（浙江專用）2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第六章 平面向量、復數(shù) 6.4 平面向量的應用（第2課時）平面向量的綜合應用講義（含解析）.docx

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第2課時　平面向量的綜合應用 題型一　平面向量與數(shù)列 例1(2018浙江名校協(xié)作體考試)設數(shù)列{xn}的各項都為正數(shù)且x1＝1.△ABC內(nèi)的點Pn(n∈N*)均滿足△PnAB與△PnAC的面積比為2∶1，若＋xn＋1＋(2xn＋1)＝0，則x4的值為(　　) A．15B．17C．29D．31 答案　A 解析　因為＋xn＋1＋(2xn＋1)＝0，所以＋(2xn＋1)＝－xn＋1，如圖，設(2xn＋1)＝，以PnA和PnD為鄰邊作平行四邊形PnDEA，所以＋＝＝－xn＋1，所以＝，所以＝，又＝＝，所以＝，所以＝＝，所以xn＋1＝2xn＋1，又x1＝1，所以x2＝3，x3＝7，x4＝15，故選A. 思維升華向量與其他知識的結(jié)合，多體現(xiàn)向量的工具作用，利用向量共線或向量數(shù)量積的知識進行轉(zhuǎn)化，“脫去”向量外衣，利用其他知識解決即可． 跟蹤訓練1　(1)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若＝a1＋a2018，且A，B，C三點共線(該直線不過點O)，則S2018等于(　　) A．1009 B．1008 C．2017 D．2018 答案　A 解析　因為＝a1＋a2018，且A，B，C三點共線， a1＋a2018＝1，又數(shù)列{an}是等差數(shù)列， S2018＝＝1009. (2)(2018浙江新高考預測)角A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，向量m滿足|m|＝，且m＝，當角A最大時，動點P使得||，||，||成等差數(shù)列，則的最大值是________． 答案　 解析　設BC＝2a，BC的中點為D. 由題意得|m|2＝2＋2 ＝1－cos(B＋C)＋[1＋cos(B－C)] ＝－cosBcosC＋sinBsinC＝， 則cosBcosC＝sinBsinC，化簡得tanBtanC＝， 則tanA＝－tan(B＋C)＝－ ＝－(tanB＋tanC)≤－2＝－， 當且僅當tanB＝tanC＝時，等號成立， 所以當角A最大時，A＝，B＝C＝， 則易得AD＝. 因為||，||，||成等差數(shù)列， 所以2||＝||＋||，則點P在以B，C為焦點，以2||＝4a為長軸的橢圓上，由圖(圖略)易得當點P為橢圓的與點A在直線BC的異側(cè)的頂點時，||取得最大值，此時||＝＝a， 則||＝||＋||＝， 所以＝＝. 題型二　和向量有關(guān)的最值問題 命題點1　與平面向量基本定理有關(guān)的最值問題 例2　(1)(2018浙江鎮(zhèn)海中學測試)已知△ABC內(nèi)接于圓O，且A＝60，若＝x＋y(x，y∈R)，則x＋2y的最大值是(　　) A.B．1C.D．2－ 答案　D 解析　設△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. 由＝x＋y， 得＝x2＋y， ＝x＋y2， 所以 解得 所以x＋2y＝2－≤2－2 ＝2－(當且僅當b＝c時取等號)， 故選D. (2)(2018溫州模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M，N分別為線段BC，CD上的點，且滿足＋＝1，若＝x＋y，則x＋y的最小值為________． 答案　 解析　連接MN交AC于點G. 由勾股定理，知MN2＝CM2＋CN2， 所以1＝＋＝，即MN＝CMCM， 所以C到直線MN的距離為定值1，此時MN是以C為圓心，1為半徑的圓的一條切線(如圖所示)， ＝x＋y＝(x＋y). 由向量共線定理知，＝(x＋y)， 所以x＋y＝＝， 又因為||max＝5－1＝4，所以x＋y的最小值為. 命題點2　與數(shù)量積有關(guān)的最值問題 例3　(1)(2017浙江)如圖，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC與BD交于點O，記I1＝，I2＝，I3＝，則(　　) A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3 答案　C 解析　∵I1－I2＝－ ＝(－)＝， 又與所成角為鈍角，∴I1－I2＜0，即I1＜I2. ∵I1－I3＝－ ＝||||cos∠AOB－||||cos∠COD ＝cos∠AOB(||||－||||)， 又∠AOB為鈍角，OA＜OC，OB＜OD， ∴I1－I3＞0，即I1＞I3.