（江蘇專用）2019高考數(shù)學二輪復習 第二篇 第5練 三角函數(shù)的概念、三角恒等變換試題 理.docx

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第5練　三角函數(shù)的概念、三角恒等變換 [明晰考情]　1.命題角度：三角函數(shù)的概念和應用；利用三角恒等變換進行求值或化簡.2.題目難度：單獨考查概念和三角恒等變換，難度為中低檔；三角恒等變換和其他知識交匯命題，難度為中檔題. 考點一　任意角的三角函數(shù) 要點重組　(1)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構成集合S＝{β|β＝α＋k360，k∈Z}. (2)三角函數(shù)：角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝(x≠0). (3)各象限角的三角函數(shù)值的符號：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 1.在平面直角坐標系中，點O(0,0)，P(6,8)，將向量繞點O按逆時針方向旋轉后得到向量，則點Q的坐標是________. 答案　(－7，－) 解析　因為點O(0,0)，P(6,8)，所以＝(6,8)， 設＝(10cos θ，10sin θ)，則cosθ＝，sin θ＝， 因為向量繞點O按逆時針方向旋轉后得到， 設Q(x，y)，則x＝10cos＝10＝－7， y＝10sin＝10＝－， 所以點Q的坐標為. 2.若角θ的終邊過點P(3，－4)，則tan(θ＋π)＝________. 答案?。? 解析　因為角θ的終邊過點P(3，－4)，則tan θ＝－，則tan(θ＋π)＝tan θ＝－. 3.已知角θ的終邊經(jīng)過點，若sinθ＝2sincos，則實數(shù)a＝________. 答案?。? 解析　由題意知2sin2－1＝－cos＝－， 得sinθ＝＝－2sincos＝－，且a<0，解得a＝－. 4.函數(shù)y＝的定義域是__________________. 答案　，k∈Z 考點二　三角函數(shù)的求值與化簡 要點重組　(1)同角三角函數(shù)基本關系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα. (2)誘導公式：角πα(k∈Z)的三角函數(shù)口訣： 奇變偶不變，符號看象限. (3)和差公式. 方法技巧　(1)三角函數(shù)求值化簡的基本思路“一角二名三結構”：注意角的變形；看函數(shù)名稱之間的關系；觀察式子的結構特點. (2)公式的變形使用尤其是二倍角的余弦公式的變形是高考的熱點，sin2α＝，cos2α＝. 5.若sin＝，則sin的值為________. 答案?。? 解析　∵sin＝， ∴sin＝cos ＝cos＝cos2 ＝1－2sin2 ＝1－2＝－. 6.若tanα＝2tan，則＝________. 答案　3 解析　cos＝cos ＝cos＝sin， 所以原式＝＝＝＝＝3. 7.(2018南通、徐州、揚州等六市模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知角α，β的始邊均為x軸的非負半軸，終邊分別經(jīng)過點A(1,2)，B(5,1)，則tan(α－β)的值為________. 答案　 解析　∵角α，β的始邊均為x軸的非負半軸，終邊分別經(jīng)過點A(1,2)，B(5,1)，∴tanα＝2，tanβ＝， ∴tan(α－β)＝＝＝. 8.已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0＜β＜＜α＜，則α＋β＝________. 答案　 解析　因為0<β<<α<， 所以<2α<π，－<－β<0，所以<2α－β<π. 又因為cos(2α－β)＝－，所以sin(2α－β)＝. 因為0<β<<α<，所以－<－2β<0， 所以－<α－2β<. 又因為sin(α－2β)＝，所以cos(α－2β)＝. 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－＋＝. 又因為＜α＋β＜，所以α＋β＝. 考點三　三角恒等變換的應用 要點重組　輔助角公式：asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝. 9.函數(shù)f(x)＝cos2x＋6cos的最大值為________. 答案　5 解析　由f(x)＝cos 2x＋6cos＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，因為sin x∈[－1,1]，所以當sinx＝1時函數(shù)f(x)取得最大值，最大值為5. 10.(2018全國Ⅰ改編)已知角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝，則|a－b|＝________. 答案　 解析　由cos2α＝，得cos2α－sin2α＝， ∴＝，又cosα≠0，∴＝， ∴tanα＝，即＝，∴|a－b|＝. 11.設當x＝θ時，函數(shù)f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，則cosθ＝________. 答案　－ 解析　f(x)＝sinx－2cosx ＝＝sin(x－φ)， 其中sinφ＝，cosφ＝. 當x－φ＝2kπ＋(k∈Z)時，函數(shù)f(x)取到最大值， 即當θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z)時，函數(shù)f(x)取到最大值， 所以cosθ＝－sinφ＝－. 