2019年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題48 圓錐曲線的幾何性質(zhì).doc

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專題48 圓錐曲線的幾何性質(zhì) 【熱點聚焦與擴展】 縱觀近幾年的高考試題，高考對橢圓的考查，主要考查以下幾個方面：一是考查橢圓的定義，與橢圓的焦點三角形結(jié)合，解決橢圓、三角形等相關(guān)問題；二是考查橢圓的標準方程，結(jié)合橢圓的基本量之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法求解；三是考查橢圓的幾何性質(zhì)，較多地考查離心率問題；四是考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題，綜合性較強，往往與向量結(jié)合，涉及方程組聯(lián)立，根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長問題、不等式等. 高考對雙曲線的考查，主要考查以下幾個方面：一是考查雙曲線的標準方程，結(jié)合雙曲線的定義及雙曲線基本量之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法求解；二是考查雙曲線的幾何性質(zhì)，較多地考查離心率、漸近線問題；三是考查雙曲線與圓、橢圓或拋物線相結(jié)合的問題，綜合性較強.命題以小題為主，多為選擇題或填空題. 高考對拋物線的考查，主要考查以下幾個方面：一是考查拋物線的標準方程，結(jié)合拋物線的定義及拋物線的焦點，利用待定系數(shù)法求解；二是考查拋物線的幾何性質(zhì)，較多地涉及準線、焦點、焦準距等；三是考查直線與拋物線的位置關(guān)系問題，綜合性較強，往往與向量結(jié)合，涉及方程組聯(lián)立，根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長問題等，其中，過焦點的直線較多.本文在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上，重點說明圓錐曲線的幾何性質(zhì)有關(guān)問題的解法與技巧，離心率問題在下一專題講述. （一）橢圓： 1、定義和標準方程： （1）平面上到兩個定點的距離和為定值（定值大于）的點的軌跡稱為橢圓，其中稱為橢圓的焦點，稱為橢圓的焦距 （2）標準方程： ①焦點在軸上的橢圓：設(shè)橢圓上一點，，設(shè)距離和，則橢圓的標準方程為：，其中 ②焦點在軸上的橢圓：設(shè)橢圓上一點，，設(shè)距離和，則橢圓的標準方程為：，其中 焦點在哪個軸上，則標準方程中哪個字母的分母更大 2、橢圓的性質(zhì)：以焦點在軸的橢圓為例： （1）：與長軸的頂點有關(guān)：，稱為長軸長 ：與短軸的頂點有關(guān)：，稱為短軸長 ：與焦點有關(guān)：，稱為焦距 （2）對稱性：橢圓關(guān)于軸，軸對稱，且關(guān)于原點中心對稱 （3）橢圓上點的坐標范圍：設(shè)，則 （4）通徑：焦點弦長的最小值 ① 焦點弦：橢圓中過焦點的弦 ② 過焦點且與長軸垂直的弦 說明：假設(shè)過，且與長軸垂直，則，所以，可得.則 （5）離心率：，因為，所以 （6）焦半徑公式：稱到焦點的距離為橢圓的焦半徑 ① 設(shè)橢圓上一點，則（可記為“左加右減”） ② 焦半徑的最值：由焦半徑公式可得：焦半徑的最大值為，最小值為 （7）焦點三角形面積：（其中） 證明： 且 因為，所以，由此得到的推論： ① 的大小與之間可相互求出 ② 的最大值：最大最大最大為短軸頂點 （二）雙曲線： 1、定義：平面上到兩個定點距離差的絕對值為一個常數(shù)（小于）的點的軌跡稱為雙曲線，其中稱為橢圓的焦點，稱為橢圓的焦距；如果只是到兩個定點距離差為一個常數(shù)，則軌跡為雙曲線的一支 2、標準方程： ① 焦點在軸：設(shè)雙曲線上一點，，設(shè)距離差的絕對值，則雙曲線標準方程為：，其中 ② 焦點在軸：設(shè)雙曲線上一點，，設(shè)距離差的絕對值，則雙曲線標準方程為：，其中 焦點在哪個軸上，則對應字母作為被減數(shù) 2、雙曲線的性質(zhì)：以焦點在軸的雙曲線為例： （1）：與實軸的頂點有關(guān)：，稱為實軸長 ：與虛軸的頂點有關(guān)：，稱為虛軸長 ：與焦點有關(guān)：，稱為焦距 （2）對稱性：雙曲線關(guān)于軸，軸對稱，且關(guān)于原點中心對稱 （3）雙曲線上點坐標的范圍：設(shè)，則有或， （4）離心率：，因為 ，所以 （5）漸近線：當或時，雙曲線在向兩方無限延伸時，會向某條直線無限靠近，但不相交，則稱這條直線為曲線的漸近線. ① 雙曲線漸近線的求法：無論雙曲線的焦點位于哪條軸上，只需讓右側(cè)的1變?yōu)?