2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點聚焦與擴展 專題48 圓錐曲線的幾何性質(zhì).doc

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專題48 圓錐曲線的幾何性質(zhì)【熱點聚焦與擴展】縱觀近幾年的高考試題，高考對橢圓的考查，主要考查以下幾個方面：一是考查橢圓的定義，與橢圓的焦點三角形結(jié)合，解決橢圓、三角形等相關(guān)問題；二是考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合橢圓的基本量之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法求解；三是考查橢圓的幾何性質(zhì)，較多地考查離心率問題；四是考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題，綜合性較強，往往與向量結(jié)合，涉及方程組聯(lián)立，根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長問題、不等式等. 高考對雙曲線的考查，主要考查以下幾個方面：一是考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合雙曲線的定義及雙曲線基本量之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法求解；二是考查雙曲線的幾何性質(zhì)，較多地考查離心率、漸近線問題；三是考查雙曲線與圓、橢圓或拋物線相結(jié)合的問題，綜合性較強.命題以小題為主，多為選擇題或填空題. 高考對拋物線的考查，主要考查以下幾個方面：一是考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合拋物線的定義及拋物線的焦點，利用待定系數(shù)法求解；二是考查拋物線的幾何性質(zhì)，較多地涉及準(zhǔn)線、焦點、焦準(zhǔn)距等；三是考查直線與拋物線的位置關(guān)系問題，綜合性較強，往往與向量結(jié)合，涉及方程組聯(lián)立，根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長問題等，其中，過焦點的直線較多.本文在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上，重點說明圓錐曲線的幾何性質(zhì)有關(guān)問題的解法與技巧，離心率問題在下一專題講述.（一）橢圓：1、定義和標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）平面上到兩個定點的距離和為定值（定值大于）的點的軌跡稱為橢圓，其中稱為橢圓的焦點，稱為橢圓的焦距（2）標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點在軸上的橢圓：設(shè)橢圓上一點，設(shè)距離和，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其中焦點在軸上的橢圓：設(shè)橢圓上一點，設(shè)距離和，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其中焦點在哪個軸上，則標(biāo)準(zhǔn)方程中哪個字母的分母更大2、橢圓的性質(zhì)：以焦點在軸的橢圓為例：（1）：與長軸的頂點有關(guān)：，稱為長軸長 ：與短軸的頂點有關(guān)：，稱為短軸長 ：與焦點有關(guān)：，稱為焦距（2）對稱性：橢圓關(guān)于軸，軸對稱，且關(guān)于原點中心對稱（3）橢圓上點的坐標(biāo)范圍：設(shè)，則（4）通徑：焦點弦長的最小值 焦點弦：橢圓中過焦點的弦 過焦點且與長軸垂直的弦說明：假設(shè)過，且與長軸垂直，則，所以，可得.則（5）離心率：，因為，所以 （6）焦半徑公式：稱到焦點的距離為橢圓的焦半徑 設(shè)橢圓上一點，則（可記為“左加右減”） 焦半徑的最值：由焦半徑公式可得：焦半徑的最大值為，最小值為（7）焦點三角形面積：（其中）證明：且 因為，所以，由此得到的推論： 的大小與之間可相互求出 的最大值：最大最大最大為短軸頂點（二）雙曲線：1、定義：平面上到兩個定點距離差的絕對值為一個常數(shù)（小于）的點的軌跡稱為雙曲線，其中稱為橢圓的焦點，稱為橢圓的焦距；如果只是到兩個定點距離差為一個常數(shù)，則軌跡為雙曲線的一支2、標(biāo)準(zhǔn)方程： 焦點在軸：設(shè)雙曲線上一點，設(shè)距離差的絕對值，則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其中 焦點在軸：設(shè)雙曲線上一點，設(shè)距離差的絕對值，則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其中焦點在哪個軸上，則對應(yīng)字母作為被減數(shù) 2、雙曲線的性質(zhì)：以焦點在軸的雙曲線為例：（1）：與實軸的頂點有關(guān)：，稱為實軸長 ：與虛軸的頂點有關(guān)：，稱為虛軸長 ：與焦點有關(guān)：，稱為焦距（2）對稱性：雙曲線關(guān)于軸，軸對稱，且關(guān)于原點中心對稱（3）雙曲線上點坐標(biāo)的范圍：設(shè)，則有或， （4）離心率：，因為 ，所以 （5）漸近線：當(dāng)或時，雙曲線在向兩方無限延伸時，會向某條直線無限靠近，但不相交，則稱這條直線為曲線的漸近線. 