12.函數(shù)f(x)＝sinx－cos的值域為________. 答案　[－，] 解析　f(x)＝sinx－cos ＝sinx－ ＝sinx－cosx ＝ ＝sin∈[－，]. 1.若sin＝，A∈，則sinA的值為________. 答案　 解析　∵A∈，∴A＋∈， ∴cos<0， ∴cos＝－＝－， ∴sinA＝sin ＝sincos－cossin ＝－＝. 2.已知cos＝，則sin(π＋α)＝________. 答案　 解析　因為cos＝， 所以＜＋α＜，從而sin＞0， 所以sin＝＝， 因此sin(π＋α)＝－sinα＝－sin ＝－sincos＋cossin＝. 3.已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，則tanθ的值為________. 答案　－ 解析　∵sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)， ∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝， ∴sinθcosθ＝－， ∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝. 又θ∈(0，π)，∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴sinθ－cosθ＝， ∴sinθ＝，cosθ＝－， ∴tanθ＝－. 解題秘籍　(1)使用平方關系求函數(shù)值，要注意角所在的象限和三角函數(shù)值的符號. (2)利用三角函數(shù)值求角要解決兩個要素：①角的某一個三角函數(shù)值；②角的范圍(盡量縮小). 1.若sinα＝，則cos2α＝________. 答案　 解析　∵sinα＝，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－22＝. 2.的值是________. 答案　 解析　原式＝ ＝ ＝ ＝. 3.記a＝sin(cos2010)，b＝sin(sin2010)，c＝cos(sin2010)，d＝cos(cos2010)，則a，b，c，d中最大的是________. 答案　c 解析　注意到2010＝3605＋180＋30，因此 sin2010＝－sin30＝－，cos2010＝－cos30＝－，因為－＜－＜0，－＜－＜0,0＜＜＜，所以cos＞cos＞0，所以a＝sin＝－sin＜0，b＝sin＝－sin＜0，c＝cos＝cos＞d＝cos＝cos＞0，因此c最大. 4.函數(shù)f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函數(shù)，則tanθ＝________. 答案?。? 解析　因為函數(shù)f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函數(shù)，所以f(0)＝cosθ＋sinθ＝0，得tanθ＝－. 5.已知sin＝，則cos＝________. 答案　－ 解析　因為sin＝sin ＝cos＝cos＝， 所以cos＝2cos2－1＝22－1＝－. 6.若0≤sinα≤，且α∈[－2π，0]，則α的取值范圍是________________________. 答案　∪ 解析　根據(jù)題意并結合正弦線可知， α滿足∪(k∈Z)， 又α∈[－2π，0]， ∴α的取值范圍是∪. 7.已知點A的坐標為(4，1)，將OA繞坐標原點O按逆時針方向旋轉至OB，則點B的縱坐標為________. 答案　 解析　由題意知OA＝OB＝7，設射線OA與x軸正方向所成的角為α，顯然sin α＝，cosα＝， 故sin＝sin αcos＋cosα sin ＝＋＝，故點B的縱坐標為OBsin＝. 8.已知函數(shù)f(x)＝cos2x－sin2x，下列說法正確的是________.(填序號) ①f(x)的最小正周期為π； ②直線x＝是f(x)圖象的一條對稱軸； ③f(x)在上單調(diào)遞增； ④|f(x)|的值域是[0,1]. 答案?、佗冖? 解析　f(x)＝cos2x，f(x)在上不單調(diào)，其余說法均正確. ∴故說法正確的是①②④. 9.已知sinα＝＋cosα，且α∈，則的值為________. 答案?。? 解析　∵sinα＝＋cosα，∴sinα－cosα＝. 兩邊平方，得1－2sinαcosα＝， ∴2sinαcosα＝. ∴1＋2sinαcosα＝，即(sinα＋cosα)2＝. ∵α∈，∴sinα＋cosα＝. ∴＝ ＝－(sinα＋cosα)＝－. 10.若α∈，則的最大值為_______________. 答案　 解析　∵α∈， ∴＝＝，且tanα>0， ∴＝≤＝， 當且僅當tanα＝，即tanα＝2(舍負)時，等號成立. 故的最大值為. 11.已知sin＝，則sin－cos的值為________. 答案　 解析　sin－cos ＝sin－cos ＝－sin＋cos2 ＝－sin＋1－2sin2 ＝－＋1－＝. 12.定義22矩陣＝a1a4－a2a3，若f(x)＝，則下列結論正確的是________.(填序號) ①f(x)圖象關于(π，0)中心對稱； ②f(x)圖象關于直線x＝對稱； ③f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增； ④f(x)是周期為π的奇函數(shù). 答案?、? 解析　由題中所給定義可知，f(x)＝cos2x－sin2x－cos ＝cos2x＋sin2x＝2cos. 令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增.其余均錯誤.