有限元法ppt課件

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工程有限單元法 1 課程介紹 一 課程內(nèi)容 1 有限元法理論基礎(chǔ) 2 有限元軟件ANSYS應(yīng)用 二 學(xué)習(xí)方法 理論與實(shí)踐相結(jié)合 即通過(guò)應(yīng)用有限元分析實(shí)際問(wèn)題來(lái)掌握有限元理論 三 學(xué)時(shí)數(shù) 36學(xué)時(shí) 理論學(xué)時(shí) 上機(jī)學(xué)時(shí) 四 考核方式 平時(shí)成績(jī) 報(bào)告成績(jī) 工程有限單元法 2 第一章概述 1 1有限元法概述有限元法誕生于20世紀(jì)中葉 隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和計(jì)算方法的發(fā)展 已成為計(jì)算力學(xué)和計(jì)算工程科學(xué)領(lǐng)域里最為有效的方法 它幾乎適用于求解所有連續(xù)介質(zhì)和場(chǎng)的問(wèn)題 工程有限單元法 3 一 什么是有限元法 有限元法是將連續(xù)體理想化為有限個(gè)單元集合而成 這些單元僅在有限個(gè)節(jié)點(diǎn)上相連接 即用有限個(gè)單元的集合來(lái)代替原來(lái)具有無(wú)限個(gè)自由度的連續(xù)體 工程有限單元法 4 有限元方法是分析連續(xù)體的一種很有效的近似計(jì)算方法 是計(jì)算機(jī)問(wèn)世以后迅速發(fā)展起來(lái)的一種廣泛用于工程結(jié)構(gòu)建模與分析的方法 說(shuō)明工程實(shí)際問(wèn)題與計(jì)算方法息息相關(guān) 自然現(xiàn)象的背后都對(duì)應(yīng)有相關(guān)的物理本質(zhì)與事物規(guī)律 用數(shù)學(xué)方法對(duì)物理本質(zhì)與事物規(guī)律進(jìn)行描述可以得到普適性定律和特定性定理 以及各種形式的 如代數(shù) 微分或積分 數(shù)學(xué)方程 即數(shù)學(xué)模型 工程有限單元法 5 對(duì)于一個(gè)實(shí)際的工程問(wèn)題 建立數(shù)學(xué)模型時(shí) 不僅需要根據(jù)實(shí)際物理背景采用有效的數(shù)學(xué)方法 還要考慮求解的效率 結(jié)果的精度以及方法的適用性等因素 即分析方法 常用的分析方法有 1 對(duì)線性的 邊界規(guī)則的簡(jiǎn)單問(wèn)題 一般可以利用解析法 得到精確解 2 對(duì)于許多實(shí)際工程問(wèn)題 由于研究系統(tǒng)的龐大 使得微分方程 邊界和初始條件的復(fù)雜性大大增加 一般難以得到它的精確解 對(duì)非線性的 邊界不規(guī)則等問(wèn)題 一般不存在精確的解析解 只能利用數(shù)值法 如 有限差分法FDM 有限元方法FEM等 得到近似解 工程有限單元法 6 有限元方法的發(fā)展 首先 有限元方法在航空結(jié)構(gòu)分析中取得了明顯的成效1941年 Hrenikoff利用框架分析法 frameworkmethod 分析平面彈性體 將平面彈性體描述為桿和梁的組合體 1943年 Courant在采用三角形單元及最小勢(shì)能原理研究扭轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí) 利用分片連續(xù)函數(shù)在子域中近似描述未知函數(shù)此后 有限元方法在固體力學(xué) 溫度場(chǎng)和溫升應(yīng)力 流體力學(xué) 流固耦合 水彈性 問(wèn)題 均有發(fā)展 工程有限單元法 7 現(xiàn)如今 有限元法廣泛應(yīng)用于航空航天 汽車工業(yè) 橋梁 建筑 電子產(chǎn)品 重型機(jī)械 微機(jī)電系統(tǒng) 生物醫(yī)學(xué)等設(shè)計(jì)過(guò)程中的結(jié)構(gòu)與力學(xué)分析 實(shí)例1 EMA 火箭發(fā)動(dòng)機(jī) 衛(wèi)星 雷達(dá) 工程有限單元法 8 實(shí)例2 汽車 工程機(jī)械 工程有限單元法 9 工程有限單元法 10 工程有限單元法 11 二 有限元法的基本思想 有限元法的基本思想是 分與合 分 是為了劃分單元 進(jìn)行單元分析 合 則是為了集合單元 對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行綜合分析 結(jié)構(gòu)離散 單元分析 整體求解 工程有限單元法 12 2 1有限元法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程 工程有限單元法 13 1 對(duì)象離散化當(dāng)研究對(duì)象為連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題時(shí) 首先需要將所研究的對(duì)象進(jìn)行合理的離散化分割 即根據(jù)精度預(yù)期或經(jīng)驗(yàn)將連續(xù)問(wèn)題進(jìn)行有限元分割 2 單元分析有限元方法的核心工作是單元分析 通過(guò)分析各單元的結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系和邊界條件 以便建立單元?jiǎng)偠染仃?3 構(gòu)造總體方程將單元?jiǎng)偠染仃嚱M成總體方程剛度矩陣 且總體方程應(yīng)滿足相鄰單元在公共結(jié)點(diǎn)上的位移協(xié)調(diào)條件 即整個(gè)結(jié)構(gòu)的所有結(jié)點(diǎn)載荷與結(jié)點(diǎn)位移之間應(yīng)存在相互的變量關(guān)系 工程有限單元法 14 4 解總體方程在求解有限元模型時(shí) 應(yīng)考慮總體剛度方程中引入的邊界條件 以便得到符合實(shí)際情況的唯一解 5 輸出結(jié)果有限元模型求解結(jié)束后 