2019年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題08 函數(shù)與方程——零點問題面面觀.doc

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專題08 函數(shù)與方程----零點問題面面觀 【熱點聚焦與擴展】 函數(shù)方程思想是一種重要的數(shù)學思想方法，函數(shù)問題可以利用方程求解，方程解的情況可借助于函數(shù)的圖象和性質求解.高考命題常常以基本初等函數(shù)為載體，主要考查以下三個方面：（1）零點所在區(qū)間——零點存在性定理；（2）二次方程根分布問題；（3）判斷根的個數(shù)問題；（4）根據(jù)方程解的情況確定求參數(shù)的值或范圍.上述情形除（1）簡單，其它往往與分段函數(shù)結合或與導數(shù)的應用結合，難度往往較大. 一、基礎知識： 1、零點的定義：一般地，對于函數(shù)，我們把方程的實數(shù)根稱為函數(shù)的零點 2、函數(shù)零點存在性定理：設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內至少有函數(shù)的一個零點，即至少有一點，使得. （1）在上連續(xù)是使用零點存在性定理判定零點的前提 （2）零點存在性定理中的幾個“不一定”（假設連續(xù)） ① 若，則的零點不一定只有一個，可以有多個 ② 若，那么在不一定有零點 ③ 若在有零點，則不一定必須異號 3、若在上是單調函數(shù)且連續(xù)，則在的零點唯一. 4、函數(shù)的零點，方程的根，兩圖象交點之間的聯(lián)系 （1）函數(shù)的零點：有“零點存在性定理”作為理論基礎，可通過區(qū)間端點值的符號和函數(shù)的單調性確定是否存在零點. （2）方程：方程的特點在于能夠進行靈活的變形，從而可將等號兩邊的表達式分別構造為兩個可分析的函數(shù)，為作圖做好鋪墊. （3）圖象的交點：通過作圖可直觀的觀察到交點的個數(shù)，并能初步判斷交點所在區(qū)間. 三者轉化：函數(shù)的零點方程的根方程的根函數(shù)與的交點. 二、零點存在與判斷方法、技巧： 1、零點存在性定理的應用：若一個方程有解但無法直接求出時，可考慮將方程一邊構造為一個函數(shù)，從而利用零點存在性定理將零點確定在一個較小的范圍內。例如：對于方程，無法直接求出根，構造函數(shù)，由即可判定其零點必在中 2、函數(shù)的零點，方程的根，兩函數(shù)的交點在零點問題中的作用 （1）函數(shù)的零點： 工具：零點存在性定理 作用：通過代入特殊值精確計算，將零點圈定在一個較小的范圍內。 缺點：方法單一，只能判定零點存在而無法判斷個數(shù)，且能否得到結論與代入的特殊值有關 （2）方程的根： 工具：方程的等價變形 作用：當所給函數(shù)不易于分析性質和圖象時，可將函數(shù)轉化為方程，從而利用等式的性質可對方程進行變形，構造出便于分析的函數(shù) 缺點：能夠直接求解的方程種類較少，很多轉化后的方程無法用傳統(tǒng)方法求出根，也無法判斷根的個數(shù) （3）兩函數(shù)的交點： 工具：數(shù)形結合 作用：前兩個主要是代數(shù)運算與變形，而將方程轉化為函數(shù)交點，是將抽象的代數(shù)運算轉變?yōu)閳D形特征，是數(shù)形結合的體現(xiàn)。通過圖象可清楚的數(shù)出交點的個數(shù)（即零點，根的個數(shù)）或者確定參數(shù)的取值范圍。 缺點：數(shù)形結合能否解題，一方面受制于利用方程所構造的函數(shù)（故當方程含參時，通常進行參變分離，其目的在于若含的函數(shù)可作出圖象，那么因為另外一個只含參數(shù)的圖象為直線，所以便于觀察），另一方面取決于作圖的精確度，所以會涉及到一個構造函數(shù)的技巧，以及作圖時速度與精度的平衡.（作3、函數(shù)單調性對零點個數(shù)的影響：如果一個連續(xù)函數(shù)是單調函數(shù)，那么它的零點至多有一個.因此分析一個函數(shù)零點的個數(shù)前，可嘗試判斷函數(shù)是否單調. 4、幾個“不一定”與“一定”（假設在區(qū)間連續(xù)） （1）若，則“一定”存在零點，但“不一定”只有一個零點.要分析的性質與圖象，如果單調，則“一定”只有一個零點 （2）若，則“不一定”存在零點，也“不一定”沒有零點。如果單調，那么“一定”沒有零點 （3）如果在區(qū)間中存在零點，則的符號是“不確定”的，受函數(shù)性質與圖象影響。如果單調，則一定小于0 5、零點與單調性配合可確定函數(shù)的符號：是一個在單增連續(xù)函數(shù)，是的零點，且，則時，；時，. 三、函數(shù)零點的性質及應用 1、此類問題的處理步驟： （1）作圖：可將零點問題轉化成方程，進而通過構造函數(shù)將方程轉化為兩個圖象交點問題，并作出函數(shù)圖象 （2）確定變量范圍：通過圖象與交點位置確定參數(shù)和零點的取值范圍 （3）觀察交點的特點（比如對稱性等）并選擇合適的方法處理表達式的值， 2.常見處理方法： （1）代換法：將相等的函數(shù)值設為，從而用可表示出，將關于的表達式轉化為關于的一元表達式，進而可求出范圍或最值 （2）利用對稱性解決對稱點求和：如果關于軸對稱，則；同理，若關于中心對稱，則也有。將對稱的點歸為一組，在求和時可與對稱軸（或對稱中心）找到聯(lián)系 【經(jīng)典例題】 例1 【2018屆北京市十一學校高三3月零?！恳阎瘮?shù)那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)零點的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】,所以 函數(shù)f(x)在區(qū)間必有零點，選B. 