，再解出關(guān)于的直線即可.例如在中，求漸近線即解：，變形為，所以即為雙曲線的漸近線 ② 漸近線的幾何特點：直線所圍成的矩形，其對角線即為雙曲線的漸近線 ③ 漸近線的作用：一是可以輔助作出雙曲線的圖像；二是漸近線的斜率也能體現(xiàn)的關(guān)系. （6）通徑： ① 內(nèi)弦：雙曲線同一支上的兩點連成的線段 外弦：雙曲線兩支上各取一點連成的線段 ②通徑：過雙曲線焦點的內(nèi)弦中長度的最小值，此時弦軸， （7）焦半徑公式：設(shè)雙曲線上一點，左右焦點分別為，則 ① （可記為“左加右減”） ② 由焦半徑公式可得：雙曲線上距離焦點最近的點為雙曲線的頂點，距離為 （8）焦點三角形面積：設(shè)雙曲線上一點，則（其中） （三）拋物線： 1、定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于到一條定直線（定點不在定直線上）的距離的點的軌跡為拋物線 2、拋物線的標準方程及焦點位置： （1）焦點在軸正半軸：，焦點坐標 （2）焦點在軸負半軸：，焦點坐標 （3）焦點在軸正半軸：，焦點坐標 （4）焦點在軸負半軸：，焦點坐標 小結(jié)：通過方程即可判斷出焦點的位置與坐標：那個字母是一次項，則焦點在哪條軸上；其坐標為一次項系數(shù)除以4，例如：，則焦點在軸上，且坐標為 3、焦半徑公式：設(shè)拋物線的焦點為，，則 4、焦點弦長：設(shè)過拋物線焦點的直線與拋物線交于，則（，再由焦半徑公式即可得到） 【經(jīng)典例題】 例1.【2017課標3，理5】已知雙曲線C： (a＞0,b＞0)的一條漸近線方程為,且與橢圓有公共焦點，則C的方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 則雙曲線 的方程為 . 故選B. 點睛：求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數(shù)法.具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值.如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標準方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出λ的值即可. 例2.【2017山東，理14】在平面直角坐標系中，雙曲線的右支與焦點為的拋物線交于兩點，若，則該雙曲線的漸近線方程為 . 【答案】 點睛：1.在雙曲線的幾何性質(zhì)中，漸近線是其獨特的一種性質(zhì)，也是考查的重點內(nèi)容.對漸近線：(1)掌握方程；(2)掌握其傾斜角、斜率的求法；(3)會利用漸近線方程求雙曲線方程的待定系數(shù). 求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標準方程的應用都和與橢圓有關(guān)的問題相類似.因此，雙曲線與橢圓的標準方程可統(tǒng)一為的形式，當，，時為橢圓，當時為雙曲線. 2.凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉(zhuǎn)化為到準線距離處理． 例3.已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】先從常系數(shù)方程入手，拋物線的焦點為，即雙曲線中的，所以，從而雙曲線方程為：，其漸近線方程：，由對稱性可得焦點到兩漸近線的距離相等，不妨選擇，右焦點，所以 答案：A 點睛：（1）一道題含多個圓錐曲線方程，往往以某些特殊點（焦點，頂點）為橋梁聯(lián)接這些方程，在處理時通常以其中一個曲線方程（不含參）為入手點，確定特殊點的坐標，進而解出其他圓錐曲線的要素. 例4.【2018屆湖南省湘潭市四模】已知是橢圓：的左焦點，為上一點，，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 所以 例5.【2018屆重慶市第三次抽測】直線過拋物線的焦點F且與拋物線交于A,B兩點，則 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：是焦半徑，故可用焦半徑公式把轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立直線方程和拋物線方程后再利用韋達定理可求此值. 點睛：圓錐曲線中的定值問題，需要把目標代數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于（或）的代數(shù)式（為直線與圓錐曲線的兩個交點），通過聯(lián)立方程組消元后利用韋達定理求定值. 