可通過(guò)數(shù)值解序列或由其構(gòu)成的圖形顯示研究對(duì)象的物理結(jié)構(gòu)變形情況以及各種物理量間的變化關(guān)系 如通過(guò)列表顯示各種數(shù)據(jù)信息 用等值線分布圖顯示等受力點(diǎn) 或動(dòng)畫顯示各種量的變化過(guò)程 工程有限單元法 15 1 直接方法直接方法是指直接從結(jié)構(gòu)力學(xué)引伸得到 直接方法具有簡(jiǎn)單 物理意義明確 易于理解等特點(diǎn) 2 變分方法變分方法是一種最常用的方法之一 主要用于線性問(wèn)題的模型建立 3 加權(quán)殘值法對(duì)于線性自共軛形式方程 加權(quán)殘值法可得到和變分法相同的結(jié)果 如得到一個(gè)對(duì)稱的剛度矩陣 對(duì)于那些 能量泛函 不存在的問(wèn)題 主要是一些非線性問(wèn)題和依賴于時(shí)間的問(wèn)題 加權(quán)殘值法是一種很有效的方法 2 2建立有限元方程的常用方法 工程有限單元法 16 通常 實(shí)際工程問(wèn)題可分為線性問(wèn)題和非線性問(wèn)題 邊界規(guī)則與不規(guī)則問(wèn)題 有限元法其實(shí)是非線性問(wèn)題 如圖右所示 2 3有限元法與工程求解問(wèn)題的關(guān)系 工程有限單元法 17 三 有限元法的基本步驟 無(wú)論對(duì)于什么樣的結(jié)構(gòu) 有限元分析過(guò)程都是類似的 其基本步驟為 1 研究分析結(jié)構(gòu)的特點(diǎn) 包括結(jié)構(gòu)形狀與邊界 載荷工況等 2 將連續(xù)體劃分成有限單元 形成計(jì)算模型 包括確定單元類型與邊界條件 材料特性等 工程有限單元法 18 3 以單元節(jié)點(diǎn)位移作為未知量 選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)來(lái)表示單元中的位移 再用位移函數(shù)求單元中的應(yīng)變 根據(jù)材料的物理關(guān)系 把單元中的應(yīng)力也用位移函數(shù)表示出來(lái) 最后將作用在單元上的載荷轉(zhuǎn)化成作用在單元上的等效節(jié)點(diǎn)力 建立單元等效節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系 這一過(guò)程就是單元特性分析 工程有限單元法 19 4 利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個(gè)單元按原來(lái)的結(jié)構(gòu)重新連接起來(lái) 集合成整體的有限元方程 求解出節(jié)點(diǎn)位移 重點(diǎn) 對(duì)于不同的結(jié)構(gòu) 要采用不同的單元 但各種單元的分析方法又是一致的 工程有限單元法 20 四 有限元法的學(xué)習(xí)路線 從最簡(jiǎn)單的平面結(jié)構(gòu)入手 由淺入深 介紹有限元理論及其相關(guān)應(yīng)用 工程有限單元法 21 五 有限元法的發(fā)展與應(yīng)用 有限元法不僅能應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析 還能解決歸結(jié)為場(chǎng)問(wèn)題的工程問(wèn)題 從二十世紀(jì)六十年代中期以來(lái) 有限元法得到了巨大的發(fā)展 為工程設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了有力的工具 工程有限單元法 22 一 算法與有限元軟件 從二十世紀(jì)60年代中期以來(lái) 進(jìn)行了大量的理論研究 不但拓展了有限元法的應(yīng)用領(lǐng)域 還開(kāi)發(fā)了許多通用或?qū)Ｓ玫挠邢拊治鲕浖?理論研究的一個(gè)重要領(lǐng)域是計(jì)算方法的研究 主要有 大型線性方程組的解法 非線性問(wèn)題的解法 工程有限單元法 23 目前應(yīng)用較多的通用有限元軟件如下表 另外還有許多針對(duì)某類問(wèn)題的專用有限元軟件 例如金屬成形分析軟件Deform Autoform 焊接與熱處理分析軟件SysWeld等 工程有限單元法 24 二 應(yīng)用實(shí)例 有限元法已經(jīng)成功地應(yīng)用在以下一些領(lǐng)域 固體力學(xué) 包括強(qiáng)度 穩(wěn)定性 震動(dòng)和瞬態(tài)問(wèn)題的分析 傳熱學(xué) 電磁場(chǎng) 流體力學(xué) 工程有限單元法 25 轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)支架的強(qiáng)度分析 劉道勇 東風(fēng)汽車工程研究院動(dòng) 用MSC Nastran完成 工程有限單元法 26 基于ANSYS的齒輪嚙合仿真 工程有限單元法 27 第2章彈性力學(xué)基本方程及平面問(wèn)題的有限元法 工程有限單元法 28 2 1彈性力學(xué)簡(jiǎn)介 本課程中的有限單元法理論要用到彈性力學(xué)的某些基本概念和基本方程 將簡(jiǎn)單介紹這些概念和方程 作為彈性力學(xué)有限單元法的預(yù)備知識(shí) 工程有限單元法 29 彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué) 1 研究的內(nèi)容 基本上沒(méi)有什么區(qū)別 彈性力學(xué)也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運(yùn)動(dòng) 以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變形 2 研究的對(duì)象 有相同也有區(qū)別 材料力學(xué)基本上只研究桿 梁 柱 軸等桿狀構(gòu)件 即長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于寬度和厚度的構(gòu)件 彈性力學(xué)雖然也研究桿狀構(gòu)件 