高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 幾何證明選講 1 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)課件(理) 選修4-1.ppt

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選修4 1幾何證明選講第一節(jié)相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 知識梳理 1 平行線等分線段定理及其推論 相等 平分第三邊 平分另一腰 2 平行線分線段成比例定理及其推論 所得的對應(yīng)線 段成比例 所得的對應(yīng)線 段成比例 3 相似三角形的判定及性質(zhì) 1 相似三角形的定義 對應(yīng)角 對應(yīng)邊 的兩個(gè)三角形叫做相似三角形 相似三角形 的比值叫做相似比 或相似系數(shù) 2 預(yù)備定理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊 或兩邊的延長線 所構(gòu)成的三角形與原三角形 相等 成比例 對應(yīng)邊 相交 相似 3 判定及性質(zhì) 相等 成比例 相等 成比例 相等 成比例 成比例 相似比 相似比的平方 4 直角三角形的射影定理定理 直角三角形斜邊上的高是 的比例中項(xiàng) 兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的 兩直角邊在斜邊上射影 比例中項(xiàng) 特別提醒 1 把平行線分線段成比例定理的推論中的題設(shè)和結(jié)論交換之后 命題仍然成立 2 應(yīng)用三角形相似的性質(zhì)時(shí)易出現(xiàn)對應(yīng)線段對應(yīng)錯(cuò)誤 可以根據(jù)相等的角去找 考向一平行線分線段成比例定理 典例1 2016 太原模擬 如圖 在梯形ABCD中 AB CD AB 4 CD 2 點(diǎn)E F分別為AD BC上的點(diǎn) 且EF 3 EF AB 求梯形ABFE與梯形EFCD的面積比 解題導(dǎo)引 利用平行線分線段成比例定理確定兩個(gè)梯形的高之間的關(guān)系 再確定兩梯形的面積比 規(guī)范解答 如圖 延長AD BC交于一點(diǎn)O 作OH AB于點(diǎn)H 所以 得x 2h1 得h1 h2 所以S梯形ABFE 3 4 h2 h2 S梯形EFCD 2 3 h1 h1 所以S梯形ABFE S梯形EFCD 7 5 規(guī)律方法 平行線分線段成比例定理的作用及應(yīng)用技巧 1 作用 可以判定線段成比例 當(dāng)不能直接證明要證的比例成立時(shí) 常用這個(gè)定理將兩條線段的比轉(zhuǎn)化為另外兩條線段的比 2 應(yīng)用技巧 利用定理來計(jì)算或證明時(shí) 首先要觀察平行線組 再確定所截直線 進(jìn)而確定比例線段及比例式 同時(shí)注意合比性質(zhì) 等比性質(zhì)的運(yùn)用 在應(yīng)用推論時(shí) 一定要明確哪一條線段平行于三角形的一邊 是否過一邊的中點(diǎn) 變式訓(xùn)練 如圖 在 ABC中 DE BC DF AC AE AC 3 5 DE 6 求BF的長 解析 由DE BC 得因?yàn)镈E 6 所以BC 10 又DF AC 所以 所以BF 4 加固訓(xùn)練 1 如圖 點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊AB延長線上一點(diǎn) 且DC BE 3 2 求AD BF的值 解析 因?yàn)辄c(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊AB延長線上一點(diǎn) 且DC BE 3 2 則利用相似比得到AD BF 5 2 2 如圖所示 在 ABC中 AE EB 1 3 BD DC 2 1 AD與CE相交于點(diǎn)F 求的值 解析 過點(diǎn)D作DG AB交EC于點(diǎn)G 則 而即 所以AE DG 從而有AF DF EF FG CG 故 考向二相似三角形的判定與性質(zhì) 典例2 2016 信陽模擬 如圖 在 ABC中 點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn) 且AD AC DE BC DE與AB相交于點(diǎn)E EC與AD相交于點(diǎn)F 1 求證 ABC FCD 2 若S FCD 5 BC 10 求DE的長 解題導(dǎo)引 1 利用 BEC和 ADC都是等腰三角形 從而底角分別相等證明 2 利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求出 ABC的面積 再通過過點(diǎn)A作BC的垂線利用平行線分線段成比例求解 規(guī)范解答 1 因?yàn)镈E BC 點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn) 所以EB EC 所以 B ECD 又AD AC 所以 ADC ACD 所以 ABC FCD 2 過點(diǎn)A作AM BC 垂足為點(diǎn)M 因?yàn)?ABC FCD BC 2CD 所以又因?yàn)镾 FCD 5 所以S ABC 20 又S ABC BC AM 10 AM 20 解得AM 4 又DE AM 所以因?yàn)镈M DC BM BD DM 5 所以 解得DE 規(guī)律方法 1 證明相似三角形的一般思路 1 先找兩對內(nèi)角對應(yīng)相等 2 若只有一個(gè)角對應(yīng)相等 