例6.【2018屆天津市部分區(qū)質(zhì)量調(diào)查（二）】設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點，為坐標原點，過左焦點作直線與圓切于點，與雙曲線右支交于點，且滿足， ，則雙曲線的方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根據(jù)圓的半徑得出，根據(jù)中位線定理和勾股定理計算，從而得出，即可得出雙曲線的方程． 詳解：∵為圓上的點， 例7.【2018屆河南省鄭州市第三次預測】已知為橢圓上一個動點，過點作圓的兩條切線，切點分別是，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由題意設(shè)PA與PB的夾角為，通過解直角三角形求出PA，PB的長，由向量的數(shù)量積公式表示出，利用三角函數(shù)的二倍角公式化簡，然后換元后利用基本不等式求出最值． 詳解：如圖，由題意設(shè)，則， ∴， 故選C． 例8.【2018屆河北省唐山市三?！恳阎菕佄锞€上任意一點，是圓上任意一點，則的最小值為（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】分析：可設(shè)點的坐標為，由圓方程得圓心坐標，求出的最小值，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)即可得到的最小值. 詳解：設(shè)點的坐標為，由圓的方程可得圓心坐標， ， ， 是圓上任意一點， 的最小值為，故選D. 例9.已知拋物線的焦點為，點為拋物線上任意一點，若點，則的最小值為___________． 【答案】5 點睛：該題考查的是拋物線上的動點到拋物線內(nèi)一個定點到焦點的距離和的最小值問題，在解題的過程中，利用拋物線的定義，將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到其準線的距離，結(jié)合圖形，可以斷定當三點共線時滿足條件，最小值為定點到準線的距離，利用公式求得結(jié)果. 例10.【2018屆山東省威海市二模】拋物線的焦點為，是拋物線上的兩個動點，線段的中點為，過作拋物線準線的垂線，垂足為，若，則的最大值為______. 【答案】 【解析】分析：設(shè)|PF|=2a，|QF|=2b，．由拋物線定義得|PQ|=a+b，由余弦定理可得（a+b）2=4a2+4b2﹣8abcosθ，進而根據(jù)基本不等式，求得的θ取值范圍，從而得到本題答案. ∴cosθ=，當且僅當a=b時取等號， ∴θ≤， 故答案為： 點睛：（1）本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系和基本不等式等，意在考查學生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本題的關(guān)鍵有二，其一是要聯(lián)想到拋物線的定義解題，從而比較簡潔地求出MN和PQ,其二是得到后要會利用基本不等式求最值. 【精選精練】 1．【2018屆山西省大同市與陽泉市第二次監(jiān)測】已知橢圓的左焦點為，過點作傾斜角為的直線與圓相交的弦長為，則橢圓的標準方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 由直線與圓相交的弦長為， 可得，解得， 則橢圓方程為，故選B. 點睛：本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和數(shù)量積公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求. 2．【2018屆江西省南昌市二模】已知雙曲線的兩焦點分別是，雙曲線在第一象限部分有一點，滿足，若圓與三邊都相切，則圓的標準方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 3．【2018屆河南省洛陽市三統(tǒng)】已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于（ ） A. B. 3 C. 5 D. 【答案】A 【解析】分析：首先求出拋物線的焦點坐標，之后利用雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，，先求出，再求出雙曲線的焦點坐標和漸近線方程，之后應用點到直線的距離公式求得結(jié)果. 詳解：因為拋物線的焦點坐標為， 依題意，，所以， 所以雙曲線的方程為， 所以其漸近線方程為， 所以雙曲線的一個焦點到漸近線的距離為，故選A. 4．