但還研究材料力學(xué)無(wú)法研究的板與殼及其它實(shí)體結(jié)構(gòu) 即兩個(gè)尺寸遠(yuǎn)大于第三個(gè)尺寸 或三個(gè)尺寸相當(dāng)?shù)臉?gòu)件 工程有限單元法 30 彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué) 3 研究的方法 有較大的區(qū)別 雖然都從靜力學(xué) 幾何學(xué)與物理學(xué)三方面進(jìn)行研究 但是在建立這三方面條件時(shí) 采用了不同的分析方法 材料力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的整個(gè)截面來(lái)建立這些條件的 因而要常常引用一些截面的變形狀況或應(yīng)力情況的假設(shè) 這樣雖然大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)推演 但是得出的結(jié)果往往是近似的 而不是精確的 而彈性力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的無(wú)限小單元體來(lái)建立這些條件的 因而無(wú)須引用那些假設(shè) 分析的方法比較嚴(yán)密 得出的結(jié)論也比較精確 所以 我們可以用彈性力學(xué)的解答來(lái)估計(jì)材料力學(xué)解答的精確程度 并確定它們的適用范圍 工程有限單元法 31 彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué) 例如 材料力學(xué)在研究有孔的拉伸構(gòu)件通常就假定拉應(yīng)力在凈截?cái)嗝婢鶆蚍植?工程有限單元法 32 彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué) 總之 彈性力學(xué)與材料力學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別 它們都同屬于固體力學(xué)領(lǐng)域 但彈性力學(xué)比材料力學(xué) 研究的對(duì)象更普遍 分析的方法更嚴(yán)密 研究的結(jié)果更精確 因而應(yīng)用的范圍更廣泛 但是 彈性力學(xué)也有其固有的弱點(diǎn) 由于研究對(duì)象的變形狀態(tài)較復(fù)雜 處理的方法又較嚴(yán)謹(jǐn) 因而解算問(wèn)題時(shí) 往往需要冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算 但為了簡(jiǎn)化計(jì)算 便于數(shù)學(xué)處理 它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定 工程有限單元法 33 彈性力學(xué)基本方程 一 彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念 1 體力 是分布于物體體積內(nèi)的外力 如重力 磁力 慣性力等 單位體積內(nèi)的體力亦可分解為三個(gè)成分 用記號(hào)X Y Z表示 2 面力 是分布于物體表面的力 如靜水壓力 一物體與另一物體之間的接觸壓力等 單位面積上的表面力通常分解為平行于座標(biāo)軸的三個(gè)成分 用記號(hào)來(lái)表示 工程有限單元法 34 3 內(nèi)力 平均應(yīng)力和應(yīng)力 1 內(nèi)力 Internalforces 是物體本身不同部分之間相互作用的力 2 平均應(yīng)力 theaveragestress 設(shè)作用在包含P點(diǎn)某一個(gè)截面mn上的單元面積 elementaryarea A上的力為 F 則 F A稱為 A上的平均應(yīng)力 3 應(yīng)力 如果假設(shè)內(nèi)力分布連續(xù) 命 A無(wú)限減小并趨向P點(diǎn) 則 F A將趨向一個(gè)極限p 這個(gè)極限P就叫做物體在截面mn上 在P點(diǎn)的應(yīng)力 彈性體受外力以后 其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力 工程有限單元法 35 內(nèi)力 平均應(yīng)力和應(yīng)力的概念 工程有限單元法 36 4 正應(yīng)力和切應(yīng)力的概念正應(yīng)力 應(yīng)力在作用截面法線方向的分量 切應(yīng)力 應(yīng)力在作用截面切線方向的分量 正平行六面體應(yīng)力 從物體中取出一個(gè)微小的正平行六面體 它的棱邊分別平行于三個(gè)坐標(biāo)軸 長(zhǎng)度分別為dx dy dz 正平行六面體應(yīng)力如圖所示 工程有限單元法 37 1 應(yīng)力的表示正應(yīng)力用 表示 它的下標(biāo)表示作用方向 如 x表示正應(yīng)力沿著x方向 剪應(yīng)力用 表示 它有兩個(gè)下標(biāo) 例如 xy表示剪應(yīng)力作用在垂直x軸的平面上 但沿著y方向 2 應(yīng)力的符號(hào)如果一個(gè)截面的外法線沿著坐標(biāo)軸的正方向 這個(gè)面就稱為正面 這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿著坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?