2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題08 函數(shù)與方程——零點(diǎn)問(wèn)題面面觀.doc

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專題08 函數(shù)與方程----零點(diǎn)問(wèn)題面面觀 【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】 函數(shù)方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，函數(shù)問(wèn)題可以利用方程求解，方程解的情況可借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.高考命題常常以基本初等函數(shù)為載體，主要考查以下三個(gè)方面：（1）零點(diǎn)所在區(qū)間——零點(diǎn)存在性定理；（2）二次方程根分布問(wèn)題；（3）判斷根的個(gè)數(shù)問(wèn)題；（4）根據(jù)方程解的情況確定求參數(shù)的值或范圍.上述情形除（1）簡(jiǎn)單，其它往往與分段函數(shù)結(jié)合或與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用結(jié)合，難度往往較大. 一、基礎(chǔ)知識(shí)： 1、零點(diǎn)的定義：一般地，對(duì)于函數(shù)，我們把方程的實(shí)數(shù)根稱為函數(shù)的零點(diǎn) 2、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)，使得. （1）在上連續(xù)是使用零點(diǎn)存在性定理判定零點(diǎn)的前提 （2）零點(diǎn)存在性定理中的幾個(gè)“不一定”（假設(shè)連續(xù)） ① 若，則的零點(diǎn)不一定只有一個(gè)，可以有多個(gè) ② 若，那么在不一定有零點(diǎn) ③ 若在有零點(diǎn)，則不一定必須異號(hào) 3、若在上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則在的零點(diǎn)唯一. 4、函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩圖象交點(diǎn)之間的聯(lián)系 （1）函數(shù)的零點(diǎn)：有“零點(diǎn)存在性定理”作為理論基礎(chǔ)，可通過(guò)區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)和函數(shù)的單調(diào)性確定是否存在零點(diǎn). （2）方程：方程的特點(diǎn)在于能夠進(jìn)行靈活的變形，從而可將等號(hào)兩邊的表達(dá)式分別構(gòu)造為兩個(gè)可分析的函數(shù)，為作圖做好鋪墊. （3）圖象的交點(diǎn)：通過(guò)作圖可直觀的觀察到交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并能初步判斷交點(diǎn)所在區(qū)間. 三者轉(zhuǎn)化：函數(shù)的零點(diǎn)方程的根方程的根函數(shù)與的交點(diǎn). 二、零點(diǎn)存在與判斷方法、技巧： 1、零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用：若一個(gè)方程有解但無(wú)法直接求出時(shí)，可考慮將方程一邊構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，從而利用零點(diǎn)存在性定理將零點(diǎn)確定在一個(gè)較小的范圍內(nèi)。例如：對(duì)于方程，無(wú)法直接求出根，構(gòu)造函數(shù)，由即可判定其零點(diǎn)必在中 2、函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩函數(shù)的交點(diǎn)在零點(diǎn)問(wèn)題中的作用 （1）函數(shù)的零點(diǎn)： 工具：零點(diǎn)存在性定理 作用：通過(guò)代入特殊值精確計(jì)算，將零點(diǎn)圈定在一個(gè)較小的范圍內(nèi)。 缺點(diǎn)：方法單一，只能判定零點(diǎn)存在而無(wú)法判斷個(gè)數(shù)，且能否得到結(jié)論與代入的特殊值有關(guān) （2）方程的根： 工具：方程的等價(jià)變形 作用：當(dāng)所給函數(shù)不易于分析性質(zhì)和圖象時(shí)，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，從而利用等式的性質(zhì)可對(duì)方程進(jìn)行變形，構(gòu)造出便于分析的函數(shù) 缺點(diǎn)：能夠直接求解的方程種類(lèi)較少，很多轉(zhuǎn)化后的方程無(wú)法用傳統(tǒng)方法求出根，也無(wú)法判斷根的個(gè)數(shù) （3）兩函數(shù)的交點(diǎn)： 工具：數(shù)形結(jié)合 作用：前兩個(gè)主要是代數(shù)運(yùn)算與變形，而將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)，是將抽象的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形特征，是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。通過(guò)圖象可清楚的數(shù)出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)（即零點(diǎn)，根的個(gè)數(shù)）或者確定參數(shù)的取值范圍。 缺點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合能否解題，一方面受制于利用方程所構(gòu)造的函數(shù)（故當(dāng)方程含參時(shí)，通常進(jìn)行參變分離，其目的在于若含的函數(shù)可作出圖象，那么因?yàn)榱硗庖粋€(gè)只含參數(shù)的圖象為直線，所以便于觀察），另一方面取決于作圖的精確度，所以會(huì)涉及到一個(gè)構(gòu)造函數(shù)的技巧，以及作圖時(shí)速度與精度的平衡.（作3、函數(shù)單調(diào)性對(duì)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響：如果一個(gè)連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，那么它的零點(diǎn)至多有一個(gè).