雙曲線漸近線的求法：無論雙曲線的焦點位于哪條軸上，只需讓右側(cè)的1變?yōu)?，再解出關(guān)于的直線即可.例如在中，求漸近線即解：，變形為，所以即為雙曲線的漸近線 漸近線的幾何特點：直線所圍成的矩形，其對角線即為雙曲線的漸近線 漸近線的作用：一是可以輔助作出雙曲線的圖像；二是漸近線的斜率也能體現(xiàn)的關(guān)系.（6）通徑： 內(nèi)弦：雙曲線同一支上的兩點連成的線段 外弦：雙曲線兩支上各取一點連成的線段通徑：過雙曲線焦點的內(nèi)弦中長度的最小值，此時弦軸， （7）焦半徑公式：設(shè)雙曲線上一點，左右焦點分別為，則 （可記為“左加右減”） 由焦半徑公式可得：雙曲線上距離焦點最近的點為雙曲線的頂點，距離為 （8）焦點三角形面積：設(shè)雙曲線上一點，則（其中）（三）拋物線：1、定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于到一條定直線（定點不在定直線上）的距離的點的軌跡為拋物線2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點位置：（1）焦點在軸正半軸：，焦點坐標(biāo)（2）焦點在軸負(fù)半軸：，焦點坐標(biāo)（3）焦點在軸正半軸：，焦點坐標(biāo)（4）焦點在軸負(fù)半軸：，焦點坐標(biāo)小結(jié)：通過方程即可判斷出焦點的位置與坐標(biāo)：那個字母是一次項，則焦點在哪條軸上；其坐標(biāo)為一次項系數(shù)除以4，例如：，則焦點在軸上，且坐標(biāo)為3、焦半徑公式：設(shè)拋物線的焦點為，則4、焦點弦長：設(shè)過拋物線焦點的直線與拋物線交于，則（，再由焦半徑公式即可得到）【經(jīng)典例題】例1.【2017課標(biāo)3，理5】已知雙曲線C： (a0,b0)的一條漸近線方程為,且與橢圓有公共焦點，則C的方程為（ ）ABCD【答案】B【解析】則雙曲線 的方程為 .故選B.點睛：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法.具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值.如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出的值即可.例2.【2017山東，理14】在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點為的拋物線交于兩點，若，則該雙曲線的漸近線方程為 .【答案】點睛：1.在雙曲線的幾何性質(zhì)中，漸近線是其獨特的一種性質(zhì)，也是考查的重點內(nèi)容.對漸近線：(1)掌握方程；(2)掌握其傾斜角、斜率的求法；(3)會利用漸近線方程求雙曲線方程的待定系數(shù).求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用都和與橢圓有關(guān)的問題相類似.因此，雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一為的形式，當(dāng)，時為橢圓，當(dāng)時為雙曲線.2.凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理例3.已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】先從常系數(shù)方程入手，拋物線的焦點為，即雙曲線中的，所以，從而雙曲線方程為：，其漸近線方程：，由對稱性可得焦點到兩漸近線的距離相等，不妨選擇，右焦點，所以 答案：A點睛：（1）一道題含多個圓錐曲線方程，往往以某些特殊點（焦點，頂點）為橋梁聯(lián)接這些方程，在處理時通常以其中一個曲線方程（不含參）為入手點，確定特殊點的坐標(biāo)，進而解出其他圓錐曲線的要素.例4.【2018屆湖南省湘潭市四?！恳阎菣E圓：的左焦點，為上一點，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D所以 例5.【2018屆重慶市第三次抽測】直線過拋物線的焦點F且與拋物線交于A,B兩點，則A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：是焦半徑，故可用焦半徑公式把轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立直線方程和拋物線方程后再利用韋達定理可求此值.