沿著坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù) 工程有限單元法 38 這個(gè)應(yīng)力符號(hào)的規(guī)定與材料力學(xué)的不同 在材料力學(xué)中 正應(yīng)力的符號(hào)為拉為正 壓為負(fù) 而剪應(yīng)力為正面向下的為正 負(fù)面向上為正 或用右手法則確定 右手姆指沿面的外法線時(shí) 其余四個(gè)手指反時(shí)針為正 順時(shí)針為負(fù) 材料力學(xué)中正的剪應(yīng)力 彈性力學(xué)中正的剪應(yīng)力 工程有限單元法 39 剪應(yīng)力互等定律作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力是互等的 大小相等 正負(fù)號(hào)也相同 因此剪應(yīng)力記號(hào)的兩個(gè)角碼可以對(duì)調(diào) 工程有限單元法 40 可以證明 如果這六個(gè)量在P點(diǎn)是已知的 就可以求得經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任何面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力 因此 這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 它們就稱為在該點(diǎn)的應(yīng)力分量 一般說(shuō)來(lái) 彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都不相同 因此 描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個(gè)應(yīng)力分量并不是常量 而是坐標(biāo)x y z的函數(shù) 六個(gè)應(yīng)力分量的總體 可以用一個(gè)列矩陣來(lái)表示 工程有限單元法 41 5 形變和正應(yīng)變 剪應(yīng)變的概念 1 形變 形狀的改變 它包含長(zhǎng)度和角度的改變 2 正應(yīng)變 各線段單位長(zhǎng)度的伸縮 以伸長(zhǎng)為正 縮短為負(fù) 3 剪應(yīng)變 各線段之間的直角的改變 6 位移是指位置的移動(dòng) 它在x y和z軸上的投影用u v和w 來(lái)表示 它的符號(hào)是沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?沿坐標(biāo)軸負(fù)向?yàn)樨?fù) 工程有限單元法 42 二 彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的基本假定 1 連續(xù)性 假定物體是連續(xù) 即整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿 不留任何空隙 這樣 物體內(nèi)的物理量 例如應(yīng)力形變和應(yīng)變 才可能是連續(xù)的 才可以用連續(xù)函數(shù)來(lái)表示 2 完全彈性 假定物體是完全彈性的 所謂彈性 是指物體在引起形變的外力被除去以后能恢復(fù)原形的性質(zhì) 而完全彈性是指物體能完全恢復(fù)原形而沒(méi)有任何剩余變形 3 均勻性 假定物體是均勻的 整個(gè)物體由同一材料組成 4 各向同性 假定物體是各向同性的 即物體的彈性性質(zhì)在所有各個(gè)方向都相同 符合以上四個(gè)假定的物體 稱為理想彈性體 工程有限單元法 43 5 小變形假定 假定物體的位移和形變是微小的 即物體的位移遠(yuǎn)小于物體原來(lái)的尺寸 而且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1 因此 本課程所討論的問(wèn)題 都是理想彈性體的小變形問(wèn)題 工程有限單元法 44 三 彈性力學(xué)的研究方法 位移邊界條件 邊界條件 應(yīng)力邊界條件 工程有限單元法 45 彈性力學(xué)的基本變量 工程有限單元法 46 彈性力學(xué)的基本方程 平衡方程 由物體的受力平衡條件建立的方程 工程有限單元法 47 彈性力學(xué)的基本方程 幾何方程 由物體的受力變形后 各應(yīng)變分量和位移分量的關(guān)系建立的方程 工程有限單元法 48 彈性力學(xué)的基本方程 物理方程 由物體材料本身的物理特性建立的方程 其中E 彈性模量 泊松比 G 剪切彈性模量 且對(duì)各向同性材料 工程有限單元法 49 在限元法中 物理方程可表示為 工程有限單元法 50 彈性力學(xué)的基本方程 邊界條件 工程有限單元法 51 四 彈性力學(xué)問(wèn)題的解法 空間彈性力學(xué)問(wèn)題共有15個(gè)方程 3個(gè)平衡方程 6個(gè)幾何方程 6個(gè)物理方程 其中包括6個(gè)應(yīng)力分量 6個(gè)應(yīng)變分量 3個(gè)位移分量 共有15個(gè)未知函數(shù) 在給定邊界條件時(shí) 問(wèn)題是可解的 彈性力學(xué)問(wèn)題的提法是 給定作用在物理全部邊界或內(nèi)部的作用 求解物理由此產(chǎn)生的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng) 工程有限單元法 52 按照三種不同的邊界條件 彈性力學(xué)問(wèn)題可分為應(yīng)力邊界條件問(wèn)題 位移邊界問(wèn)題和混合邊界 由于有限元模型是對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)的反映 對(duì)有限元模型施加合適的載荷條件和邊界條件 是正確求解有限元解的關(guān)鍵 工程有限單元法 53 根據(jù)先求出的基本未知量的不同 彈性力學(xué)問(wèn)題有三種方法 1 應(yīng)力法 以應(yīng)力分量作為基本未知量 此時(shí)將一切未知量和基本方程都轉(zhuǎn)換為用應(yīng)力表示 求得應(yīng)力分量后 由物理方程求應(yīng)變分量 再由幾何方程求出位移分量 2 位移法 以位移分量作為基本未知量 此時(shí)將一切未知量和基本方程都轉(zhuǎn)換為用位移表示 求得位移分量后 用幾何方程求應(yīng)變分量 再由物理方程求應(yīng)力分量 目前 有限元法中多采用位移法的思想 3 混合法 采用各點(diǎn)的一部分位移分量和一部分應(yīng)力分量作為基本未知量 混合求解 工程有限單元法 54 五 虛功原理及虛功方程 圖1 8a示一平衡的杠桿 對(duì)C點(diǎn)寫力矩平衡方程 圖1 8b表示杠桿繞支點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的剛體位移圖 