2018-2019年高中數(shù)學 第二章 隨機變量及其分布 2-3-2 離散型隨機變量的方差隨堂達標驗收 新人教A版選修2-3.doc

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2-3-2 離散型隨機變量的方差 1．牧場有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02，設發(fā)病的牛的頭數(shù)為ξ，則D(ξ)等于(　　) A．0.2 B．0.8 C．0.196 D．0.804 [解析]　∵ξ～B(10,0.02)，∴D(ξ)＝100.02(1－0.02)＝0.196. [答案]　C 2．投擲一枚骰子的點數(shù)為ξ，則(　　) A．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.52 B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5 D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ [解析]　∵P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3,4,5,6， ∴E(ξ)＝(1＋2＋3＋…＋6)＝3.5， E(ξ2)＝(12＋22＋…＋62)＝， ∴D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2＝－＝. [答案]　B 3．已知隨機變量X服從二項分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，則p＝________. [解析]　由得p＝. [答案]　 4．隨機變量ξ的取值為0,1,2.P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝________. [解析]　由題意設P(ξ＝1)＝p，則ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P p －p 由E(ξ)＝1，可得p＝，所以D(ξ)＝12＋02＋12＝. [答案]　 課內拓展　課外探究 1．常用分布的方差 (1)兩點分布：若X服從兩點分布，則D(X)＝p(1－p)． 注意：上述公式證明如下： 由于X服從兩點分布，即P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p， ∴E(X)＝p，E(X2)＝02(1－p)＋12p＝p， ∴D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝p－p2＝p(1－p)． (2)二項分布：若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)． 注意：上述結論證明如下： ∵X～B(n，p)，令q＝1－p，則P(X＝i)＝Cpiqn－i， ∴E(X2)＝2Cpiqn－i ＝(i－1)Cpiqn－i＋Cpiqn－i ＝(i－1)Cpiqn－i＋E(X) ＝n(n－1)p2pi－2q(n－2)－(i－2)＋E(X) ＝n(n－1)p2pjq(n－2)－j＋E(X) ＝n(n－1)p2(p＋q)n－2＋E(X) ＝n(n－1)p2＋E(X) ＝n(n－1)p2＋np， ∴D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝n(n－1)p2＋np－(np)2＝np－np2＝npq. 故D(X)＝np(1－p)． (3)超幾何分布：若隨機變量X服從超幾何分布，即X～H(N，M，n)，則 D(X)＝. 某人投籃命中的概率為p＝0.4. (1)求投籃一次，命中次數(shù)X的均值和方差； (2)求重復10次投籃時命中次數(shù)Y的均值和方差． [解]　(1)X的分布列為 X 0 1 P 0.6 0.4 E(X)＝00.6＋10.4＝0.4. D(X)＝(0－0.4)20.6＋(1－0.4)20.4＝0.24. (2)由題意知，命中次數(shù)Y服從二項分布， 即Y～B(10,0.4)， ∴E(Y)＝np＝100.4＝4， D(Y)＝100.40.6＝2.4. [點評]　由隨機變量的方差的計算公式可知，欲求隨機變量的方差應先求該隨機變量的數(shù)學期望．若該隨機變量服從一些特殊的分布(如兩點分布、二項分布、超幾何分布)，可以直接利用已知的公式進行計算． 2．方差的求法 (1)定義法 求離散型隨機變量的方差的步驟：①明確隨機變量的取值，以及取每個值的試驗結果；②求出隨機變量取各個值的概率；③列出分布列；④利用公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn求出隨機變量的期望E(X)；⑤代入公式D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xi－E(X))2pi＋…＋(xn－E(X))2pn求出方差D(X)；⑥代入公式σ(X)＝求出隨機變量的標準差σ. (2)利用公式D(X)＝E(X2)－(E(X))2求方差 公式D(X)＝E(X2)－(E(X))2的證明如下： D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xp1＋xp2＋…＋xpn)＋2E(X)(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn)＋(E(X))2(p1＋p2＋…＋pn)＝E(X2)－2(E(X))2＋(E(X))2＝E(X2)－(E(X))2. 利用公式D(X)＝E(X2)－(E(X))2可以簡化求方差的過程． 盒子中有5個球，其中3個白球，2個黑球，從中任取兩個球，求取出白球的個數(shù)的期望和方差． [解]　取出白球個數(shù)ξ的可能取值為0,1,2. ξ＝0表示取出的兩個球都是黑球，P(ξ＝0)＝＝； ξ＝1表示取出的兩個球一個黑球，一個白球，P(ξ＝1)＝＝； ξ＝2表示取出的兩個球都是白球，P(ξ＝2)＝＝，于是： E(ξ)＝0＋1＋2＝1.2， D(ξ)＝(0－1.2)2＋(1－1.2)2＋(2－1.2)2＝0.36， 或E(ξ2)＝02＋12＋22＝1.8， D(ξ)＝E(ξ)2－(E(ξ))2＝1.8－1.22＝0.36. [點評]　求離散型隨機變量的數(shù)學期望和方差，往往先求概率分布，再根據(jù)定義求解，在方差的計算過程中，利用D(ξ)＝E(ξ)2－(E(ξ))2計算方差要簡便一些． 設隨機變量X的分布列為 ξ 1 2 … n P … 求D(X)． [解]　解法一：E(X)＝1＋2＋…＋n＝(1＋2＋…＋n)＝＝， 于是，有 D(X)＝2＋2＋…＋2＝＝. 解法二：由解法一可求得E(X)＝. 又E(X2)＝12＋22＋…＋n2＝(12＋22＋…＋n2)＝. ∴D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝－＝. [點評]　本例的解法二比解法一簡捷得多，這是因為公式D(X)＝E(X2)－(E(X))2是由公式D(X)＝(xi－E(X))2pi展開并化簡后得到的結論，因此利用公式D(X)＝E(X2)－(E(X))2來計算D(X)就避免了用公式D(X)＝(xi－E(X))2pi的復雜的展開、化簡過程． 當隨機變量X為n(不是具體的數(shù)值)個時，在計算E(X)及D(X)時，應把“n”當作常量來計算．