，且＝0，即x＝1，y＝1. 所以＝＋，所以，，是共面向量， 又因為不在，所確定的平面ODC1內(nèi)，所以B1C∥平面ODC1. 6．如圖，已知P是平面四邊形ABCD所在平面外一點，連結(jié)PA、PB、PC、PD，點E、F、G、H分別為△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心．求證：E、F、G、H四點共面． 證明：分別延長PE、PF、PG、PH交平面四邊形ABCD各邊于M、N、Q、R. ∵E、F、G、H分別是所在三角形的重心， ∴M、N、Q、R為所在邊的中點，順次連結(jié)M、N、Q、R所得四邊形為平行四邊形，且有＝，＝， ＝，＝. ∵M(jìn)NQR為平行四邊形， ∴＝－＝－＝ ＝(＋) ＝(－)＋(－) ＝＋ ＝＋. ∴由共面向量定理得E、F、G、H四點共面． 向量e1，e2，e3共面?存在三個不全為0的實數(shù)λ，μ，γ，使得λe1＋μe2＋γe3＝0. 若e1，e2，e3是不共面的三個向量，且λe1＋μe2＋γe3＝0(其中λ，μ，γ∈R)，則λ＝μ＝γ＝0. 空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對x，y，使＝x＋y. [對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練(十九)]　 1．下列結(jié)論中，正確的是________(填序號)． ①若a、b、c共面，則存在實數(shù)x，y，使a＝xb＋yc； ②若a、b、c不共面，則不存在實數(shù)x，y，使a＝xb＋yc； ③若a、b、c共面，b 、c不共線，則存在實數(shù)x、y，使a＝xb＋yc. 解析：要注意共面向量定理給出的是一個充要條件．所以第②個命題正確．但定理的應(yīng)用又有一個前提：b、c是不共線向量，否則即使三個向量a、b、c共面，也不一定具有線性關(guān)系，故①不正確，③正確． 答案：②③ 2．已知A，B，C三點不共線，O為平面ABC外一點，若由向量＝＋＋λ確定的點P與A，B，C共面，那么λ＝________. 解析：∵P與A，B，C共面， ∴＝α＋β， ∴＝α(－)＋β(－)， 即＝＋α－α＋β－β ＝(1－α－β)＋α＋β， ∴1－α－β＋α＋β＝1. 因此＋＋λ＝1. 解得λ＝. 答案： 3．如圖，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1，若＝x＋y＋zAA1，則x＋y＋z＝________. 解析：＝－ ＝＋－(＋)＝＋－－ ＝－＋ ∴x＝－1，y＝1，z＝. ∴x＋y＋z＝. 答案： 4．i，j，k是三個不共面的向量，＝i－2j＋2k，＝2i＋j－3k，＝λi＋3j－5k，且A、B、C、D四點共面，則λ的值為________． 解析：若A、B、C、D四點共面，則向量、、共面，故存在不全為零的實數(shù)a，b，c， 使得a＋b＋c＝0. 即a(i－2j＋2k)＋b(2i＋j－3k)＋c(λi＋3j－5k)＝0. ∴(a＋2b＋λc)i＋(－2a＋b＋3c)j＋(2a－3b－5c)k＝0. ∵i，j，k不共面， ∴∴ 答案：1 5．命題：若A、B、C三點不共線，O是平面ABC外一點，＝＋＋，則點M一定在平面ABC上，且在△ABC內(nèi)部是________命題(填“真”或“假”)． 解析：＝－＝－＋＋ ＝(－)＋(－)＝(＋)． 令BC中點為D，則＝，∴點M一定在平面ABC上，且在△ABC內(nèi)部，故命題為真命題． 答案：真 6．已知A，B，C三點不共線，平面ABC外的一點O滿足＝＋＋.判斷，，三個向量是否共面． 解：(1)由已知得＋＋＝3， ∴－＝(－)＋(－)， 即＝＋＝－－， ∴，，共面． 7．若e1，e2，e3是三個不共面的向量，試問向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面，并說明理由． 解：法一：令x(3e1＋2e2＋e3)＋y(－e1＋e2＋3e3)＋z(2e1－e2－4e3)＝0， 亦即(3x－y＋2z)e1＋(2x＋y－z)e2＋(x＋3y－4z)e3＝0， 因為e1，e2，e3是三個不共面的向量， 所以解得 從而a＝7b＋5c，a，b，c三個向量共面． 法二：令存在λ，μ，使a＝λb＋μ c成立， 即3e1＋2e2＋e3＝λ(－e1＋e2＋3e3)＋μ(2e1－e2－4e3)， 因為e1，e2，e3是三個不共面向量， 所以 解這個方程組得λ＝7，μ＝5， 從而a＝7b＋5c，即a，b，c三向量共面． 8．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF∥AB，AB＝2EF，H為BC的中點． 求證：FH∥平面EDB. 證明：因為H為BC的中點，所以＝(＋)＝(＋＋＋＋)＝(2＋＋＋)． 因為EF∥AB，CD綊AB，且AB＝2EF， 所以2＋＝0， 所以＝(＋)＝＋. 又與不共線，根據(jù)向量共面的充要條件可知，，共面．由于FH不在平面EDB內(nèi)， 所以FH∥平面EDB