綜合可得 即 上式是以功的形式表述的 表明 圖a的平衡力系在圖b的位移上作功時(shí) 功的總和必須等于零 這就叫做虛功原理 55 虛功原理 進(jìn)一步分析 當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時(shí) 和這兩個(gè)位移是不存在的 但是如果某種原因 例如人為地振一下讓它傾斜 一定滿足上式的關(guān)系 將這個(gè)客觀存在的關(guān)系抽象成一個(gè)普遍的原理 去指導(dǎo)分析和計(jì)算結(jié)構(gòu) 對(duì)于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體 不用考慮它是否真正發(fā)生了位移 而假想它發(fā)生了位移 由于是假想 故稱為虛位移 那么 物體上所有的力在這個(gè)虛位移上的總功必定等于零 這就叫做虛位移原理 也稱虛功原理 在圖1 8a中的和所作的功就不是發(fā)生在它本身 狀態(tài)a 的位移上 因?yàn)樗旧硎瞧胶獾?不存在位移 而是在狀態(tài) b 的位移上作的功 可見(jiàn) 這個(gè)位移對(duì)于狀態(tài) a 來(lái)說(shuō)就是虛位移 亦即是狀態(tài) a 假象的位移 工程有限單元法 56 虛功原理 必須指出 虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的 它所涉及到的兩個(gè)方面 力和位移并不是隨意的 對(duì)于力來(lái)講 它必須是在位移過(guò)程中處于平衡的力系 對(duì)于位移來(lái)講 雖然是虛位移 但并不是可以任意發(fā)生的 它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移 還要注意 當(dāng)位移是在某個(gè)約束條件下發(fā)生時(shí) 則在該約束力方向的位移應(yīng)為零 因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零 這時(shí)該約束力叫做被動(dòng)力 如圖1 8中的反力 由于支點(diǎn)C沒(méi)有位移 故所作的虛功對(duì)于零 反之 如圖1 8中的和是在位移過(guò)程中作功的力 稱為主動(dòng)力 因此 在平衡力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動(dòng)力 哪些是被動(dòng)力 而在寫虛功方程時(shí) 只有主動(dòng)力作虛功 而被動(dòng)力是不作虛功的 工程有限單元法 57 虛功原理與虛功方程 虛功原理表述如下 在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系 當(dāng)發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時(shí) 體系上所有的主動(dòng)力在位移上所作的總功 各力所作的功的代數(shù)和 恒對(duì)于零 虛功原理用公式表示為 這就是虛功方程 其中P和相應(yīng)的代表力和虛位移 工程有限單元法 58 虛功原理 用于彈性體的情況 虛功方程是按剛體的情況得出的 即假設(shè)圖1 8的杠桿是絕對(duì)剛性 沒(méi)有任何的變形 因而在方程中沒(méi)有內(nèi)功項(xiàng)出現(xiàn) 而只有外功項(xiàng) 將虛功原理用于彈性變形時(shí) 總功W要包括外力功 T 和內(nèi)力功 U 兩部分 即 W T U 內(nèi)力功 U 前面有一負(fù)號(hào) 是由于彈性體在變形過(guò)程中 內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的 所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反 所以內(nèi)力功取負(fù)值 根據(jù)虛功原理 總功等于零得 T U 0外力虛功T 內(nèi)力虛功U彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為 在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體 如果發(fā)生了虛位移 那么所有的外力在虛位移上的虛功 外力功 等于整個(gè)彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功 內(nèi)力功 工程有限單元法 59 六 兩種平面問(wèn)題 彈性力學(xué)可分為空間問(wèn)題和平面問(wèn)題 嚴(yán)格地說(shuō) 任何一個(gè)彈性體都是空間物體 一般的外力都是空間力系 因而任何實(shí)際問(wèn)題都是空間問(wèn)題 都必須考慮所有的位移分量 應(yīng)變分量和應(yīng)力分量 但是 如果所考慮的彈性體具有特殊的形狀 并且承受的是特殊外力 就有可能把空間問(wèn)題簡(jiǎn)化為近似的平面問(wèn)題 只考慮部分的位移分量 應(yīng)變分量和應(yīng)力分量即可 平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題 工程有限單元法 60 平面應(yīng)力問(wèn)題 厚度為t的很薄的均勻木板 只在邊緣上受到平行于板面且不沿厚度變化的面力 同時(shí) 體力也平行于板面且不沿厚度變化 以薄板的中面為xy面 以垂直于中面的任一直線為Z軸 由于薄板兩表面上沒(méi)有垂直和平行于板面的外力 所以板面上各點(diǎn)均有 另外由于平板很薄 外力又不沿厚度變化 可認(rèn)為在整個(gè)薄板內(nèi)各點(diǎn)均有 于是 在六個(gè)應(yīng)力分量中 只需要研究剩下的平行于XOY平面的三個(gè)應(yīng)力分量 即 所以稱為平面應(yīng)力問(wèn)題 工程有限單元法 61 平面應(yīng)力問(wèn)題 應(yīng)力矩陣 1 2 可以簡(jiǎn)化為 工程有限單元法 62 物理方程 1 10 中后兩式可見(jiàn) 這時(shí)的剪應(yīng)變 