（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第5練 三角函數(shù)的概念、三角恒等變換試題 理.docx

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第5練　三角函數(shù)的概念、三角恒等變換 [明晰考情]　1.命題角度：三角函數(shù)的概念和應(yīng)用；利用三角恒等變換進(jìn)行求值或化簡(jiǎn).2.題目難度：?jiǎn)为?dú)考查概念和三角恒等變換，難度為中低檔；三角恒等變換和其他知識(shí)交匯命題，難度為中檔題. 考點(diǎn)一　任意角的三角函數(shù) 要點(diǎn)重組　(1)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成集合S＝{β|β＝α＋k360，k∈Z}. (2)三角函數(shù)：角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝(x≠0). (3)各象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 1.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O(0,0)，P(6,8)，將向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到向量，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是________. 答案　(－7，－) 解析　因?yàn)辄c(diǎn)O(0,0)，P(6,8)，所以＝(6,8)， 設(shè)＝(10cos θ，10sin θ)，則cosθ＝，sin θ＝， 因?yàn)橄蛄坷@點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到， 設(shè)Q(x，y)，則x＝10cos＝10＝－7， y＝10sin＝10＝－， 所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為. 2.若角θ的終邊過(guò)點(diǎn)P(3，－4)，則tan(θ＋π)＝________. 答案?。? 解析　因?yàn)榻铅鹊慕K邊過(guò)點(diǎn)P(3，－4)，則tan θ＝－，則tan(θ＋π)＝tan θ＝－. 3.已知角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若sinθ＝2sincos，則實(shí)數(shù)a＝________. 答案?。? 解析　由題意知2sin2－1＝－cos＝－， 得sinθ＝＝－2sincos＝－，且a<0，解得a＝－. 4.函數(shù)y＝的定義域是__________________. 答案　，k∈Z 考點(diǎn)二　三角函數(shù)的求值與化簡(jiǎn) 要點(diǎn)重組　(1)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα. (2)誘導(dǎo)公式：角πα(k∈Z)的三角函數(shù)口訣： 奇變偶不變，符號(hào)看象限. (3)和差公式. 方法技巧　(1)三角函數(shù)求值化簡(jiǎn)的基本思路“一角二名三結(jié)構(gòu)”：注意角的變形；看函數(shù)名稱之間的關(guān)系；觀察式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn). (2)公式的變形使用尤其是二倍角的余弦公式的變形是高考的熱點(diǎn)，sin2α＝，cos2α＝. 5.若sin＝，則sin的值為_(kāi)_______. 答案?。? 解析　∵sin＝， ∴sin＝cos ＝cos＝cos2 ＝1－2sin2 ＝1－2＝－. 6.若tanα＝2tan，則＝________. 答案　3 解析　cos＝cos ＝cos＝sin， 所以原式＝＝＝＝＝3. 7.(2018南通、徐州、揚(yáng)州等六市模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知角α，β的始邊均為x軸的非負(fù)半軸，終邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)，B(5,1)，則tan(α－β)的值為_(kāi)_______. 答案　 解析　∵角α，β的始邊均為x軸的非負(fù)半軸，終邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)，B(5,1)，∴tanα＝2，tanβ＝， ∴tan(α－β)＝＝＝. 8.已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0＜β＜＜α＜，則α＋β＝________. 答案　 解析　因?yàn)?<β<<α<， 所以<2α<π，－<－β<0，所以<2α－β<π. 又因?yàn)閏os(2α－β)＝－，所以sin(2α－β)＝. 因?yàn)?<β<<α<，所以－<－2β<0， 所以－<α－2β<. 又因?yàn)閟in(α－2β)＝，所以cos(α－2β)＝. 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－＋＝. 又因?yàn)椋鸡粒拢迹驭粒拢? 考點(diǎn)三　三角恒等變換的應(yīng)用 要點(diǎn)重組　輔助角公式：asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝. 9.函數(shù)f(x)＝cos2x＋6cos的最大值為_(kāi)_______. 答案　5 解析　由f(x)＝cos 2x＋6cos＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，因?yàn)閟in x∈[－1,1]，所以當(dāng)sinx＝1時(shí)函數(shù)f(x)取得最大值，最大值為5. 10.(2018全國(guó)Ⅰ改編)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝，則|a－b|＝________. 答案　 解析　由cos2α＝，得cos2α－sin2α＝， ∴＝，又cosα≠0，∴＝， ∴tanα＝，即＝，∴|a－b|＝. 11.設(shè)當(dāng)x＝θ時(shí)，函數(shù)f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，則cosθ＝________. 答案　－ 解析　f(x)＝sinx－2cosx ＝＝sin(x－φ)， 其中sinφ＝，cosφ＝. 