點睛：圓錐曲線中的定值問題，需要把目標(biāo)代數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于（或）的代數(shù)式（為直線與圓錐曲線的兩個交點），通過聯(lián)立方程組消元后利用韋達定理求定值.例6.【2018屆天津市部分區(qū)質(zhì)量調(diào)查（二）】設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點，為坐標(biāo)原點，過左焦點作直線與圓切于點，與雙曲線右支交于點，且滿足， ，則雙曲線的方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根據(jù)圓的半徑得出，根據(jù)中位線定理和勾股定理計算，從而得出，即可得出雙曲線的方程詳解：為圓上的點， 例7.【2018屆河南省鄭州市第三次預(yù)測】已知為橢圓上一個動點，過點作圓的兩條切線，切點分別是，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由題意設(shè)PA與PB的夾角為，通過解直角三角形求出PA，PB的長，由向量的數(shù)量積公式表示出，利用三角函數(shù)的二倍角公式化簡，然后換元后利用基本不等式求出最值詳解：如圖，由題意設(shè)，則，故選C例8.【2018屆河北省唐山市三?！恳阎菕佄锞€上任意一點，是圓上任意一點，則的最小值為（ ）A. B. 3 C. D. 【答案】D【解析】分析：可設(shè)點的坐標(biāo)為，由圓方程得圓心坐標(biāo)，求出的最小值，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)即可得到的最小值.詳解：設(shè)點的坐標(biāo)為，由圓的方程可得圓心坐標(biāo)， ，是圓上任意一點，的最小值為，故選D.例9.已知拋物線的焦點為，點為拋物線上任意一點，若點，則的最小值為_【答案】5點睛：該題考查的是拋物線上的動點到拋物線內(nèi)一個定點到焦點的距離和的最小值問題，在解題的過程中，利用拋物線的定義，將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到其準(zhǔn)線的距離，結(jié)合圖形，可以斷定當(dāng)三點共線時滿足條件，最小值為定點到準(zhǔn)線的距離，利用公式求得結(jié)果.例10.【2018屆山東省威海市二?！繏佄锞€的焦點為，是拋物線上的兩個動點，線段的中點為，過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，則的最大值為_.【答案】【解析】分析：設(shè)|PF|=2a，|QF|=2b，由拋物線定義得|PQ|=a+b，由余弦定理可得（a+b）2=4a2+4b28abcos，進而根據(jù)基本不等式，求得的取值范圍，從而得到本題答案.cos=，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，故答案為：點睛：（1）本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系和基本不等式等，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本題的關(guān)鍵有二，其一是要聯(lián)想到拋物線的定義解題，從而比較簡潔地求出MN和PQ,其二是得到后要會利用基本不等式求最值.【精選精練】1【2018屆山西省大同市與陽泉市第二次監(jiān)測】已知橢圓的左焦點為，過點作傾斜角為的直線與圓相交的弦長為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】B由直線與圓相交的弦長為，可得，解得，則橢圓方程為，故選B.點睛：本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和數(shù)量積公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標(biāo)軸都有可能；設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、的方程組；得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.2【2018屆江西省南昌市二?！恳阎p曲線的兩焦點分別是，雙曲線在第一象限部分有一點，滿足，若圓與三邊都相切，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】A3【2018屆河南省洛陽市三統(tǒng)】已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于（ ）A. B. 3 C. 5 D. 【答案】A【解析】分析：首先求出拋物線的焦點坐標(biāo)，之后利用雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，先求出，再求出雙曲線的焦點坐標(biāo)和漸近線方程，之后應(yīng)用點到直線的距離公式求得結(jié)果.