由物理方程 1 10 中的第三式可見(jiàn) 一般 并不一定等于零 但可由及求得 在分析問(wèn)題時(shí)不必考慮 于是只需要考慮三個(gè)應(yīng)變分量即可 于是應(yīng)變矩陣 1 3 2 簡(jiǎn)化為 工程有限單元法 63 平面應(yīng)力問(wèn)題 物理方程 1 10 簡(jiǎn)化為 轉(zhuǎn)化成應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示的形式 工程有限單元法 64 平面應(yīng)力問(wèn)題 將 1 21 式用矩陣方程表示 它仍然可以簡(jiǎn)寫為 彈性矩陣 D 則簡(jiǎn)化為 工程有限單元法 65 平面應(yīng)力問(wèn)題 只有三個(gè)應(yīng)變分量需要考慮 所以幾何方程 1 3 簡(jiǎn)化為 工程有限單元法 66 平面應(yīng)力問(wèn)題 彈性體的虛功方程 1 17 簡(jiǎn)化為 工程有限單元法 67 平面應(yīng)變問(wèn)題 一縱向 即Z向 很長(zhǎng) 且沿橫截面不變的物體 受有平行于橫截面而且不沿長(zhǎng)度變化的面力和體力 如圖1 11所示 由于物體的縱向很長(zhǎng) 在力學(xué)上可近似地作為無(wú)限長(zhǎng)考慮 截面尺寸與外力又不沿長(zhǎng)度變化 當(dāng)以任一橫截面為xy面 任一縱線為Z軸時(shí) 則所有一切應(yīng)力分量 應(yīng)變分量和位移分量都不沿Z方向變化 它們都只是x和y的函數(shù) 此外 在這一情況下 由于對(duì)稱 任一橫截面都可以看作對(duì)稱面 所有各點(diǎn)都只會(huì)有x和y方向的位移而不會(huì)有Z方向的位移 即w 0因此 這種問(wèn)題稱為平面位移問(wèn)題 但習(xí)慣上常稱為平面應(yīng)變問(wèn)題 工程有限單元法 68 平面應(yīng)變問(wèn)題 既然w 0 而且u及v又只是x和y的函數(shù) 由幾何方程 1 3 1 可見(jiàn) 于是只剩下三個(gè)應(yīng)變分量 幾何方程仍然簡(jiǎn)化為方程 1 24 工程有限單元法 69 平面應(yīng)變問(wèn)題 因?yàn)橛晌锢矸匠?1 11 中后兩式可見(jiàn)又由物理方程 1 11 中的第三式可見(jiàn) 在平面應(yīng)變問(wèn)題中 雖然 但一般并不等于零 不過(guò)它可以由及求得 在分析問(wèn)題時(shí)不必考慮 于是也就只有三個(gè)應(yīng)力分量需要考慮 工程有限單元法 70 平面應(yīng)變問(wèn)題 物理方程 1 11 簡(jiǎn)化為 工程有限單元法 71 平面應(yīng)變問(wèn)題 將 1 25 式用矩陣方程表示 它仍然可以簡(jiǎn)寫為 彈性矩陣 D 則為 工程有限單元法 72 平面應(yīng)變問(wèn)題 平面應(yīng)變問(wèn)題 由于在Z方向沒(méi)有外力 應(yīng)力和應(yīng)變也不沿Z方向變化 所以虛功方程 1 25 仍然適用 其中的t可以取為任意數(shù)值 但必須是這個(gè)t范圍內(nèi)的外力 需要說(shuō)明一下 工程中有許多問(wèn)題很接近于平面應(yīng)變問(wèn)題 如受內(nèi)壓力的圓管 滾柱軸承中的滾柱等等 但它們的沿Z向長(zhǎng)度都不是無(wú)限長(zhǎng)的 故在靠近兩端的部分 其應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)比較復(fù)雜 并不符合平面應(yīng)變問(wèn)題的條件 因此將這類問(wèn)題當(dāng)作平面應(yīng)變問(wèn)題來(lái)考慮時(shí) 對(duì)于離開(kāi)兩端有一定距離的地方 得出的結(jié)果還是相當(dāng)滿意的 但對(duì)靠近兩端的部位 卻有較大的出入 往往需要加以處理 工程有限單元法 73 平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題 對(duì)于兩種平面問(wèn)題 幾何方程都是 1 24 虛功方程都是 1 25 物理方程都是 工程有限單元法 74 平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題 對(duì)于平面應(yīng)力情況下的彈性矩陣 應(yīng)該采用 1 23 式 而對(duì)于平面應(yīng)變則采用 1 28 式 還可注意 在 1 23 式中 若將E改換為 將改換為 就得出公式 1 28 工程有限單元法 75 平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題 在兩種平面問(wèn)題中 如果 則和1 3中 1 4 式相似 由幾何方程的積分得出 其中及分別代表彈性體沿x及y方向的剛體移動(dòng) 而代表彈性體繞Z軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng) 工程有限單元法 76 2 2平面問(wèn)題的有限元法 工程有限單元法 77 有限單元法的基本思路 1 把物體分成有限大小的單元 單元間用節(jié)點(diǎn)相連接 2 把單元節(jié)點(diǎn)的位移作為基本未知量 在單元內(nèi)的位移 設(shè)成線性函數(shù) 或其它函數(shù) 保證在單元內(nèi)和單元間位移連接 3 將節(jié)點(diǎn)的位移與節(jié)點(diǎn)的力聯(lián)系起來(lái) 4 列出節(jié)點(diǎn)的平衡方程 得出以節(jié)點(diǎn)位移表達(dá)的平衡方程組 5 求解代數(shù)方程組 得出各節(jié)點(diǎn)的位移 根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出各單元中的應(yīng)力 有限單元法的基本未知量是節(jié)點(diǎn)位移 用節(jié)點(diǎn)的平衡方程來(lái)求解 工程有限單元法 78 彈性力學(xué)平面問(wèn)題的有限單元法包括三個(gè)主要步驟 1 離散化2 單元分析3 