∴I3＜I1＜I2， 故選C. (2)(2018紹興市柯橋區(qū)質(zhì)檢)已知向量a，b，c滿足|b|＝|c|＝2|a|＝1，則(c－a)(c－b)的最大值是________，最小值是________． 答案　3?。? 解析　由題意得|a|＝，|b|＝|c|＝1，則(c－a)(c－b)＝|c|2－cb－ca＋ab＝|c|2＋(－a－b＋c)2－(|a|2＋|b|2＋|c|2)＝－＋(－a－b＋c)2，則當向量－a，－b，c同向共線時，(c－a)(c－b)取得最大值－＋2＝3，當－a－b＋c＝0時，(c－a)(c－b)取得最小值－. 命題點3　與模有關(guān)的最值問題 例4 (1)(2018浙江金華一中考試)已知，，是空間兩兩垂直的單位向量，＝x＋y＋z，且x＋2y＋4z＝1，則|－－|的最小值為________． 答案　 解析　方法一　由題意可設＝(1,0,0)，＝(0,1,0)，＝(0,0,1)．由x＋2y＋4z＝1，得x＝1－2y－4z.由＝x＋y＋z＝(x，y，z)， 則|－－|＝ ＝ ＝ ＝≥ ＝， 所以|－－|的最小值為. 方法二　由方法一得|－－|＝，又x＋2y＋4z＝1表示一個平面，所以|－－|＝的最小值d為定點(1,1,0)到平面x＋2y＋4z＝1的距離，即d＝＝. (2)(2018浙江學軍中學模擬)已知平面向量a，b，c滿足|a|＝3，|b|＝|c|＝5,0<λ<1，若bc＝0，則|a－b＋λ(b－c)|＋的最小值為________． 答案?。? 解析　建立如圖所示的平面直角坐標系，設＝a，則A在以O為圓心，3為半徑的圓上運動．設＝b，＝c，則＝b－c，取D∈BC，設＝λ(b－c)，則＝(1－λ)(b－c)，取E∈OC使得＝c，則|a－b＋λ(b－c)|＝|－＋|＝||， ＝|＋|＝||， ∴|a－b＋λ(b－c)|＋ ＝||＋||，作點E關(guān)于BC的對稱點E′， 則||＝||，由E(0,2)易得E′(3,5)， ∴|a－b＋λ(b－c)|＋ ＝||＋||≥||≥||－3＝－3，且知當A，D在線段OE′上時取等號， ∴|a－b＋λ(b－c)|＋的最小值為－3. 思維升華和向量有關(guān)的最值問題，要回歸向量的本質(zhì)進行轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合、基本不等式或者函數(shù)的最值求解． 跟蹤訓練2 (1)(2013浙江)設△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B＝AB，且對于邊AB上任一點P，恒有≥，則(　　) A．∠ABC＝90 B．∠BAC＝90 C．AB＝AC D．AC＝BC 答案　D 解析　設BC中點為M，連接P0M， 則＝2－2＝2－2 同理＝2－2 ∵≥恒成立， ∴||≥||恒成立． 即P0M⊥AB，取AB的中點N，連接CN， 又P0B＝AB，則CN⊥AB，∴AC＝BC.故選D. (2)(2018臺州期末)已知m，n是兩個非零向量，且|m|＝1，|m＋2n|＝3，則|m＋n|＋|n|的最大值為(　　) A.B.C．4D．5 答案　B 解析　因為(m＋2n)2＝4n2＋4mn＋1＝9，所以n2＋mn＝2，所以(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2＝5－n2，所以|m＋n|＋|n|＝＋|n|.令|n|＝x(00，當2|b| C．|b|<|a－b| D．|b|>|a－b| 答案　A 解析　設向量a，b的夾角為θ，則由|a＋b|＝|2a－b|，得(a＋b)2＝(2a－b)2，即|a|2＋2|a||b|cosθ＋|b|2＝4|a|2－4|a||b|cosθ＋|b|2，化簡得|a|＝2|b|cosθ.因為向量a，b不共線，所以cosθ∈(0,1)，所以|a|<2|b|，故選A. 3．(2018浙江名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)已知向量a，b滿足|a＋b|＝4，|a－b|＝3，則|a|＋|b|的取值范圍是(　　) A．[3,5] B．[4,5] C．[3,4] D．[4,7] 答案　B 解析　由題意知|a|＋|b|≥max{|a＋b|，|a－b|}＝4(當a，b共線時等號成立)，又(|a|＋|b|)2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2)＝|a＋b|2＋|a－b|2＝25(當|a|＝|b|時取等號)，所以|a|＋|b|≤5，故|a|＋|b|的取值范圍是[4,5]． 4．