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課時作業(yè)(十二) 第12講 函數模型及其應用
時間 / 45分鐘 分值 / 90分
基礎熱身
1.某公司招聘員工,面試對象人數按擬錄用人數分段計算,計算公式為y=4x,1≤x≤10,2x+10,10
100,其中x代表擬錄用人數,y代表面試對象人數.若面試對象人數為60,則該公司擬錄用人數為 ( )
A.15 B.40
C.25 D.70
2.某汽車銷售公司在A,B兩地銷售同一種品牌的車,在A地的銷售利潤(單位:萬元)為y1=4.1x-0.1x2,在B地的銷售利潤(單位:萬元)為y2=2x,其中x為銷售量(單位:輛).若該公司在兩地共銷售16輛這種品牌的車,則能獲得的最大總利潤是 ( )
A.10.5萬元 B.11萬元
C.43萬元 D.43.025萬元
3.在某種新型材料的研制中,實驗人員獲得了一組實驗數據(如下表),現準備用下列四個函數中的一個來近似地表示這些數據的規(guī)律,其中最接近的一個是( )
x
1.992
3
4
5.51
6.126
y
1.517
4.041 8
7.5
12
18.01
A.y=2x-2 B.y=12(x2-1)
C.y=log2x D.y=log12x
4.某工廠產生的廢氣經過過濾后排放,在過濾過程中,污染物的含量p(單位:毫克/升)不斷減少,已知p與時間t(單位:小時)滿足p=p02-t30,其中p0為t=0時的污染物含量.又測得當t從0到30時,污染物含量的平均變化率是-10ln 2,則當t=60時,p= ( )
A.150 B.300
C.150ln 2 D.300ln 2
5.[2018成都七中模擬] 某食品的保鮮時間y(單位:小時)與儲藏溫度x(單位:℃)滿足函數關系式y(tǒng)=ekx+b(e為自然對數的底數,k,b為常數).若該食品在0 ℃時的保鮮時間是192小時,在22 ℃時的保鮮時間是48小時,則該食品在33 ℃時的保鮮時間是 小時.
能力提升
6.某公司生產某種產品,固定成本為20 000元,每生產一單位產品,成本增加100元,已知總收益R與產量x的關系式為R=400x-12x2,0≤x≤400,80 000,x>400,則總利潤最大時,生產的產品為 ( )
A.100單位 B.150單位
C.200單位 D.300單位
7.氣象學院用32萬元購置了一臺天文觀測儀,已知這臺觀測儀從啟動的第1天開始連續(xù)使用,第n天的維修保養(yǎng)費為4n+46(n∈N*)元,使用它直至“報廢最合算”(所謂“報廢最合算”是指使用的這臺儀器平均每天耗資最少)為止,則一共要使用 ( )
A.300天 B.400天
C.600天 D.800天
8.一個容器裝有細沙a cm3,細沙從容器底下一個細微的小孔慢慢地勻速漏出,t min后剩余的細沙量(單位:cm3)為y=ae-bt,經過8 min后發(fā)現容器內還有一半的細沙,則當容器內的細沙只有開始時的八分之一時,又經過的時間為 ( )
A.8 min B.16 min
C.24 min D.32 min
9.[2018北京東城區(qū)期中] 光線通過一塊玻璃,強度要損失10%.設光線原來的強度為k,通過x塊這樣的玻璃以后強度為y,則經過x塊這樣的玻璃后光線強度y=k0.9x,若光線強度能減弱到原來的14以下,則至少通過這樣的玻璃(lg 3≈0.477,lg 2≈0.3)( )
A.12塊 B.13塊
C.14塊 D.15塊
圖K12-1
10.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料(如圖K12-1),為降低消耗,開源節(jié)流,現要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用,則截取的矩形鐵片面積的最大值為 .
11.某商品價格y(單位:元)因上架時間x(單位:天)的不同而不同,假定商品的價格與上架時間的函數關系是y=kax(a>0且a≠1,x∈N*).若商品上架第1天的價格為96元,上架第3天的價格為54元,則該商品上架第4天的價格為 元.
12.(10分)在十九大報告中提出的新時代堅持和發(fā)展中國特色社會主義的基本方略,包括“堅持人與自然和諧共生,加快生態(tài)文明體制改革,建設美麗中國”.目前我國一些高耗能低效產業(yè)(煤炭、鋼鐵、有色金屬、煉化等)的產能過剩,將嚴重影響生態(tài)文明建設,“去產能”將是一項重大任務.十九大后,某行業(yè)計劃從2018年開始,每年的產能比上一年減少的百分比為x(0100時,y>150.因此所求人數x∈(10,100],由2x+10=60,得x=25,故選C.
