高考數(shù)學一輪復習 幾何證明選講 1 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)課件(理) 選修4-1.ppt

《高考數(shù)學一輪復習 幾何證明選講 1 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)課件(理) 選修4-1.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學一輪復習 幾何證明選講 1 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)課件(理) 選修4-1.ppt（59頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

選修4 1幾何證明選講第一節(jié)相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 知識梳理 1 平行線等分線段定理及其推論 相等 平分第三邊 平分另一腰 2 平行線分線段成比例定理及其推論 所得的對應線 段成比例 所得的對應線 段成比例 3 相似三角形的判定及性質(zhì) 1 相似三角形的定義 對應角 對應邊 的兩個三角形叫做相似三角形 相似三角形 的比值叫做相似比 或相似系數(shù) 2 預備定理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊 或兩邊的延長線 所構(gòu)成的三角形與原三角形 相等 成比例 對應邊 相交 相似 3 判定及性質(zhì) 相等 成比例 相等 成比例 相等 成比例 成比例 相似比 相似比的平方 4 直角三角形的射影定理定理 直角三角形斜邊上的高是 的比例中項 兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的 兩直角邊在斜邊上射影 比例中項 特別提醒 1 把平行線分線段成比例定理的推論中的題設和結(jié)論交換之后 命題仍然成立 2 應用三角形相似的性質(zhì)時易出現(xiàn)對應線段對應錯誤 可以根據(jù)相等的角去找 考向一平行線分線段成比例定理 典例1 2016 太原模擬 如圖 在梯形ABCD中 AB CD AB 4 CD 2 點E F分別為AD BC上的點 且EF 3 EF AB 求梯形ABFE與梯形EFCD的面積比 解題導引 利用平行線分線段成比例定理確定兩個梯形的高之間的關(guān)系 再確定兩梯形的面積比 規(guī)范解答 如圖 延長AD BC交于一點O 作OH AB于點H 所以 得x 2h1 得h1 h2 所以S梯形ABFE 3 4 h2 h2 S梯形EFCD 2 3 h1 h1 所以S梯形ABFE S梯形EFCD 7 5 規(guī)律方法 平行線分線段成比例定理的作用及應用技巧 1 作用 可以判定線段成比例 當不能直接證明要證的比例成立時 常用這個定理將兩條線段的比轉(zhuǎn)化為另外兩條線段的比 2 應用技巧 利用定理來計算或證明時 首先要觀察平行線組 再確定所截直線 進而確定比例線段及比例式 同時注意合比性質(zhì) 等比性質(zhì)的運用 在應用推論時 一定要明確哪一條線段平行于三角形的一邊 是否過一邊的中點 變式訓練 如圖 在 ABC中 DE BC DF AC AE AC 3 5 DE 6 求BF的長 解析 由DE BC 得因為DE 6 所以BC 10 又DF AC 所以 所以BF 4 加固訓練 1 如圖 點E是平行四邊形ABCD的邊AB延長線上一點 且DC BE 3 2 求AD BF的值 解析 因為點E是平行四邊形ABCD的邊AB延長線上一點 且DC BE 3 2 則利用相似比得到AD BF 5 2 2 如圖所示 在 ABC中 AE EB 1 3 BD DC 2 1 AD與CE相交于點F 求的值 解析 過點D作DG AB交EC于點G 則 而即 所以AE DG 從而有AF DF EF FG CG 故 考向二相似三角形的判定與性質(zhì) 典例2 2016 信陽模擬 如圖 在 ABC中 點D是BC邊上的中點 且AD AC DE BC DE與AB相交于點E EC與AD相交于點F 1 求證 ABC FCD 2 若S FCD 5 BC 10 求DE的長 解題導引 1 利用 BEC和 ADC都是等腰三角形 從而底角分別相等證明 2 利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求出 ABC的面積 再通過過點A作BC的垂線利用平行線分線段成比例求解 規(guī)范解答 1 因為DE BC 點D是BC邊上的中點 所以EB EC 所以 B ECD 又AD AC 所以 ADC ACD 所以 ABC FCD 2 過點A作AM BC 垂足為點M 因為 ABC FCD BC 2CD 所以又因為S FCD 5 所以S ABC 20 又S ABC BC AM 10 