單元綜合 1 離散化有限單元法的基礎(chǔ)是用所謂有限個(gè)單元的集合體來(lái)代替原來(lái)的連續(xù)體 因而必須將連續(xù)體簡(jiǎn)化為由有限個(gè)單元組成的離散體 對(duì)于平面問(wèn)題 最簡(jiǎn)單 因而最常用的單元是三角形單元 這些單元在節(jié)點(diǎn)處用鉸相連 荷載也移置到節(jié)點(diǎn)上 成為節(jié)點(diǎn)荷載 在節(jié)點(diǎn)位移或其某一分量可以不計(jì)之處 就在節(jié)點(diǎn)上安置一個(gè)鉸支座或相應(yīng)的連桿支座 工程有限單元法 79 2 單元分析對(duì)三角形單元 建立節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系 節(jié)點(diǎn)位移 節(jié)點(diǎn)力 80 2 單元分析 單元?jiǎng)偠染仃嚾」?jié)點(diǎn)位移作基本未知量 由節(jié)點(diǎn)位移求節(jié)點(diǎn)力 其中 轉(zhuǎn)換矩陣稱為單元?jiǎng)偠染仃?單元分析的主要目的就是要求出單元?jiǎng)偠染仃?單元分析的步驟可表示如下 工程有限單元法 81 3 單元綜合將離散化了的各個(gè)單元合成整體結(jié)構(gòu) 利用節(jié)點(diǎn)平衡方程求出節(jié)點(diǎn)位移 在位移法中 主要的任務(wù)是求出基本未知量 節(jié)點(diǎn)位移 為此需要建立節(jié)點(diǎn)的平衡方程 工程有限單元法 82 i點(diǎn)總的節(jié)點(diǎn)力應(yīng)為 根據(jù)節(jié)點(diǎn)的平衡條件 得單元e的節(jié)點(diǎn)力 可按式 2 2 用節(jié)點(diǎn)位移表示 代入得到用節(jié)點(diǎn)位移表示的平衡方程 每個(gè)可動(dòng)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)未知位移 有兩個(gè)平衡方程 所以方程總數(shù)與未知位移總數(shù)相等 可以求出所有的節(jié)點(diǎn)位移 單元綜合的目的就是要求出節(jié)點(diǎn)位移 節(jié)點(diǎn)位移求出后 可進(jìn)一步求出各單元的應(yīng)力 工程有限單元法 83 2 2 1平面問(wèn)題的離散化 對(duì)任何工程平面構(gòu)件進(jìn)行有限元分析 首先都是從簡(jiǎn)化其幾何形狀 繪出其平面簡(jiǎn)圖入手 連續(xù)體的離散化就是單元網(wǎng)格劃分 平面問(wèn)題中最常用的單元是三角形和矩形單元 總之 通過(guò)單元?jiǎng)澐?載荷移置以及約束簡(jiǎn)化 就形成了有限元模型 工程有限單元法 84 在劃分單元時(shí) 應(yīng)注意以下幾點(diǎn) 1 單元類型的選擇 主要取決于結(jié)構(gòu)的幾何形狀 施加的載荷類型和要求的計(jì)算精度 2 單元的大小 即網(wǎng)格的疏密 從有限元的理論上講 單元?jiǎng)澐衷郊?xì) 節(jié)點(diǎn)布置越多 計(jì)算結(jié)果精度越高 但相應(yīng)要求計(jì)算機(jī)容量也增大 計(jì)算時(shí)間也增加 3 單元有疏有密 對(duì)結(jié)構(gòu)的不同部位可采用不同大小的單元 4 不同厚度或不同材料處 應(yīng)取作為單元的邊界線 而且在該處附近的單元還應(yīng)劃分的小一些 以盡可能反映出邊線兩側(cè)應(yīng)力的突變情況 5 預(yù)留載荷位置 在分布載荷集度變化處和集中力作用處 應(yīng)布置節(jié)點(diǎn) 以利加載 并且其附近的單元也應(yīng)劃分的小些 以反映此處的應(yīng)力變化 工程有限單元法 85 2 2 2單元位移函數(shù) 如果彈性體的位移分量是坐標(biāo)的已知函數(shù) 則可用幾何方程求應(yīng)變分量 再?gòu)奈锢矸匠糖髴?yīng)力分量 但對(duì)一個(gè)連續(xù)體 內(nèi)部各點(diǎn)的位移變化情況很難用一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)描繪 有限單元法的基本原理是分塊近似 即將彈性體劃分成若干細(xì)小網(wǎng)格 在每一個(gè)單元范圍內(nèi) 內(nèi)部各點(diǎn)的位移變化情況可近似地用簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)描繪 對(duì)每個(gè)單元 可以假定一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù) 用它近似表示該單元的位移 這個(gè)函數(shù)稱為位移函數(shù) 或稱為位移模式 位移模型 位移場(chǎng) 對(duì)于平面問(wèn)題 單元位移函數(shù)可以用多項(xiàng)式表示 多項(xiàng)式中包含的項(xiàng)數(shù)越多 就越接近實(shí)際的位移分布 越精確 但選取多少項(xiàng)數(shù) 要受單元型式的限制 工程有限單元法 86 三節(jié)點(diǎn)三角形單元 六個(gè)節(jié)點(diǎn)位移只能確定六個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù) 所以平面問(wèn)題的3結(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)如下 所選用的這個(gè)位移函數(shù) 將單元內(nèi)部任一點(diǎn)的位移定為座標(biāo)的線性函數(shù) 位移模式很簡(jiǎn)單 位移函數(shù)寫成矩陣形式為 工程有限單元法 87 最終確定六個(gè)待定系數(shù) 工程有限單元法 88 令 下標(biāo)i j m輪換 簡(jiǎn)寫為 I 是單位矩陣 N 稱為形態(tài)矩陣 Ni稱為位移的形態(tài)函數(shù) 工程有限單元法 89 選擇單元位移函數(shù)時(shí) 應(yīng)當(dāng)保證有限元法解答的收斂性 