因此分析一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)前，可嘗試判斷函數(shù)是否單調(diào). 4、幾個(gè)“不一定”與“一定”（假設(shè)在區(qū)間連續(xù)） （1）若，則“一定”存在零點(diǎn)，但“不一定”只有一個(gè)零點(diǎn).要分析的性質(zhì)與圖象，如果單調(diào)，則“一定”只有一個(gè)零點(diǎn) （2）若，則“不一定”存在零點(diǎn)，也“不一定”沒(méi)有零點(diǎn)。如果單調(diào)，那么“一定”沒(méi)有零點(diǎn) （3）如果在區(qū)間中存在零點(diǎn)，則的符號(hào)是“不確定”的，受函數(shù)性質(zhì)與圖象影響。如果單調(diào)，則一定小于0 5、零點(diǎn)與單調(diào)性配合可確定函數(shù)的符號(hào)：是一個(gè)在單增連續(xù)函數(shù)，是的零點(diǎn)，且，則時(shí)，；時(shí)，. 三、函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)及應(yīng)用 1、此類(lèi)問(wèn)題的處理步驟： （1）作圖：可將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程，進(jìn)而通過(guò)構(gòu)造函數(shù)將方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，并作出函數(shù)圖象 （2）確定變量范圍：通過(guò)圖象與交點(diǎn)位置確定參數(shù)和零點(diǎn)的取值范圍 （3）觀察交點(diǎn)的特點(diǎn)（比如對(duì)稱性等）并選擇合適的方法處理表達(dá)式的值， 2.常見(jiàn)處理方法： （1）代換法：將相等的函數(shù)值設(shè)為，從而用可表示出，將關(guān)于的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元表達(dá)式，進(jìn)而可求出范圍或最值 （2）利用對(duì)稱性解決對(duì)稱點(diǎn)求和：如果關(guān)于軸對(duì)稱，則；同理，若關(guān)于中心對(duì)稱，則也有。將對(duì)稱的點(diǎn)歸為一組，在求和時(shí)可與對(duì)稱軸（或?qū)ΨQ中心）找到聯(lián)系 【經(jīng)典例題】 例1 【2018屆北京市十一學(xué)校高三3月零?！恳阎瘮?shù)那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)零點(diǎn)的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】,所以 函數(shù)f(x)在區(qū)間必有零點(diǎn)，選B. 例2.設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)分別是的零點(diǎn)，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【名師點(diǎn)睛】利用零點(diǎn)存在性定理求解三步曲是：①先移項(xiàng)使方程右邊為零，再令方程左邊為函數(shù)；②求區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值；③若函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)且，則方程在該區(qū)間內(nèi)必有根. 例3【2018屆福建省永春一中、培元、季延、石光中學(xué)四校高三上第二次聯(lián)考】定義在上的函數(shù)滿足，且時(shí)， ； 時(shí)， . 令，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵x∈[0，1]時(shí)，f（x）=4x， ∴f（1）=4 ∴x∈（1，2）時(shí)，f（x）==， ∵g（x）=2f（x）﹣x﹣4，x∈[﹣6，2]， 令g（x）=2f（x）﹣x﹣4=0， ∴y=f（x）在x∈[﹣6，2]，y=x+2有8個(gè)交點(diǎn)， 故函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為8個(gè)． 故選：B． 【名師點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷 (1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)； (2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)； (3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)． 例4.已知函數(shù)的圖像為上的一條連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】A 【名師點(diǎn)睛】（1）本題由于解析式未知，故無(wú)法利用圖像解決，所以根據(jù)條件考慮構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行解決。 （2）所給不等式呈現(xiàn)出輪流求導(dǎo)的特點(diǎn)，猜想可能是符合導(dǎo)數(shù)的乘法法則，變形后可得，而的零點(diǎn)問(wèn)題可利用方程進(jìn)行變形，從而與條件中的相聯(lián)系，從而構(gòu)造出. 例5【2018屆江西師范大學(xué)附屬中學(xué)高三4月月考】定義域和值域均為（常數(shù)a>0）的函數(shù)和大致圖象如圖所示，給出下列四個(gè)命題： ①方程有且僅有三個(gè)解； ②方程有且僅有三個(gè)解； ③方程有且僅有九個(gè)解； ④方程有且僅有一個(gè)解。那么，其中一定正確的命題是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】C 【解析】①方程有且僅有三個(gè)解； 有三個(gè)不同的值，由于是減函數(shù)，所以有三個(gè)解，①正確；②方程有且僅有三個(gè)解；從圖中可知， ，可能有個(gè)解，方程也可能有個(gè)解，②不正確；③方程有且僅有九個(gè)解；從圖中可知， ，可能有個(gè)解，方程最多九個(gè)解，③不正確；④因?yàn)榉匠逃星覂H有一個(gè)解，結(jié)合圖象是減函數(shù)，所以方程有且僅有一個(gè)解，④正確，故選C. 