(2014浙江)記max{x，y}＝min{x，y}＝設a，b為平面向量，則(　　) A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|} C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2 D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2 答案　D 解析　由于|a＋b|，|a－b|與|a|，|b|的大小關(guān)系與夾角大小有關(guān)，故A，B錯．當a，b夾角為銳角時，|a＋b|>|a－b|，此時，|a＋b|2>|a|2＋|b|2；當a，b夾角為鈍角時，|a＋b|<|a－b|，此時，|a－b|2>|a|2＋|b|2；當a⊥b時，|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2，故選D. 5．(2018臺州市三區(qū)三校適應性考試)已知a，b為單位向量，且a⊥b，|c－a|＋|c－2b|＝，則|c－2a|＋|c－b|的最小值是(　　) A．5B.C.D. 答案　B 解析　在平面直角坐標系xOy中，不妨令a＝(1,0)，b＝(0,1)，設＝c＝(x，y)，則|c－a|＋|c－2b|＝＋＝，易知C(x，y)的軌跡為線段2x＋y－2＝0(0≤x≤1)，|c－2a|＋|c－b|＝＋，所以問題轉(zhuǎn)化為求點(2,0)，(0,1)與線段上點的距離之和的最小值，易知最小值為點(2,0)與點(0,1)之間的距離，為. 6.如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝，C為弧AB上與A，B不重合的一個動點，且＝x＋y，若u＝x＋λy(λ>0)存在最大值，則λ的取值范圍為(　　) A．(1,3) B. C. D. 答案　D 解析　設∠BOC＝α，則∠AOC＝－α， 因為＝x＋y， 所以 即 解得x＝－cosα＋cos＝sinα， y＝cosα－sinα， 所以u＝sinα＋λ ＝sinα＋λcosα ＝sin(α＋β)， 其中tanβ＝， 因為0<α<，要使u存在最大值，只需滿足β>， 所以>， 整理得>0，解得<λ<2， 故選D. 7．設向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定義一種運算：a?b＝(a1，a2)?(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知向量m＝，n＝.點P在y＝cosx的圖象上運動，點Q在y＝f(x)的圖象上運動，且滿足＝m?＋n(其中O為坐標原點)，則y＝f(x)在區(qū)間上的最大值是(　　) A．4B．2C．2D．2 答案　A 解析　設＝(x0，y0)，＝(x，y)，由題意可得y0＝cosx0，＝(x，y)＝m?＋n＝?(x0，y0)＋＝＋＝，即x＝x0＋，y＝4y0，即x0＝2x－，y0＝y(tǒng)，所以y＝cos，即y＝4cos.因為點Q在y＝f(x)的圖象上運動，所以f(x)＝4cos，當≤x≤時，0≤2x－≤，所以當2x－＝0時，f(x)取得最大值4. 8．已知△ABC的外心為O，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且＋＋＝0，則a，b，c的關(guān)系為________，cosB的取值范圍為________． 答案　a2＋2c2＝3b2　 解析　設AC邊上的中點為D， 則OD⊥AC，從而有＝(＋) ＝＋＝＋0＝b2， 同理有＝c2， ∴＝(－)＝b2－c2， 同理有＝c2－a2，＝a2－b2， ∴由＋＋＝0，得a2＋2c2＝3b2. ∵cosB＝＝ ＝≥＝(當且僅當a＝c時取等號)， 又cosB<1，∴≤cosB<1. 9．(2019溫州模擬)設向量a，b滿足|a＋b|＝2|a－b|，|a|＝3，則|b|的最大值是________；最小值是________． 答案　9　1 解析　由|a＋b|＝2|a－b|兩邊平方，得a2＋2ab＋b2＝4(a2－2ab＋b2)，化簡得3a2＋3b2＝10ab≤10|a||b|，|b|2－10|b|＋9≤0，解得1≤|b|≤9. 10．(2018紹興市上虞區(qū)質(zhì)檢)已知△ABC的外接圓圓心為O，且∠A＝60，若＝α＋β(α，β∈R)，則α＋β的最大值為________． 答案　 解析　記||＝c，||＝b， 由＝α＋β，得 則由平面向量的數(shù)量積的幾何意義，得 故(1－2α)(1－2β)＝αβ， 由基本不等式，有2(α＋β)＝1＋3αβ≤1＋32， 當且僅當α＝β時，等號成立， 解得α＋β≤(α＋β≥2舍)． 11．(2018浙江衢州二中模擬)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(sinβ，cosβ)，且α＋β＝.若c滿足|c－a－b|＝2，則的取值范圍是________． 答案　[2－，2＋] 解析　因為(a＋b)2＝2＋2(cosαsinβ＋sinαcosβ)＝2＋2sin(α＋β)＝3，即|a＋b|＝.