詳解：因為拋物線的焦點坐標(biāo)為，依題意，所以，所以雙曲線的方程為，所以其漸近線方程為，所以雙曲線的一個焦點到漸近線的距離為，故選A.4【2018屆山西省大同市與陽泉市第二次監(jiān)測】已知雙曲線 的離心率為，其一條漸近線被圓截得的弦長為，則實數(shù)的值為（ ）A. 3 B. 1 C. D. 2【答案】D【解析】分析：由離心率公式，可得a=b，求得漸近線方程，以及圓的圓心和半徑，求得圓心到直線的距離，由弦長公式，解方程可得所求值詳解：由題可得：c=，即有a=b，漸近線方程為y=x，圓（x-m）2+y2=4（m0）的圓心為（m，0），半徑為2，可得圓心到直線的距離為d=，則直線被圓截得的弦長為，解得m=2（-2舍去），故選：D5【2018屆重慶市三診】已知拋物線的焦點為，以為圓心的圓與拋物線交于兩點，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點，若四邊形為矩形，則矩形的面積是（ ）A. B. C. D. 3【答案】A所以，從而求得四邊形的面積為.點睛：該題考查的是有關(guān)拋物線及圓的有關(guān)性質(zhì)以及矩形的面積公式，在解題的過程中，MN和PQ關(guān)于圓心對稱是最關(guān)鍵的一步，此時可以求得點M的橫坐標(biāo)，借助于拋物線的方程，求得其縱坐標(biāo)，從而求得對應(yīng)的邊長，利用面積公式，求得結(jié)果.6【2018屆重慶市巴蜀中學(xué)月考九】已知拋物線，直線與拋物線交于兩點，若中點的坐標(biāo)為，則原點到直線的距離為（ ）A. B. C. D. 【答案】D，故選D.7【2018屆四川省沖刺演練（一）】為橢圓：上一動點，分別為左、右焦點，延長至點，使得，記動點的軌跡為，設(shè)點為橢圓短軸上一頂點，直線與交于，兩點，則_【答案】【解析】分析：利用橢圓的定義以及已知條件轉(zhuǎn)化求解即可詳解：|PF1|+|PF2|=2a=2，|PQ|=|PF2|，所以|PF1|+|PQ|=|QF1|=2動點Q的軌跡為，為以F1為圓心半徑為的圓，|BF1|=|BF2|=|F1F2|=2，BF1BF2，則|MN|=2=2故答案為：28.如圖，拋物線和圓，其中，直線經(jīng)過的焦點，依次交于四點，則的值為_【答案】【解析】分析：設(shè)拋物線的焦點為F，易得：|AB|=|AF|BF=x1+=x1，同理可知|CD|=x2，從而求出同理|CD|=x2，=|cos=x1x2=故答案為：點睛：1.凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理本題中充分運用拋物線定義實施轉(zhuǎn)化，其關(guān)鍵在于求點的坐標(biāo)2若為拋物線上一點，由定義易得；若過焦點的弦的端點坐標(biāo)為，則弦長為可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出；若遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦半徑或焦點弦長公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到9設(shè)拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，為拋物線上一點，過作，為垂足，如果直線的斜率為，那么_【答案】.由可得A點坐標(biāo)為PAl，A為垂足，P點縱坐標(biāo)為,代入拋物線方程,得P點坐標(biāo)為(6,)，.故答案為8.10【2018屆山東省煙臺市高三高考適應(yīng)性練習(xí)（一）】已知拋物線的焦點為是拋物線上一點，若的延長線交軸的正半軸于點，交拋物線的準(zhǔn)線于點，且，則=_【答案】3【解析】分析：畫出圖形后結(jié)合拋物線的定義和三角形的相似求解即可詳解：畫出圖形如下圖所示由題意得拋物線的焦點，準(zhǔn)線為設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點為，過M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，交x軸于點即，解得11【2018屆湖南省長郡中學(xué)一模】已知直線過拋物線的焦點，且與的對稱軸垂直，與交于、兩點，為的準(zhǔn)線上一點，則的面積為_【答案】36【解析】分析：可由得出，從而可得拋物線方程，拋物線的準(zhǔn)線方程，因此的邊上的高易得.詳解：不妨設(shè)拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為，到直線的距離為6，.故答案為36.點睛：過拋物線的焦點與對稱軸垂直的弦是拋物線的通徑，通徑長為.12.【2018屆廣東省湛江市二?！科矫嬷苯亲鴺?biāo)系 中，橢圓（ ）的離心率，分別是橢圓的左、右兩個頂點，圓的半徑為，過點作圓的切線，切點為，在軸的上方交橢圓于點.則_【答案】【解析】分析：由題意首先設(shè)出橢圓方程，結(jié)合幾何關(guān)系確定直線的斜率，然后由弦長公式求得弦長，最后求解的值即可.詳解：如圖所示，設(shè)，即，由弦長公式可得：，在中，故.