【方法點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)與方程思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題. 數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性． 例6【2018屆【衡水金卷】（二）】已知函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù),均有，若方程有且只有4個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍（ ） A. B. C. D. 【答案】A 有兩個(gè)零點(diǎn)，所以g(t)-a的圖像在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以由g(t)的圖像，可知-16＜a＜9.故選A. 點(diǎn)睛：本題解題用到了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想，首先把方程f(x)=a有四個(gè)根，且f(x)的圖像關(guān)于直線x=-3對(duì)稱，轉(zhuǎn)化成函數(shù)y=f(x)-a的圖像在區(qū)間有兩個(gè)零點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化成函數(shù)g(t)-a的圖像在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).轉(zhuǎn)化的思想是高中數(shù)學(xué)里最普遍的數(shù)學(xué)思想，在高中數(shù)學(xué)里最常見(jiàn)，特別是遇到較復(fù)雜的問(wèn)題，更應(yīng)想到轉(zhuǎn)化，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化得簡(jiǎn)單，把不熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，大家在今后的學(xué)習(xí)中要理解掌握和靈活運(yùn)用. 例7【2018屆【衡水金卷】（四）】已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不少于2個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題可知函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不少于2個(gè)，即為函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=mx+m的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不少于2個(gè)，由于函數(shù)y=mx+m的圖像過(guò)定點(diǎn)P（-1,0），且斜率為m,作出函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示，《 可知又x>1.所以 過(guò)點(diǎn)（-1,0）作的切線，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則此時(shí)，切線的斜率為 故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.綜上實(shí)數(shù)m的取值范圍為. 故選A. 點(diǎn)睛：本題有兩個(gè)難點(diǎn),一個(gè)難點(diǎn)是要會(huì)通過(guò)數(shù)形結(jié)合分析出在什么情況下函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不少于2個(gè),找到三個(gè)極限位置.第二個(gè)難點(diǎn)是怎么利用導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率,要求對(duì)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)比較熟練. 例8【2018屆廣東省省際名校（茂名市）高三下聯(lián)考（二）】記函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，則數(shù)列的前20項(xiàng)的和是（ ） A. 430 B. 840 C. 1250 D. 1660 【答案】A 【解析】令，得①或② 由①得，令，得，故①共有n個(gè)解， 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，③有個(gè)解，④有個(gè)解，故②有n+1個(gè)解，故 令 故 故選：A 點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷 (1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)； (2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)； (3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)． 例9【2018屆【衡水金卷】（一）】定義在上的函數(shù)若滿足： ，且，則稱函數(shù)為“指向的完美對(duì)稱函數(shù)”.已知是“1指向2的完美對(duì)稱函數(shù)”，且當(dāng)時(shí)， .若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， .由得對(duì)稱中心為，周期為4，可得的對(duì)稱中心為，即與均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱及關(guān)于直線對(duì)稱，可畫(huà)出在區(qū)間上的圖象，如圖所示： 因?yàn)?，直線過(guò)點(diǎn)，故若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則只需與在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，則,故切線方程為： .因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，解得或（舍去），此時(shí),又當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，k=1.故由圖，可知實(shí)數(shù)k的取值范圍為 故選：B. 