2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

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第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式復(fù)習(xí)課學(xué)習(xí)目標(biāo)1.梳理數(shù)學(xué)歸納法的思想方法，初步形成“歸納猜想證明”的思維模式.2.熟練掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式、等式等問題的證明步驟1數(shù)學(xué)歸納法是用有限個(gè)步驟，就能夠處理完無限多個(gè)對(duì)象的方法2一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：(1)證明當(dāng)nn0時(shí)命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN且kn0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立完成以上兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)不小于n0的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法3在數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟中，第一步是奠基，第二步是假設(shè)與遞推，遞推是實(shí)現(xiàn)從有限到無限飛躍的關(guān)鍵4用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，關(guān)鍵是在假設(shè)當(dāng)nk(kN，kn0)時(shí)命題成立的條件下，推出當(dāng)nk1時(shí)命題成立這一步，為完成這步證明，不僅要正確使用歸納假設(shè)，還要用到分析法，綜合法，放縮法等相關(guān)知識(shí)和方法類型一歸納猜想證明例1已知數(shù)列an的第一項(xiàng)a15且Sn1an(n2，nN)(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明an的通項(xiàng)公式(1)解a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，猜想an(2)證明當(dāng)n2時(shí)，a252225，公式成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)成立，即ak52k2(k2，kN)，當(dāng)nk1時(shí)，由已知條件和假設(shè)有ak1Ska1a2ak551052k2552k1.故當(dāng)nk1時(shí)公式也成立由可知，對(duì)n2，nN有an52n2.所以數(shù)列an的通項(xiàng)an反思與感悟利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思路是：觀察歸納猜想證明即先通過觀察部分項(xiàng)的特點(diǎn)，進(jìn)行歸納，判斷并猜想出一般結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明跟蹤訓(xùn)練1設(shè)f(n)0(nN)，對(duì)任意自然數(shù)n1和n2總有f(n1n2)f(n1)f(n2)，又f(2)4.(1)求f(1)，f(3)的值；(2)猜想f(n)的表達(dá)式，并證明你的猜想解(1)由于對(duì)任意自然數(shù)n1和n2，總有f(n1n2)f(n1)f(n2)取n1n21，得f(2)f(1)f(1)，即f2(1)4.f(n)0(nN)，f(1)2.取n11，n22，得f(3)23.(2)由f(1)21，f(2)422，f(3)23，猜想f(n)2n.證明：當(dāng)n1時(shí)，f(1)2成立假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)，f(k)2k成立當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)f(k)f(1)2k22k1，所以當(dāng)nk1時(shí)，猜想也成立由知猜想正確，即f(n)2n，nN.類型二用數(shù)學(xué)歸納法證明等式或不等式例2求證tantan2tan2tan3tan(n1)tannn(n2，nN)證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊tantan2，右邊222tantan2，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN)時(shí)等式成立，即tantan2tan2tan3tan(k1)tankk.當(dāng)nk1時(shí)，tantan2tan2tan3tan(k1)tanktanktan(k1)ktanktan(k1)k1tan(k1)tan ktan(k1)tan k(k1)，所以當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立由(1)和(2)知，當(dāng)n2，nN時(shí)等式恒成立反思與感悟歸納法是證明有關(guān)正整數(shù)n的命題的一種方法，應(yīng)用廣泛用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)命題必須分兩個(gè)步驟：(1)論證命題的起始正確性，是歸納的基礎(chǔ)；(2)推證命題正確的可傳遞性，是遞推的依據(jù)兩步缺一不可，證明步驟與格式的規(guī)范是數(shù)學(xué)歸納法的一個(gè)特征跟蹤訓(xùn)練2用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)nN時(shí)，(2cosx1)(2cos2x1)(2cos2n1x1).