又||c|－|a＋b||≤|c－(a＋b)|≤|c|＋|a＋b|，則解得2－≤|c|≤2＋，故＝∈[2－，2＋]． 12．在△ABC中，已知CA＝2，CB＝6，∠ACB＝60，點O滿足＝λ(λ>0)，＝m＋n，m，n∈R，且－≤n≤－，則||的取值范圍是________． 答案　 解析　以C為坐標原點，CB所在直線為x軸建立平面直角坐標系．不妨假設A在x軸上方，則B(6,0)，A(1，)． 由＝λ可得直線CO的方程為y＝x. 設O，其中x>0. 由＝m＋n，得 ＝m＋n， 所以 解得n＝. 由－≤n≤－， 可得≤x≤， 所以||＝x∈. 13．如圖所示，已知點D為△ABC的邊BC上一點，＝3，En(n∈N*)為邊AC上的一系列點，滿足＝an＋1－(3an＋2)，其中實數(shù)列{an}中，an＞0，a1＝1，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________. 答案　23n－1－1 解析　因為＝3， 所以＝＋ ＝＋ ＝＋(＋) ＝－＋. 設m＝， 則由＝an＋1－(3an＋2)， 得－＝0， 即－m＝an＋1，m＝－(3an＋2)， 所以an＋1＝(3an＋2)， 所以an＋1＋1＝3(an＋1)． 因為a1＋1＝2， 所以數(shù)列{an＋1}是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列， 所以an＋1＝23n－1， 所以an＝23n－1－1. 14．(2018浙江重點中學考試)已知在△ABC中，AC⊥AB，AB＝3，AC＝4.若點P在△ABC的內(nèi)切圓上運動，則(＋)的最小值為________． 答案　－2 解析　因為AC⊥AB，所以以A為坐標原點，以AB，AC所在的直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系(圖略)，則A(0,0)，B(3,0)，C(0,4)． 由題意可知△ABC內(nèi)切圓的圓心為D(1,1)，半徑為1.因為點P在△ABC的內(nèi)切圓上運動， 所以可設P(1＋cosθ，1＋sinθ)(0≤θ≤2π)． 所以＝(－1－cosθ，－1－sinθ)，＋ ＝(1－2cosθ，2－2sinθ)， 所以(＋) ＝(－1－cosθ)(1－2cosθ)＋(－1－sinθ)(2－2sinθ) ＝－1＋cosθ＋2cos2θ－2＋2sin2θ ＝－1＋cosθ≥－1－1＝－2， 當cosθ＝－1，即P(0,1)時，(＋)取到最小值，且最小值為－2. 15．(2018浙江杭州二中考試)如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，E為AB的中點，P為以A為圓心，AB為半徑的圓弧(在正方形內(nèi)，包括邊界點)上的任意一點，則的取值范圍是________．若向量＝λ＋μ，則λ＋μ的最小值為________． 答案　[0,1]　 解析　以點A為坐標原點，分別以AB，AD所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，則易得A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，E，P(cosθ，sinθ)，則＝(cosθ，sinθ)(cosθ－1，sinθ)＝cos2θ－cosθ＋sin2θ＝1－cosθ，又因為0≤θ≤， 所以＝1－cosθ∈[0,1]． 由＝λ＋μ， 得(1,1)＝λ＋μ(cosθ，sinθ) ＝， 所以解得 則λ＋μ＝＋ ＝， 當θ＝時，λ＋μ＝＝5， 當θ≠時，λ＋μ＝ ＝， 設f(x)＝(x≥0)， 則f′(x)＝ ＝>0(x≥0)， 所以函數(shù)f(x)＝在[0，＋∞)上單調(diào)遞增； 則當tanθ＝0時，λ＋μ＝取得最小值.綜上所述，λ＋μ的最小值為. 16．已知非零向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝－2ab＝1，且a－c和b－c的夾角為，則(a＋c)(b＋c)的最小值是________． 答案?。? 解析　由題可知，單位向量a和b的夾角為， 又a－c和b－c的夾角為， 所以點C的軌跡是以O為圓心，1為半徑的圓的劣弧和劣弧關(guān)于直線AB對稱的弧，即過點A，O，B的弧(如圖)． 以O為坐標原點，垂直于AB的直線為x軸(向右為正方向)，建立平面直角坐標系(圖略)，則A，B. 當點C在劣弧上時， 設C(cosθ，sinθ)， 則有a＋c＝， b＋c＝， 所以(a＋c)(b＋c) ＝＋ ＝＋cosθ∈. 當點C在過點A，O，B的弧上時， 設C(1＋cosθ，sinθ)， 則有a＋c＝， b＋c＝， 所以(a＋c)(b＋c) ＝＋ ＝＋3cosθ∈， 當且僅當θ＝π時，取最小值－. 故(a＋c)(b＋c)的最小值為－.