【名師點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路 (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍； (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決； (3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解． 例10【2017課標(biāo)1，理21】已知函數(shù). （1）討論的單調(diào)性； （2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍. 【解析】 試題分析：（1）討論單調(diào)性，首先進(jìn)行求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)式子特點(diǎn)后要及時(shí)進(jìn)行因式分解，在對(duì)按，進(jìn)行討論，寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)第（1）題，若，至多有一個(gè)零點(diǎn).若，當(dāng)時(shí)，取得最小值，求出最小值，根據(jù)，，進(jìn)行討論，可知當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)，設(shè)正整數(shù)滿足，則 .由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn).所以的取值范圍為. 【名師點(diǎn)睛】研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題常常與研究對(duì)應(yīng)方程的實(shí)根問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化.已知函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)，研究其單調(diào)性、極值、最值，判斷與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而求出a的范圍；第二種方法是直接對(duì)含參函數(shù)進(jìn)行研究，研究其單調(diào)性、極值、最值，注意點(diǎn)是若有2個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗(yàn)證有最小值兩邊存在大于0的點(diǎn). 【精選精練】 1【2018屆北京市京源學(xué)校高三十月月考】函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】在時(shí)是連續(xù)函數(shù)， ， ，由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為，故選B. 2【2018屆陜西省咸陽(yáng)市第二次模擬】函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 3【2018屆北京市匯文實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三九月月考】函數(shù)的所有零點(diǎn)的和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】當(dāng)時(shí)， ，解得 當(dāng)時(shí)， ，解得， 則，或 則 所有零點(diǎn)的和等于 故選. 4【2017課標(biāo)3，理11】已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則a= A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】函數(shù)的零點(diǎn)滿足， 設(shè)，則， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù) 單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù) 單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值， 設(shè) ，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值 ， 【名師點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用主要表現(xiàn)在利用零點(diǎn)求參數(shù)范圍，若方程可解，通過(guò)解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易解或不可解，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系求解，這樣會(huì)使得問(wèn)題變得直觀、簡(jiǎn)單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 5【2018屆（衡水金卷）一】已知函數(shù)，若恰有兩個(gè)零點(diǎn)， （），則有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；作圖如下： ，因此 ，綜上， ，選D. 點(diǎn)睛：涉及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題、函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，一般先通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點(diǎn)、方程根、交點(diǎn)的情況，歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值，然后通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路. 6【2018屆海南省高三第二次聯(lián)合考】已知為偶函數(shù)，對(duì)任意， 恒成立，且當(dāng)時(shí)， .設(shè)函數(shù)，則的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 7【2018屆貴州省凱里市第一中學(xué)高三下學(xué)期《黃金卷》第二套】已知偶函數(shù)，且，則函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ） A. 2020 B. 2016 C. 1010 D. 1008 【答案】A 【解析】 依題意，當(dāng)時(shí)， 對(duì)稱軸為， 由可知，函數(shù)的周期 令，可得 求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即求偶函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)圖象有個(gè)交點(diǎn) 故選. 8【2018屆安徽省宣城市高三第二次調(diào)研】已知，關(guān)于的方程 ()有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由題意得. 