證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊2cosx1，右邊2cosx1，即左邊右邊，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，命題成立，即(2cosx1)(2cos2x1)(2cos2k1x1).當(dāng)nk1時(shí)，左邊(2cosx1)(2cos2x1)(2cos2k1x1)(2cos2kx1)(2cos2kx1).當(dāng)nk1時(shí)命題成立由(1)(2)可知，當(dāng)nN時(shí)命題成立例3用數(shù)學(xué)歸納法證明，其中n2，nN.證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊，右邊0，結(jié)論成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN)時(shí)，結(jié)論成立，即，則當(dāng)nk1時(shí)，左邊，即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立由(1)(2)可知，n2，nN.反思與感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，除了注意數(shù)學(xué)歸納法規(guī)范的格式外，還要注意靈活利用問題的其他條件及相關(guān)知識(shí)跟蹤訓(xùn)練3求證：(n2，nN)證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN)時(shí)，命題成立，即.當(dāng)nk1時(shí)，.所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式對(duì)一切n2，nN均成立類型三用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題例4用數(shù)學(xué)歸納法證明：n(n1)(2n1)能被6整除證明(1)當(dāng)n1時(shí)，123顯然能被6整除(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，命題成立，即k(k1)(2k1)2k33k2k能被6整除當(dāng)nk1時(shí)，(k1)(k2)(2k3)2k33k2k6(k22k1)因?yàn)?k33k2k,6(k22k1)都能被6整除，所以2k33k2k6(k22k1)能被6整除，即當(dāng)nk1時(shí)命題成立由(1)和(2)知，對(duì)任意nN原命題成立反思與感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵是利用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)、并項(xiàng)、因式分解等恒等變形的方法去湊假設(shè)、湊結(jié)論，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證(2)與n有關(guān)的整除問題一般都用數(shù)學(xué)歸納法證明，其中關(guān)鍵問題是從nk1時(shí)的表達(dá)式中分解出nk時(shí)的表達(dá)式與一個(gè)含除式的因式或幾個(gè)含除式的因式跟蹤訓(xùn)練4設(shè)xN，nN，求證：xn2(x1)2n1能被x2x1整除證明(1)當(dāng)n1時(shí)，x3(x1)3x(x1)x2x(x1)(x1)2(2x1)(x2x1)，結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，結(jié)論成立，即xk2(x1)2k1能被x2x1整除，那么當(dāng)nk1時(shí)，x(k1)2(x1)2(k1)1xxk2(x1)2(x1)2k1xxk2(x1)2k1(x1)2(x1)2k1x(x1)2k1xxk2(x1)2k1(x2x1)(x1)2k1.由假設(shè)知，xk2(x1)2k1及x2x1均能被x2x1整除，故x(k1)2(x1)2(k1)1能被x2x1整除，即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立由(1)(2)知，原結(jié)論成立1某同學(xué)回答“用數(shù)學(xué)歸納法證明n1(nN)”的過程如下：證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，顯然命題是正確的；(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，有k1，那么當(dāng)nk1時(shí)，(k1)1，所以當(dāng)nk1時(shí)，命題成立由(1)(2)可知對(duì)于任意nN命題成立以上證法是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤在于()A從k到k1的推理過程沒有使用歸納假設(shè)B歸納假設(shè)的寫法不正確C從k到k1的推理不嚴(yán)密D當(dāng)n1時(shí)，驗(yàn)證過程不具體答案A2設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)k2成立時(shí)，總可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命題總成立的是()A若f(3)9成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，則當(dāng)k5時(shí)，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，則當(dāng)k8時(shí)，均有f(k)k2成立D若f(4)25成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k2成立答案D解析對(duì)于D，f(4)2542，當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k2.3用數(shù)學(xué)歸納法證明1234n2(nN)，則當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)為在當(dāng)nk時(shí)的基礎(chǔ)上加上_答案(k21)(k1)2解析當(dāng)nk1時(shí)，左端123k2(k21)(k1)2.