即當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時(shí) 有限元法的解答應(yīng)當(dāng)收斂于問(wèn)題的正確解答 因此 選用的位移模式應(yīng)當(dāng)滿足下列兩方面的條件 1 必須能反映單元的剛體位移和常量應(yīng)變 6個(gè)參數(shù)到反映了三個(gè)剛體位移和三個(gè)常量應(yīng)變 2 必須保證相鄰單元在公共邊界處的位移連續(xù)性 線性函數(shù)的特性 工程有限單元法 90 例題 圖示等腰三角形單元 求其形態(tài)矩陣 N 工程有限單元法 91 由三角形的面積 工程有限單元法 92 本節(jié)利用幾何方程 物理方程 實(shí)現(xiàn)用結(jié)點(diǎn)位移表示單元的應(yīng)變和單元的應(yīng)力 用結(jié)點(diǎn)位移表示單元的應(yīng)變的表達(dá)式為 B 矩陣稱為幾何矩陣 2 2 3單元應(yīng)變和應(yīng)力 工程有限單元法 93 對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題 工程有限單元法 94 2 2 4單元?jiǎng)偠染仃?單元節(jié)點(diǎn)力與單元位移的關(guān)系式 稱為單元?jiǎng)偠确匠探M 工程有限單元法 95 單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì) 1 單元?jiǎng)偠染仃囍忻總€(gè)元素有明確的物理意義 2 剛度矩陣是對(duì)稱矩陣 3 剛度矩陣是奇異矩陣 另外 單元?jiǎng)偠染仃嚾Q于 1 單元的位移函數(shù) 2 單元的幾何參數(shù) 3 單元的材料性質(zhì) 工程有限單元法 96 2 2 5單元等效節(jié)點(diǎn)載荷 連續(xù)彈性體離散為單元組合體時(shí) 為簡(jiǎn)化受力情況 需把彈性體承受的任意分布的載荷都向節(jié)點(diǎn)移置 分解 而成為結(jié)點(diǎn)載荷 如果彈性體受承受的載荷全都是集中力 則將所有集中力的作用點(diǎn)取為節(jié)點(diǎn) 就不存在移置的問(wèn)題 集中力就是節(jié)點(diǎn)載荷 但實(shí)際問(wèn)題往往受有分布的面力和體力 都不可能只作用在節(jié)點(diǎn)上 因此 必須進(jìn)行載荷移置 如果集中力的作用點(diǎn)未被取為節(jié)點(diǎn) 該集中力也要向結(jié)節(jié)移置 將載荷移置到節(jié)點(diǎn)上 必須遵循靜力等效的原則 靜力等效是指原載荷與節(jié)點(diǎn)載荷在任意虛位移上做的虛功相等 在一定的位移模式下 移置結(jié)果是唯一的 且總能符合靜力等效原則 工程有限單元法 97 在線性位移模式下 對(duì)于常見(jiàn)的一些載荷 可以通過(guò)簡(jiǎn)單的虛功計(jì)算 得出所需的載荷列矩陣 均質(zhì)等厚度的三角形單元所受的重力 把1 3的重力移到每個(gè)節(jié)點(diǎn) 工程有限單元法 98 例 總載荷的2 3移置到節(jié)點(diǎn)i 1 3移置到節(jié)點(diǎn)j 與原載荷同向 工程有限單元法 99 載荷向節(jié)點(diǎn)的移置 可以用普遍公式來(lái)表示 體力的移置分布面力的移置在線性位移模式下 用直接計(jì)算法簡(jiǎn)單 非線性模式下 要用普遍公式計(jì)算 工程有限單元法 100 2 2 6總剛度矩陣 K 為總剛度矩陣 R 為節(jié)點(diǎn)力分量矩陣 為節(jié)點(diǎn)位移分量矩陣 總剛度矩陣性質(zhì) 1 總剛度矩陣也是對(duì)稱矩陣 2 總剛度矩陣呈稀疏帶狀分布 3 總剛度矩陣奇異矩陣 工程有限單元法 101 2 2 7邊界約束條件 有限元法中通常采用兩種方法 劃行劃行法和乘大數(shù)法 其中前者適用于簡(jiǎn)單的手算練習(xí) 后者適合于實(shí)際問(wèn)題的計(jì)算機(jī)處理 工程有限單元法 102 2 2 8解題步驟與算例 有限元法的一般分析步驟如下 1 首先繪出結(jié)構(gòu)的幾何簡(jiǎn)圖 在此基礎(chǔ)上將結(jié)構(gòu)離散 2 其次進(jìn)行單元分析 3 組集總剛度矩陣 4 最終求單元應(yīng)力和節(jié)點(diǎn)應(yīng)力 工程有限單元法 103 算例講解 P27 工程有限單元法 104 2 2 9計(jì)算結(jié)果處理 有限元中計(jì)算結(jié)果主要包括位移和應(yīng)力兩方面 其中位移可根據(jù)計(jì)算結(jié)果中的節(jié)點(diǎn)位移分量畫出結(jié)構(gòu)的位移圖 而對(duì)于應(yīng)力計(jì)算結(jié)果必須進(jìn)行整理 方法有 1 形心法 2 繞節(jié)點(diǎn)法 3 二單元法 工程有限單元法 105 2 2 10平面高階單元 為了提高有限元法計(jì)算結(jié)果的精度 除了增加單元數(shù)目外 還常采用具有較高次位移函數(shù)的單元 即高階單元 常用的四節(jié)點(diǎn)矩形單元和六節(jié)點(diǎn)三角形單元 工程有限單元法 106 1 四節(jié)點(diǎn)任意四邊形等參數(shù)單元 任意四結(jié)點(diǎn)四邊形單元 四結(jié)點(diǎn)正方形單元 工程有限單元法 107 1 八節(jié)點(diǎn)任意四邊形等參數(shù)單元 四邊形八結(jié)點(diǎn)單元 八結(jié)點(diǎn)基本單元 工程有限單元法 108 3 應(yīng)用等參單元應(yīng)注意以下幾點(diǎn)問(wèn)題 1 各向長(zhǎng)度的相對(duì)大小 單元長(zhǎng)度之比不宜相差太大 接近正方形的單元誤差最小 長(zhǎng)寬比很大 誤差也很大 2 棱邊的曲折 應(yīng)使單元邊上沒(méi)有折點(diǎn) 如邊上不可避免有折點(diǎn) 應(yīng)使棱邊只有凸出的折點(diǎn) 3 棱邊的夾角 盡量接近90度 4 棱邊上節(jié)點(diǎn)的間距 盡量均勻 工程有限單元法 109