當(dāng)時(shí)， 恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù). 當(dāng)時(shí)， ，令，得，即函數(shù)在上為減函數(shù)，令，得，即函數(shù)在上為增函數(shù). ∴函數(shù)在上有一個(gè)最大值為 令，要使方程 ()有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則方程應(yīng) 故選D. 點(diǎn)睛：函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的問(wèn)題，一般以含參數(shù)的三次式、分式、以為底的指數(shù)式或?qū)?shù)式及三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)的函數(shù)零點(diǎn)或方程根的形式出現(xiàn)，一般有下列兩種考查形式： (1)確定函數(shù)零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)及方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題； (2)應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)及方程解的存在情況，求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題． 研究方程根的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、函數(shù)的變化趨勢(shì)等，根據(jù)題目要求，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想去分析問(wèn)題，可以使得問(wèn)題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)，同時(shí)在解題過(guò)程中要注意轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、分類(lèi)討論思想的應(yīng)用． 9【2018屆河北省定州中學(xué)高三下學(xué)期第一次月考】已知函數(shù)，則函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】令f（x）=t可得f（t）=t+1． 作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示： 設(shè)直線y=kx+1與y=ex相切，切點(diǎn)為（x0，y0），則, 解得x0=0，k=1． 設(shè)直線y=kx+1與y=lnx相切，切點(diǎn)為（x1，y1），則, 故選：C． 10【2018高三二輪復(fù)習(xí)之測(cè)試專項(xiàng)】已知函數(shù)，關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為_(kāi)_________． 【答案】 【解析】作出的圖象如下： 【名師點(diǎn)睛】一般討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，都要轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題或兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，本題由于涉及函數(shù)為初等函數(shù)，可以考慮函數(shù)圖像來(lái)解決，轉(zhuǎn)化為過(guò)定點(diǎn)的直線與拋物線變形圖形的交點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)函數(shù)圖像處理能力要求較高. 11【2018屆河北省石家莊市高三一?！恳阎瘮?shù)，，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，（其中），則的取值范圍為_(kāi)_________． 【答案】 【解析】如圖： ，，作出函數(shù)圖象如圖所示 ，，作出函數(shù)圖象如圖所示 ，由有三個(gè)不同的零點(diǎn) ，如圖 令 得 12【2018屆重慶市高三4月（二診）】已知函數(shù)（，）． （1）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍； （2）當(dāng)時(shí)，判斷關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)． 【答案】（1）；（2）只有一個(gè)解. 【解析】試題分析： （1）根據(jù)在恒成立求解即可，求解時(shí)可選用分離參數(shù)的方法．（2）由題意可得即判斷方程根的個(gè)數(shù)，令，利用導(dǎo)數(shù)可得存在，使得 時(shí) 單調(diào)遞減，當(dāng) 時(shí)單調(diào)遞增，又，→時(shí)，→，結(jié)合圖象可得當(dāng)，時(shí)，方程有一個(gè)解，即方程只有一個(gè)解． 試題解析： （1）∵， ∴， 由題意得在恒成立， 即在恒成立， 設(shè)， 則， ∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 令， 則， 令， 則， ∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ∴， 又，， ∴存在，使得 時(shí)， 單調(diào)遞減； 【名師點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的方法：研究方程根的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，根據(jù)題目要求，畫(huà)出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想去分析問(wèn)題，這樣可以使得問(wèn)題的求解有一個(gè)直觀的整體展現(xiàn)．