所以增加了(k21)(k1)2.4已知數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足：a01，an1an(4an)(nN)證明：anan12(nN)證明(1)當(dāng)n0時(shí)，a01，a1a0(4a0)，所以a0a12，命題正確(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)命題成立，即ak1ak2.則當(dāng)nk1時(shí)，akak1ak1(4ak1)ak(4ak)2(ak1ak)(ak1ak)(ak1ak)(ak1ak)(4ak1ak)而ak1ak0,4ak1ak0，所以akak10.又ak1ak(4ak)4(ak2)22.所以當(dāng)nk1時(shí)命題正確由(1)(2)可知，對(duì)一切nN，有anan12.1在推證“nk1”命題也成立時(shí)，必須把歸納假設(shè)“nk”時(shí)的命題作為必備條件使用上，否則不是數(shù)學(xué)歸納法對(duì)項(xiàng)數(shù)估算的錯(cuò)誤，特別是尋找nk與nk1的關(guān)系時(shí)，弄錯(cuò)項(xiàng)數(shù)發(fā)生的變化是常見錯(cuò)誤2用數(shù)學(xué)歸納法證明的問題通常與數(shù)列的遞推公式、通項(xiàng)公式有關(guān)，有時(shí)要證明的等式或不等式是直接給出，有時(shí)是根據(jù)條件從前幾項(xiàng)入手，通過觀察、歸納，猜想出一個(gè)等式或不等式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明3用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的不等式以及數(shù)列有關(guān)的命題是考查的重點(diǎn)，主要考查用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的能力，同時(shí)考查分析問題、解決問題的能力一、選擇題1若命題A(n)(nN)在nk(kN)時(shí)命題成立，則有nk1時(shí)命題成立現(xiàn)知命題對(duì)nn0(n0N)時(shí)命題成立，則有()A命題對(duì)所有正整數(shù)都成立B命題對(duì)小于n0的正整數(shù)不成立，對(duì)大于或等于n0的正整數(shù)都成立C命題對(duì)小于n0的正整數(shù)成立與否不能確定，對(duì)大于或等于n0的正整數(shù)都成立D以上說法都不正確答案C解析由已知得nn0(n0N)時(shí)命題成立，則有nn01時(shí)命題成立；在nn01時(shí)命題成立的前提下，又可推得n(n01)1時(shí)命題也成立，依此類推，可知選C.2上一個(gè)n層的臺(tái)階，若每次可上一層或兩層，設(shè)所有不同上法的總數(shù)為f(n)，則下列猜想正確的是()Af(n)nBf(n)f(n)f(n2)Cf(n)f(n)f(n2)Df(n)答案D解析當(dāng)n3時(shí)，f(n)分兩類，第一類，從第n1層再上一層，有f(n1)種方法；第二類從第n2層再一次上兩層，有f(n2)種方法，所以f(n)f(n1)f(n2)(n3)3數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2an(n2)，而a11，通過計(jì)算a2，a3，a4，猜想an等于()A.B.C.D.答案B解析由a2S2S14a21，得a2，由a3S3S29a34a2，得a3a2，由a4S4S316a49a3，得a4a3，猜想an.4用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1(nN)成立，其初始值至少應(yīng)取()A7B8C9D10答案B解析左邊12，代入驗(yàn)證可知n的最小值是8.5用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n1)(n2)(nn)2n12(2n1)(nN)”時(shí)，從“nk到nk1”時(shí)，左邊應(yīng)增加的式子是()A2k1B2k3C2(2k1) D2(2k3)答案C解析當(dāng)nk1時(shí)，(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)(k1)(k2)(kk)2(2k1)，2(2k1)是從nk到nk1時(shí)，左邊應(yīng)增加的式子6用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3(n1)3(n2)3(nN)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證明當(dāng)nk1時(shí)的情況，只需展開()A(k3)3B(k2)3C(k1)3D(k1)3(k2)3答案A解析假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，原式能被9整除，即k3(k1)3(k2)3能被9整除當(dāng)nk1時(shí)，(k1)3(k2)3(k3)3為了能用上面的歸納假設(shè)，只需將(k3)3展開，讓其出現(xiàn)k3即可二、填空題7設(shè)f(n)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)3，在假設(shè)當(dāng)nk時(shí)成立后，f(k1)與f(k)的關(guān)系是f(k1)f(k)_.