2.C [解析] 依題意,設在A地銷售x輛車,則在B地銷售(16-x)輛車,所以總利潤y=4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32=-0.1(x-10.5)2+0.110.52+32,因為x∈[0,16]且x∈N,所以當x=10或11時,ymax=43.故選C.
3.B [解析] 由y隨x的變化趨勢知,函數在(0,+∞)上是增函數,且y的增長速度隨x的增大越來越快.A中函數增長速度不變,C中函數是增長速度逐漸變慢的函數,D中函數是減函數,故排除A,C,D,易知B中函數最符合題意.
4.C [解析] 因為當t∈[0,30]時,污染物含量的平均變化率是-10ln 2,所以-10ln 2=12p0-p030-0,所以p0=600ln 2,所以當t=60時,p=600ln 22-2=150ln 2.
5.24 [解析] 由題意知192=eb,48=e22k+b,∴e22k=14,∴當x=33時,y=e33k+b=1921432=24.
6.D [解析] 設總成本為C元,總利潤為P元,則C=20 000+100x,
則P=R-C=300x-x22-20 000,0≤x≤400,60 000-100x,x>400.
當0≤x≤400時,P=-12x2+300x-20 000=-12(x-300)2+25 000,x=300時,P取得最大值25 000;
當x>400時,P<20 000.
所以當x=300時,P取得最大值,故選D.
7.B [解析] 使用n天的平均耗資為320 000+(50+4n+46)n2n=320 000n+2n+48(元),當且僅當320 000n=2n時取得最小值,此時n=400.
8.B [解析] 依題意有ae-8b=12a,即e-8b=12,兩邊取對數,得-8b=ln12=-ln 2,∴b=ln28,∴y=ae-ln28t.當容器內的細沙只有開始時的八分之一時,則有ae-ln28t=18a,∴e-ln28t=18,兩邊取對數,得-ln28t=ln18=-3ln 2,∴t=24,∴又經過的時間為24-8=16(min).故選B.
9.C [解析] 由題意知0.9xklg14lg0.9=-2lg22lg3-1≈13.04,
又x∈N*,
∴至少通過14塊這樣的玻璃,光線強度能減弱到原來的14以下.故選C.
10.180 [解析] 依題意知20-x20=y-824-8,即x=54(24-y)(8≤y<24),
所以陰影部分的面積S=xy=54(24-y)y=54(-y2+24y)=-54(y-12)2+180,
當y=12時,S取得最大值180,故答案為180.
11.40.5 [解析] 由題意可得方程組ka1=96,ka3=54,結合a>0且a≠1,可得a=34,k=128,
則y=12834x,則該商品上架第4天的價格為128344=812=40.5(元).
12.解:(1)依題意得(1-x)n=a,
即1-x=na,即x=1-na(n∈N*).
(2)由題得(1-10%)n≤25%,即910n≤14,
則nlg910≤lg14,即n(2lg 3-1)≤-2lg 2,
則n≥2lg21-2lg3,又2lg21-2lg3≈13.09,n∈N*,∴n的最小值為14.
故至少要到2031年才能使年產能不超過2017年的25%.
13.解:(1)依題意知,當n=2時,y=1800;當n=5時,y=6000,
則1800=2k+b,6000=5k+b,解得k=1400,b=-1000,
所以y=0,n=1,1400n-1000,n≥2且n∈N*.
(2)記使用n年,年平均收益為W元,
則當n≥2時,W=60 000-1n[137 600+1400(2+3+…+n)-1000(n-1)]=60 000-1n137 600+1400(n-1)(n+2)2-1000(n-1)=60 000-1n(137 200+700n2-300n)=60 300-700n+137 200n≤60 300-2700n137 200n=40 700,
當且僅當700n=137 200n,即n=14時取等號,
所以這臺收割機使用14年可使年平均收益最大.
14.解:(1)由已知條件得100=a4,解得a=50,
所以y=50x(1≤x≤16,x∈N*),
所以M=mx-5x-50x+50(1≤x≤16,x∈N*).
(2)由題意知,0≤M≤150,所以mx-5x-50x+50≥0,mx-5x-50x+50≤150(1≤x≤16,x∈N*)恒成立,
即m≥-50x+50x+5,m≤100x+50x+5(1≤x≤16,x∈N*)恒成立.
設t=1x,則14≤t≤1,
所以m≥-50t2+50t+5,m≤100t2+50t+514≤t≤1恒成立.
由m≥-50t2+50t+5=-50t-122+35214≤t≤1恒成立,
得m≥352當t=12,即x=4時取等號;
由m≤100t2+50t+5=100t+142-5414≤t≤1恒成立,
得m≤954當t=14,即x=16時取等號.
所以m的取值范圍是352,954.
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