例2.設函數(shù)，若實數(shù)分別是的零點，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【名師點睛】利用零點存在性定理求解三步曲是：①先移項使方程右邊為零，再令方程左邊為函數(shù)；②求區(qū)間兩端點的函數(shù)值；③若函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)且，則方程在該區(qū)間內必有根. 例3【2018屆福建省永春一中、培元、季延、石光中學四校高三上第二次聯(lián)考】定義在上的函數(shù)滿足，且時， ； 時， . 令，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵x∈[0，1]時，f（x）=4x， ∴f（1）=4 ∴x∈（1，2）時，f（x）==， ∵g（x）=2f（x）﹣x﹣4，x∈[﹣6，2]， 令g（x）=2f（x）﹣x﹣4=0， ∴y=f（x）在x∈[﹣6，2]，y=x+2有8個交點， 故函數(shù)g（x）的零點個數(shù)為8個． 故選：B． 【名師點睛】函數(shù)零點的求解與判斷 (1)直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點； (2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結合函數(shù)的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點； (3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點． 例4.已知函數(shù)的圖像為上的一條連續(xù)不斷的曲線，當時，，則關于的函數(shù)的零點的個數(shù)為（ ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】A 【名師點睛】（1）本題由于解析式未知，故無法利用圖像解決，所以根據(jù)條件考慮構造函數(shù)，利用單調性與零點存在性定理進行解決。 （2）所給不等式呈現(xiàn)出輪流求導的特點，猜想可能是符合導數(shù)的乘法法則，變形后可得，而的零點問題可利用方程進行變形，從而與條件中的相聯(lián)系，從而構造出. 例5【2018屆江西師范大學附屬中學高三4月月考】定義域和值域均為（常數(shù)a>0）的函數(shù)和大致圖象如圖所示，給出下列四個命題： ①方程有且僅有三個解； ②方程有且僅有三個解； ③方程有且僅有九個解； ④方程有且僅有一個解。那么，其中一定正確的命題是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】C 【解析】①方程有且僅有三個解； 有三個不同的值，由于是減函數(shù)，所以有三個解，①正確；②方程有且僅有三個解；從圖中可知， ，可能有個解，方程也可能有個解，②不正確；③方程有且僅有九個解；從圖中可知， ，可能有個解，方程最多九個解，③不正確；④因為方程有且僅有一個解，結合圖象是減函數(shù)，所以方程有且僅有一個解，④正確，故選C. 【方法點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象與性質，函數(shù)與方程思想以及數(shù)形結合思想的應用，屬于難題. 數(shù)形結合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法，函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質，為研究函數(shù)的數(shù)量關系提供了“形”的直觀性． 例6【2018屆【衡水金卷】（二）】已知函數(shù)，且對任意實數(shù),均有，若方程有且只有4個實根，則實數(shù)的取值范圍（ ） A. B. C. D. 【答案】A 有兩個零點，所以g(t)-a的圖像在區(qū)間上有兩個零點，所以由g(t)的圖像，可知-16＜a＜9.故選A. 點睛：本題解題用到了數(shù)學轉化的思想，首先把方程f(x)=a有四個根，且f(x)的圖像關于直線x=-3對稱，轉化成函數(shù)y=f(x)-a的圖像在區(qū)間有兩個零點，再轉化成函數(shù)g(t)-a的圖像在區(qū)間上有兩個零點.轉化的思想是高中數(shù)學里最普遍的數(shù)學思想，在高中數(shù)學里最常見，特別是遇到較復雜的問題，更應想到轉化，把復雜的問題轉化得簡單，把不熟悉的數(shù)學問題轉化成熟悉的數(shù)學問題，大家在今后的學習中要理解掌握和靈活運用. 例7【2018屆【衡水金卷】（四）】已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)不少于2個，則實數(shù)的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題可知函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)不少于2個，即為函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=mx+m的圖像的交點個數(shù)不少于2個，由于函數(shù)y=mx+m的圖像過定點P（-1,0），且斜率為m,作出函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示，《 可知又x>1.所以 過點（-1,0）作的切線，設切點坐標為，則此時，切線的斜率為 故實數(shù)m的取值范圍為.綜上實數(shù)m的取值范圍為. 故選A. 