答案解析f(k)，f(k1)，f(k1)f(k).8設(shè)數(shù)列an滿足a12，an12an2，用數(shù)學(xué)歸納法證明an42n12的第二步中，設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)結(jié)論成立，即ak42k12，那么當(dāng)nk1時(shí)，應(yīng)證明等式_成立答案ak142(k1)129設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)_；當(dāng)n4時(shí)，f(n)_(用含n的式子表示)答案5(n2)(n1)解析f(3)2，f(4)5，f(5)9，f(6)14，每增加一條直線，交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)等于原來直線的條數(shù)f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，f(6)f(5)5，f(n)f(n1)n1.累加，得f(n)f(3)34(n1)(n3)f(n)(n2)(n1)10用數(shù)學(xué)歸納法證明“n35n能被6整除”的過程中，當(dāng)nk1時(shí)，對(duì)式子(k1)35(k1)應(yīng)變形為_答案k35k3k(k1)6解析(k1)35(k1)k33k23k15k5k35k3k23k6k35k3k(k1)6.三、解答題11已知f(n)(2n7)3n9(nN)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)能被36整除證明(1)當(dāng)n1時(shí)，f(1)(27)3936，能被36整除(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k1)時(shí)，f(k)(2k7)3k9能被36整除，則當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)2(k1)73k19(2k7)3k123k19(2k7)3k323k193(2k7)3k92723k193(2k7)3k918(3k11)由于3k11是2的倍數(shù)，故18(3k11)能被36整除，即當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)也能被36整除根據(jù)(1)和(2)可知，對(duì)一切正整數(shù)n，都有f(n)(2n7)3n9能被36整除12是否存在常數(shù)a，b，c，使得等式122232342n(n1)2(an2bnc)對(duì)一切正整數(shù)成立？并證明你的結(jié)論解假設(shè)存在a，b，c，使題中等式對(duì)一切正整數(shù)成立，則當(dāng)n1,2,3時(shí)，上式顯然成立，可得解得a3，b11，c10.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式122232342n(n1)2(3n211n10)對(duì)一切正整數(shù)均成立(1)當(dāng)n1時(shí)，命題顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，命題成立，即122232342k(k1)2(3k211k10)，則當(dāng)nk1時(shí)，有122232k(k1)2(k1)(k2)2(3k211k10)(k1)(k2)2(k2)(3k5)(k1)(k2)2(3k25k12k24)3(k1)211(k1)10即當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立由(1)(2)可知，對(duì)任何正整數(shù)n，等式都成立13設(shè)Pn(1x)n，Qn1nxx2，nN，x(1，)，試比較Pn與Qn的大小，并加以證明解(1)當(dāng)n1,2時(shí)，PnQn.(2)當(dāng)n3時(shí)，(以下再對(duì)x進(jìn)行分類)若x(0，)，顯然有PnQn；若x0，則PnQn；若x(1,0)，則P3Q3x30，所以P3Q3.P4Q44x3x4x3(4x)0，所以P4Q4.假設(shè)PkQk(k3)，則Pk1(1x)Pk(1x)QkQkxQk1kxxkx21(k1)xx2x3Qk1x3Qk1，即當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立所以當(dāng)n3，且x(1,0)時(shí)，PnQn.四、探究與拓展14已知f(n)1(nN)，g(n)2(1)(nN)(1)當(dāng)n1,2,3時(shí)，分別比較f(n)與g(n)的大小(直接給出結(jié)論)；(2)由(1)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論解(1)f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(3)g(3)(2)當(dāng)n1時(shí)，f(1)g(1)；當(dāng)n2時(shí)，f(2)g(2)；當(dāng)n3時(shí)，f(3)g(3)猜想：f(n)g(n)(nN)，即12(1)(nN)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時(shí)，f(1)1，g(1)2(1)，f(1)g(1)，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，不等式成立，即12(1)則當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)12(1)22，g(k1)2(1)22，所以只需證明22，即證2(k1)12k32，即證(2k3)24(k2)(k1)，即證4k212k94k212k8，此式顯然成立所以，當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立綜上可知，對(duì)nN，不等式都成立，即12(1)(nN)成立