當(dāng)x－φ＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)，函數(shù)f(x)取到最大值， 即當(dāng)θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z)時(shí)，函數(shù)f(x)取到最大值， 所以cosθ＝－sinφ＝－. 12.函數(shù)f(x)＝sinx－cos的值域?yàn)開(kāi)_______. 答案　[－，] 解析　f(x)＝sinx－cos ＝sinx－ ＝sinx－cosx ＝ ＝sin∈[－，]. 1.若sin＝，A∈，則sinA的值為_(kāi)_______. 答案　 解析　∵A∈，∴A＋∈， ∴cos<0， ∴cos＝－＝－， ∴sinA＝sin ＝sincos－cossin ＝－＝. 2.已知cos＝，則sin(π＋α)＝________. 答案　 解析　因?yàn)閏os＝， 所以＜＋α＜，從而sin＞0， 所以sin＝＝， 因此sin(π＋α)＝－sinα＝－sin ＝－sincos＋cossin＝. 3.已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，則tanθ的值為_(kāi)_______. 答案　－ 解析　∵sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)， ∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝， ∴sinθcosθ＝－， ∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝. 又θ∈(0，π)，∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴sinθ－cosθ＝， ∴sinθ＝，cosθ＝－， ∴tanθ＝－. 解題秘籍　(1)使用平方關(guān)系求函數(shù)值，要注意角所在的象限和三角函數(shù)值的符號(hào). (2)利用三角函數(shù)值求角要解決兩個(gè)要素：①角的某一個(gè)三角函數(shù)值；②角的范圍(盡量縮小). 1.若sinα＝，則cos2α＝________. 答案　 解析　∵sinα＝，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－22＝. 2.的值是________. 答案　 解析　原式＝ ＝ ＝ ＝. 3.記a＝sin(cos2010)，b＝sin(sin2010)，c＝cos(sin2010)，d＝cos(cos2010)，則a，b，c，d中最大的是________. 答案　c 解析　注意到2010＝3605＋180＋30，因此 sin2010＝－sin30＝－，cos2010＝－cos30＝－，因?yàn)椋迹?，－＜－＜0,0＜＜＜，所以cos＞cos＞0，所以a＝sin＝－sin＜0，b＝sin＝－sin＜0，c＝cos＝cos＞d＝cos＝cos＞0，因此c最大. 4.函數(shù)f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函數(shù)，則tanθ＝________. 答案?。? 解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函數(shù)，所以f(0)＝cosθ＋sinθ＝0，得tanθ＝－. 5.已知sin＝，則cos＝________. 答案?。? 解析　因?yàn)閟in＝sin ＝cos＝cos＝， 所以cos＝2cos2－1＝22－1＝－. 6.若0≤sinα≤，且α∈[－2π，0]，則α的取值范圍是________________________. 答案　∪ 解析　根據(jù)題意并結(jié)合正弦線可知， α滿足∪(k∈Z)， 又α∈[－2π，0]， ∴α的取值范圍是∪. 7.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，1)，將OA繞坐標(biāo)原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至OB，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為_(kāi)_______. 答案　 解析　由題意知OA＝OB＝7，設(shè)射線OA與x軸正方向所成的角為α，顯然sin α＝，cosα＝， 故sin＝sin αcos＋cosα sin ＝＋＝，故點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為OBsin＝. 8.已知函數(shù)f(x)＝cos2x－sin2x，下列說(shuō)法正確的是________.(填序號(hào)) ①f(x)的最小正周期為π； ②直線x＝是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸； ③f(x)在上單調(diào)遞增； ④|f(x)|的值域是[0,1]. 答案?、佗冖? 解析　f(x)＝cos2x，f(x)在上不單調(diào)，其余說(shuō)法均正確. ∴故說(shuō)法正確的是①②④. 9.已知sinα＝＋cosα，且α∈，則的值為_(kāi)_______. 答案?。? 解析　∵sinα＝＋cosα，∴sinα－cosα＝. 兩邊平方，得1－2sinαcosα＝， ∴2sinαcosα＝. ∴1＋2sinαcosα＝，即(sinα＋cosα)2＝. ∵α∈，∴sinα＋cosα＝. ∴＝ ＝－(sinα＋cosα)＝－. 10.若α∈，則的最大值為_(kāi)______________. 答案　 解析　∵α∈， ∴＝＝，且tanα>0， ∴＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)tanα＝，即tanα＝2(舍負(fù))時(shí)，等號(hào)成立. 故的最大值為. 11.已知sin＝，則sin－cos的值為_(kāi)_______. 答案　 解析　sin－cos ＝sin－cos ＝－sin＋cos2 ＝－sin＋1－2sin2 ＝－＋1－＝. 12.定義22矩陣＝a1a4－a2a3，若f(x)＝，則下列結(jié)論正確的是________.(填序號(hào)) ①f(x)圖象關(guān)于(π，0)中心對(duì)稱； ②f(x)圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱； ③f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增； ④f(x)是周期為π的奇函數(shù). 答案　③ 解析　由題中所給定義可知，f(x)＝cos2x－sin2x－cos ＝cos2x＋sin2x＝2cos. 令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增.其余均錯(cuò)誤.