點睛：本題有兩個難點,一個難點是要會通過數(shù)形結合分析出在什么情況下函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)不少于2個,找到三個極限位置.第二個難點是怎么利用導數(shù)和導數(shù)的幾何意義求切線的斜率,要求對導數(shù)的知識比較熟練. 例8【2018屆廣東省省際名校（茂名市）高三下聯(lián)考（二）】記函數(shù)在區(qū)間內的零點個數(shù)為，則數(shù)列的前20項的和是（ ） A. 430 B. 840 C. 1250 D. 1660 【答案】A 【解析】令，得①或② 由①得，令，得，故①共有n個解， 當n為奇數(shù)時，③有個解，④有個解，故②有n+1個解，故 令 故 故選：A 點睛：函數(shù)零點的求解與判斷 (1)直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點； (2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結合函數(shù)的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點； (3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點． 例9【2018屆【衡水金卷】（一）】定義在上的函數(shù)若滿足： ，且，則稱函數(shù)為“指向的完美對稱函數(shù)”.已知是“1指向2的完美對稱函數(shù)”，且當時， .若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 時， ，當時， .由得對稱中心為，周期為4，可得的對稱中心為，即與均關于點對稱，結合的圖象關于點對稱及關于直線對稱，可畫出在區(qū)間上的圖象，如圖所示： 因為，直線過點，故若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，則只需與在區(qū)間上有兩個交點，設直線與曲線的切點為，則,故切線方程為： .因為點在切線上，所以，解得或（舍去），此時,又當直線過點時，k=1.故由圖，可知實數(shù)k的取值范圍為 故選：B. 【名師點睛】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路 (1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍； (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決； (3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解． 例10【2017課標1，理21】已知函數(shù). （1）討論的單調性； （2）若有兩個零點，求a的取值范圍. 【解析】 試題分析：（1）討論單調性，首先進行求導，發(fā)現(xiàn)式子特點后要及時進行因式分解，在對按，進行討論，寫出單調區(qū)間；（2）根據(jù)第（1）題，若，至多有一個零點.若，當時，取得最小值，求出最小值，根據(jù)，，進行討論，可知當有2個零點，設正整數(shù)滿足，則 .由于，因此在有一個零點.所以的取值范圍為. 【名師點睛】研究函數(shù)零點問題常常與研究對應方程的實根問題相互轉化.已知函數(shù)有2個零點求參數(shù)取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構造不含參數(shù)的函數(shù)，研究其單調性、極值、最值，判斷與其交點的個數(shù)，從而求出a的范圍；第二種方法是直接對含參函數(shù)進行研究，研究其單調性、極值、最值，注意點是若有2個零點，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗證有最小值兩邊存在大于0的點. 【精選精練】 1【2018屆北京市京源學校高三十月月考】函數(shù)零點所在的區(qū)間是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】在時是連續(xù)函數(shù)， ， ，由函數(shù)零點的存在性定理，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為，故選B. 2【2018屆陜西省咸陽市第二次模擬】函數(shù)零點的個數(shù)為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 3【2018屆北京市匯文實驗中學高三九月月考】函數(shù)的所有零點的和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】當時， ，解得 當時， ，解得， 則，或 則 所有零點的和等于 故選. 4【2017課標3，理11】已知函數(shù)有唯一零點，則a= A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】函數(shù)的零點滿足， 設，則， 當時，，當時，，函數(shù) 單調遞減， 當時，，函數(shù) 單調遞增， 當時，函數(shù)取得最小值， 設 ，當時，函數(shù)取得最小值 ， 【名師點睛】函數(shù)零點的應用主要表現(xiàn)在利用零點求參數(shù)范圍，若方程可解，通過解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易解或不可解，則將問題轉化為構造兩個函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的關系求解，這樣會使得問題變得直觀、簡單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的應用. 5【2018屆（衡水金卷）一】已知函數(shù)，若恰有兩個零點， （），則有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】當時， ；當時， ；作圖如下： ，因此 ，綜上， ，選D. 