【2018屆山西省大同市與陽泉市第二次監(jiān)測】已知雙曲線 的離心率為，其一條漸近線被圓截得的弦長為，則實數(shù)的值為（ ） A. 3 B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】分析：由離心率公式，可得a=b，求得漸近線方程，以及圓的圓心和半徑，求得圓心到直線的距離，由弦長公式，解方程可得所求值． 詳解：由題可得：c=，即有a=b，漸近線方程為y=x，圓（x-m）2+y2=4（m＞0）的圓心為（m，0），半徑為2，可得圓心到直線的距離為d=，則直線被圓截得的弦長為，解得m=2（-2舍去），故選：D． 5．【2018屆重慶市三診】已知拋物線的焦點為，以為圓心的圓與拋物線交于兩點，與拋物線的準線交于兩點，若四邊形為矩形，則矩形的面積是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 所以， 從而求得四邊形的面積為. 點睛：該題考查的是有關(guān)拋物線及圓的有關(guān)性質(zhì)以及矩形的面積公式，在解題的過程中，MN和PQ關(guān)于圓心對稱是最關(guān)鍵的一步，此時可以求得點M的橫坐標，借助于拋物線的方程，求得其縱坐標，從而求得對應的邊長，利用面積公式，求得結(jié)果. 6．【2018屆重慶市巴蜀中學月考九】已知拋物線，直線與拋物線交于兩點，若中點的坐標為，則原點到直線的距離為（ ） A. B. C. D. 【答案】D ，故選D. 7．【2018屆四川省沖刺演練（一）】為橢圓：上一動點，，分別為左、右焦點，延長至點，使得，記動點的軌跡為，設(shè)點為橢圓短軸上一頂點，直線與交于，兩點，則_______． 【答案】 【解析】分析：利用橢圓的定義以及已知條件轉(zhuǎn)化求解即可 詳解：∵|PF1|+|PF2|=2a=2，|PQ|=|PF2|，所以|PF1|+|PQ|=|QF1|=2． 動點Q的軌跡為Ω，為以F1為圓心半徑為的圓， ∵|BF1|=|BF2|=．|F1F2|=2，∴BF1⊥BF2， 則|MN|=2=2． 故答案為：2． 8.如圖，拋物線和圓，其中，直線經(jīng)過的焦點，依次交于四點，則的值為______． 【答案】 【解析】分析：設(shè)拋物線的焦點為F，易得：|AB|=|AF|﹣|BF=x1+﹣=x1，同理可知|CD|=x2，從而求出?． 同理|CD|=x2， ∴?=||?||?cos＜＞=x1x2=． 故答案為：． 點睛：1.凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉(zhuǎn)化為到準線距離處理．本題中充分運用拋物線定義實施轉(zhuǎn)化，其關(guān)鍵在于求點的坐標． 2．若為拋物線上一點，由定義易得；若過焦點的弦的端點坐標為，則弦長為可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出；若遇到其他標準方程，則焦半徑或焦點弦長公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到． 9．設(shè)拋物線的焦點為，準線為，為拋物線上一點，過作，為垂足，如果直線的斜率為，那么________________ 【答案】. 由可得A點坐標為 ∵PA⊥l，A為垂足， ∴P點縱坐標為,代入拋物線方程,得P點坐標為(6,)， ∴. 故答案為8. 10．【2018屆山東省煙臺市高三高考適應性練習（一）】已知拋物線的焦點為是拋物線上一點，若的延長線交軸的正半軸于點，交拋物線的準線于點，且，則=__________． 【答案】3 【解析】分析：畫出圖形后結(jié)合拋物線的定義和三角形的相似求解即可． 詳解：畫出圖形如下圖所示．由題意得拋物線的焦點，準線為． 設(shè)拋物線的準線與y軸的交點為，過M作準線的垂線，垂足為，交x軸于點． 即，解得． 11．【2018屆湖南省長郡中學一模】已知直線過拋物線的焦點，且與的對稱軸垂直，與交于、兩點，，為的準線上一點，則的面積為__________． 【答案】36 【解析】分析：可由得出，從而可得拋物線方程，拋物線的準線方程，因此的邊上的高易得. 詳解：不妨設(shè)拋物線方程為，，，∴準線方程為，到直線的距離為6，∴. 故答案為36. 點睛：過拋物線的焦點與對稱軸垂直的弦是拋物線的通徑，通徑長為. 12.【2018屆廣東省湛江市二?！科矫嬷苯亲鴺讼?中，橢圓（ ）的離心率，，分別是橢圓的左、右兩個頂點，圓的半徑為，過點作圓的切線，切點為，在軸的上方交橢圓于點.則__________． 【答案】 【解析】分析：由題意首先設(shè)出橢圓方程，結(jié)合幾何關(guān)系確定直線的斜率，然后由弦長公式求得弦長，最后求解的值即可. 詳解：如圖所示，設(shè)， 即， 由弦長公式可得：， 在中，， 故.