再判定這個(gè)角的兩鄰邊是否對應(yīng)成比例 3 若無角對應(yīng)相等 就要證明三邊對應(yīng)成比例 2 相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用 1 可用來證明線段成比例 角相等 可間接證明線段相等 由相似三角形構(gòu)造成比例線段時(shí) 可以利用等角所對的邊對應(yīng)成比例構(gòu)造等式 避免邊與邊的對應(yīng)出錯(cuò) 2 求解線段長度問題 充分利用所求線段與已知線段長度之間的關(guān)系 化歸到相應(yīng)三角形中 通過構(gòu)造相似三角形求解 變式訓(xùn)練 2016 商丘模擬 如圖 在 ABC中 BC AC 點(diǎn)D在BC上 且DC AC ACB的平分線CF交AD于點(diǎn)F 點(diǎn)E是AB的中點(diǎn) 連接EF 1 求證 EF BC 2 若四邊形BDFE的面積為6 求 ABD的面積 解析 1 因?yàn)镃F平分 ACB 所以 ACF DCF 又因?yàn)镈C AC 所以CF是 ACD的中線 所以點(diǎn)F是AD的中點(diǎn) 因?yàn)辄c(diǎn)E是AB的中點(diǎn) 所以EF BD 即EF BC 2 由 1 知 EF BD 所以 AEF ABD 所以又因?yàn)锳E AB S AEF S ABD S四邊形BDFE S ABD 6 所以 所以S ABD 8 所以 ABD的面積為8 加固訓(xùn)練 1 如圖 在 ABC中 點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn) 點(diǎn)E為AD上的一點(diǎn) 延長BE交AC于點(diǎn)F 若 求的值 解析 如圖 過點(diǎn)A作AG BC 交BF的延長線于點(diǎn)G 則 AGE DBE AGF CBF 因?yàn)?所以所以 因?yàn)辄c(diǎn)D為BC的中點(diǎn) 所以BC 2BD 所以所以所以 2 2016 鄭州模擬 如圖 在正方形ABCD中 點(diǎn)P是BC上的點(diǎn) 且BP 3PC 點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn) 求證 ADQ QCP 證明 在正方形ABCD中 因?yàn)镼是CD的中點(diǎn) 所以 2 因?yàn)?3 所以 4 又因?yàn)锽C 2DQ 所以 2 在 ADQ和 QCP中 且 D C 90 所以 ADQ QCP 考向三直角三角形中的射影定理 典例3 如圖 在Rt ABC中 BAC 90 AD BC于點(diǎn)D DF AC于點(diǎn)F DE AB于點(diǎn)E 求證 1 AB AC BC AD 2 AD3 BC CF BE 解題導(dǎo)引 1 可以利用Rt ABC的面積的兩種表示證明 2 分別在Rt ADB Rt ACD和Rt BAC中利用射影定理后進(jìn)行等量代換 規(guī)范解答 1 在Rt ABC中 AD BC 所以S ABC AB AC BC AD 所以AB AC BC AD 2 在Rt ADB中 DE AB 由射影定理可得BD2 BE AB 同理CD2 CF AC 所以BD2 CD2 BE AB CF AC 又在Rt BAC中 AD BC 所以AD2 BD DC 所以AD4 BE AB CF AC 又AB AC BC AD 即AD3 BC CF BE 母題變式 1 本例中若AB 5 AD 4 求AC的長 解析 由AB 5 AD 4 得BD 3 又AB2 BD BC 所以BC 所以AC 2 本例中若BD DC 1 2 試判斷E F的位置 解析 顯然Rt ABC Rt DBA Rt DAC 根據(jù)相似三角形的性質(zhì) E F也是BA AC的三等分點(diǎn) 即 規(guī)律方法 射影定理的應(yīng)用技巧 1 要注意將 等積式 轉(zhuǎn)化為相似三角形中的 比例式 或?qū)?比例式 轉(zhuǎn)化為 等積式 2 證題時(shí) 要注意作垂線構(gòu)造直角三角形 確定直角邊與其射影 這是解直角三角形時(shí)常用的方法 3 注意射影定理與勾股定理的結(jié)合應(yīng)用 易錯(cuò)提醒 對于直角三角形 射影定理一定成立 但滿足該結(jié)論的三角形不一定是直角三角形 變式訓(xùn)練 如圖所示 AD BE是 ABC的兩條高 DF AB 垂足為點(diǎn)F 直線FD交BE于點(diǎn)G 交AC的延長線于點(diǎn)H 求證 DF2 GF HF 證明 因?yàn)?H BAC 90 GBF BAC 90 所以 H GBF 因?yàn)?AFH GFB 90 所以 AFH GFB 所以 所以AF BF GF HF 因?yàn)樵赗t ABD中 FD AB 所以DF2 AF BF 所以DF2 GF HF 加固訓(xùn)練 1 如圖 在 ABC中 點(diǎn)D F分別在AC BC上 且AB AC AF BC BD DC FC 1 求AC 解析 在 ABC中 設(shè)AC為x 因?yàn)锳B AC AF BC FC 1 根據(jù)射影定理得 AC2 FC BC 即BC x2 再由射影定理得 AF2 BF FC BC FC FC 所以AF 過點(diǎn)D作DE BC于點(diǎn)E 因?yàn)锽D DC 1 所以BE EC 又因?yàn)锳F BC 所以DE AF 所以所以DE 在Rt DEC中 因?yàn)镈E2 EC2 DC2 即即 1 所以x 即AC 2 如圖所示 在 ABC中 CAB 90 AD BC于點(diǎn)D BE是 ABC的平分線 交AD于點(diǎn)F 求證 證明 因?yàn)锽E是 ABC的平分線 所以 在Rt ABC中 由射影定理知 AB2 BD BC 即 由 得 由 得