點睛：涉及函數(shù)的零點問題、方程解的個數(shù)問題、函數(shù)圖像交點個數(shù)問題，一般先通過導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等，再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點、方程根、交點的情況，歸根到底還是研究函數(shù)的性質，如單調性、極值，然后通過數(shù)形結合的思想找到解題的思路. 6【2018屆海南省高三第二次聯(lián)合考】已知為偶函數(shù)，對任意， 恒成立，且當時， .設函數(shù)，則的零點的個數(shù)為（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 7【2018屆貴州省凱里市第一中學高三下學期《黃金卷》第二套】已知偶函數(shù)，且，則函數(shù)在區(qū)間的零點個數(shù)為（ ） A. 2020 B. 2016 C. 1010 D. 1008 【答案】A 【解析】 依題意，當時， 對稱軸為， 由可知，函數(shù)的周期 令，可得 求函數(shù)的零點個數(shù)，即求偶函數(shù)與函數(shù)圖象交點個數(shù) 當時，函數(shù)與函數(shù)圖象有個交點 故選. 8【2018屆安徽省宣城市高三第二次調研】已知，關于的方程 ()有四個不同的實數(shù)根，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由題意得. 當時， 恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù). 當時， ，令，得，即函數(shù)在上為減函數(shù)，令，得，即函數(shù)在上為增函數(shù). ∴函數(shù)在上有一個最大值為 令，要使方程 ()有四個不同的實數(shù)根，則方程應 故選D. 點睛：函數(shù)的零點或方程的根的問題，一般以含參數(shù)的三次式、分式、以為底的指數(shù)式或對數(shù)式及三角函數(shù)式結構的函數(shù)零點或方程根的形式出現(xiàn)，一般有下列兩種考查形式： (1)確定函數(shù)零點、圖象交點及方程根的個數(shù)問題； (2)應用函數(shù)零點、圖象交點及方程解的存在情況，求參數(shù)的值或取值范圍問題． 研究方程根的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值、函數(shù)的變化趨勢等，根據(jù)題目要求，通過數(shù)形結合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)，同時在解題過程中要注意轉化與化歸、函數(shù)與方程、分類討論思想的應用． 9【2018屆河北省定州中學高三下學期第一次月考】已知函數(shù)，則函數(shù) 的零點個數(shù)為（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】令f（x）=t可得f（t）=t+1． 作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示： 設直線y=kx+1與y=ex相切，切點為（x0，y0），則, 解得x0=0，k=1． 設直線y=kx+1與y=lnx相切，切點為（x1，y1），則, 故選：C． 10【2018高三二輪復習之測試專項】已知函數(shù)，關于的方程有四個不同的實數(shù)解，則的取值范圍為__________． 【答案】 【解析】作出的圖象如下： 【名師點睛】一般討論函數(shù)零點個數(shù)問題，都要轉化為方程根的個數(shù)問題或兩個函數(shù)圖像交點的個數(shù)問題，本題由于涉及函數(shù)為初等函數(shù)，可以考慮函數(shù)圖像來解決，轉化為過定點的直線與拋物線變形圖形的交點問題，對函數(shù)圖像處理能力要求較高. 11【2018屆河北省石家莊市高三一?！恳阎瘮?shù)，，若函數(shù)有三個不同的零點，，（其中），則的取值范圍為__________． 【答案】 【解析】如圖： ，，作出函數(shù)圖象如圖所示 ，，作出函數(shù)圖象如圖所示 ，由有三個不同的零點 ，如圖 令 得 12【2018屆重慶市高三4月（二診）】已知函數(shù)（，）． （1）若在上單調遞減，求的取值范圍； （2）當時，判斷關于的方程的解的個數(shù)． 【答案】（1）；（2）只有一個解. 【解析】試題分析： （1）根據(jù)在恒成立求解即可，求解時可選用分離參數(shù)的方法．（2）由題意可得即判斷方程根的個數(shù)，令，利用導數(shù)可得存在，使得 時 單調遞減，當 時單調遞增，又，→時，→，結合圖象可得當，時，方程有一個解，即方程只有一個解． 試題解析： （1）∵， ∴， 由題意得在恒成立， 即在恒成立， 設， 則， ∴在上單調遞增，在上單調遞減， 令， 則， 令， 則， ∴在上單調遞減，在上單調遞增， ∴， 又，， ∴存在，使得 時， 單調遞減； 【名師點睛】利用導數(shù)研究方程根的方法：研究方程根的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結合的思想去分析問題，這樣可以使得問題的求解有一個直觀的整體展現(xiàn)．