AM 20 解得AM 4 又DE AM 所以因為DM DC BM BD DM 5 所以 解得DE 規(guī)律方法 1 證明相似三角形的一般思路 1 先找兩對內(nèi)角對應相等 2 若只有一個角對應相等 再判定這個角的兩鄰邊是否對應成比例 3 若無角對應相等 就要證明三邊對應成比例 2 相似三角形的性質(zhì)的應用 1 可用來證明線段成比例 角相等 可間接證明線段相等 由相似三角形構(gòu)造成比例線段時 可以利用等角所對的邊對應成比例構(gòu)造等式 避免邊與邊的對應出錯 2 求解線段長度問題 充分利用所求線段與已知線段長度之間的關(guān)系 化歸到相應三角形中 通過構(gòu)造相似三角形求解 變式訓練 2016 商丘模擬 如圖 在 ABC中 BC AC 點D在BC上 且DC AC ACB的平分線CF交AD于點F 點E是AB的中點 連接EF 1 求證 EF BC 2 若四邊形BDFE的面積為6 求 ABD的面積 解析 1 因為CF平分 ACB 所以 ACF DCF 又因為DC AC 所以CF是 ACD的中線 所以點F是AD的中點 因為點E是AB的中點 所以EF BD 即EF BC 2 由 1 知 EF BD 所以 AEF ABD 所以又因為AE AB S AEF S ABD S四邊形BDFE S ABD 6 所以 所以S ABD 8 所以 ABD的面積為8 加固訓練 1 如圖 在 ABC中 點D為BC邊的中點 點E為AD上的一點 延長BE交AC于點F 若 求的值 解析 如圖 過點A作AG BC 交BF的延長線于點G 則 AGE DBE AGF CBF 因為 所以所以 因為點D為BC的中點 所以BC 2BD 所以所以所以 2 2016 鄭州模擬 如圖 在正方形ABCD中 點P是BC上的點 且BP 3PC 點Q是CD的中點 求證 ADQ QCP 證明 在正方形ABCD中 因為Q是CD的中點 所以 2 因為 3 所以 4 又因為BC 2DQ 所以 2 在 ADQ和 QCP中 且 D C 90 所以 ADQ QCP 考向三直角三角形中的射影定理 典例3 如圖 在Rt ABC中 BAC 90 AD BC于點D DF AC于點F DE AB于點E 求證 1 AB AC BC AD 2 AD3 BC CF BE 解題導引 1 可以利用Rt ABC的面積的兩種表示證明 2 分別在Rt ADB Rt ACD和Rt BAC中利用射影定理后進行等量代換 規(guī)范解答 1 在Rt ABC中 AD BC 所以S ABC AB AC BC AD 所以AB AC BC AD 2 在Rt ADB中 DE AB 由射影定理可得BD2 BE AB 同理CD2 CF AC 所以BD2 CD2 BE AB CF AC 又在Rt BAC中 AD BC 所以AD2 BD DC 所以AD4 BE AB CF AC 又AB AC BC AD 即AD3 BC CF BE 母題變式 1 本例中若AB 5 AD 4 求AC的長 解析 由AB 5 AD 4 得BD 3 又AB2 BD BC 所以BC 所以AC 2 本例中若BD DC 1 2 試判斷E F的位置 解析 顯然Rt ABC Rt DBA Rt DAC 根據(jù)相似三角形的性質(zhì) E F也是BA AC的三等分點 即 規(guī)律方法 射影定理的應用技巧 1 要注意將 等積式 轉(zhuǎn)化為相似三角形中的 比例式 或?qū)?比例式 轉(zhuǎn)化為 等積式 2 證題時 要注意作垂線構(gòu)造直角三角形 確定直角邊與其射影 這是解直角三角形時常用的方法 3 注意射影定理與勾股定理的結(jié)合應用 易錯提醒 對于直角三角形 射影定理一定成立 但滿足該結(jié)論的三角形不一定是直角三角形 變式訓練 如圖所示 AD BE是 ABC的兩條高 DF AB 垂足為點F 直線FD交BE于點G 交AC的延長線于點H 求證 DF2 GF HF 證明 因為 H BAC 90 GBF BAC 90 所以 H GBF 因為 AFH GFB 90 所以 AFH GFB 所以 所以AF BF GF HF 因為在Rt ABD中 FD AB 所以DF2 AF BF 所以DF2 GF HF 加固訓練 1 如圖 在 ABC中 點D F分別在AC BC上 且AB AC AF BC BD DC FC 1 求AC 解析 在 ABC中 設AC為x 因為AB AC AF BC FC 1 根據(jù)射影定理得 AC2 FC BC 即BC x2 再由射影定理得 AF2 BF FC BC FC FC 所以AF 過點D作DE BC于點E 因為BD DC 1 所以BE EC 又因為AF BC 所以DE AF 所以所以DE 在Rt DEC中 因為DE2 EC2 DC2 即即 1 所以x 即AC 2 如圖所示 在 ABC中 CAB 90 AD BC于點D BE是 ABC的平分線 交AD于點F 求證 證明 因為BE是 ABC的平分線 所以 在Rt ABC中 由射影定理知 AB2 BD BC 即 由 得 由 得