（天津?qū)０妫?018年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專(zhuān)題16 應(yīng)用正弦定理、余弦定理解三角形 文.doc

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母題十五 應(yīng)用正弦定理、余弦定理解三角形【母題原題1】【2018天津，文16】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為已知（I）求角的大??；（II）設(shè)，求和的值【考點(diǎn)分析】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正弦與余弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力滿分13分【答案】（I）；（II）由，可得，故因此， 【名師點(diǎn)睛】在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用解決三角形問(wèn)題時(shí)，注意角的限制范圍【母題原題2】【2017天津，文15】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為已知，（I）求的值；（II）求的值【答案】（I） ；（II）試題解析：（）由及得，由及余弦定理得【考點(diǎn)】1正余弦定理；2三角恒等變換【名師點(diǎn)睛】高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識(shí)綜合起來(lái)命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運(yùn)算形式”，其中的核心是“變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式【母題原題3】【2016天津，文15】在中，內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，已知（I）求B；（II）若，求sinC的值【答案】（）；（）【解析】試題分析：（）利用正弦定理，將邊化為角：，再根據(jù)三角形內(nèi)角范圍化簡(jiǎn)得，；（）問(wèn)題為“已知兩角，求第三角”，先利用三角形內(nèi)角和為，將考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦公式、兩角和的正弦公式以及正弦定理【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進(jìn)行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓剑墙鉀Q三角問(wèn)題的關(guān)鍵，明確角的范圍，對(duì)開(kāi)方時(shí)正負(fù)取舍是解題正確的保證【母題原題4】【2015天津，文16】ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為， （I）求a和sinC的值；（II）求 的值【答案】（I）a=8，；（II）（II），【考點(diǎn)定位】本題主要考查三角變換及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算求解能力【名師點(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題實(shí)質(zhì)是附加條件的三角變換，因此在解三角形問(wèn)題的處理中，正弦定理、余弦定理就起到了適時(shí)、適度轉(zhuǎn)化邊角的作用，分析近幾年的高考試卷，有關(guān)的三角題，大部分以三角形為載體考查三角變換【命題意圖】考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式，考查三角函數(shù)中同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和與差三角函數(shù)公式、二倍角公式在恒等變形中的應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)變形能力、數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)換思想【命題規(guī)律】解三角形是高考的必考內(nèi)容，重點(diǎn)是正弦定理、余弦定理和三角形面積公式，考題靈活多樣，選擇題、填空題和解答題都有考到，難度中低中檔題均有以求邊長(zhǎng)、求角（三角函數(shù)值）或研究三角形的面積為目標(biāo)，往往是利用正弦定理、余弦定理和三角形面積公式進(jìn)行有效的邊角轉(zhuǎn)換，利用和差倍半的三角函數(shù)公式，對(duì)等式進(jìn)行恒等變形，有時(shí)會(huì)結(jié)合角的范圍，研究三角函數(shù)式的取值范圍等 【答題模板】(1)通過(guò)正弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換；（II）通過(guò)余弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換；(3)通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系；(4)通過(guò)三角函數(shù)值符號(hào)的判斷以及正、余弦函數(shù)的有界性進(jìn)行討論；(5)若涉及兩個(gè)(或兩個(gè)以上)三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解條件多的三角形，再逐步求出其他三角形的邊和角，其中往往用到三角形內(nèi)角和定理，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)求解【方法總結(jié)】1三角形中判斷邊、角關(guān)系的具體方法：(1)通過(guò)正弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換；（II）通過(guò)余弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換；(3)通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系；(4)通過(guò)三角函數(shù)值符號(hào)的判斷以及正、余弦函數(shù)的有界性進(jìn)行討論；(5)若涉及兩個(gè)(或兩個(gè)以上)三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解條件多的三角形，再逐步求出其他三角形的邊和角，其中往往用到三角形內(nèi)角和定理，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)求解2三角形的有關(guān)性質(zhì)在解三角形問(wèn)題中起著重要的作用，如利用“三角形的內(nèi)角和等于”和誘導(dǎo)公式可得到sin(AB)sin C，sincos 等，利用“大邊對(duì)大角”可以解決解三角形中的增解問(wèn)題，如：在斜三角形中，用正弦定理求角時(shí)，若已知小角求大角，則有兩解；若已知大角求小角，則只有一解，注意確定解的個(gè)數(shù)3 如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到已知兩角和一邊或兩邊及夾角，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性4 在解決三角形的問(wèn)題中，面積公式最常用，因?yàn)楣街屑扔羞呌钟薪牵菀缀驼叶ɡ?、余弦定理?lián)系起來(lái)1【2018天津部分區(qū)二?！恳阎膬?nèi)角所對(duì)的邊分別為，且（I）求和的值；（II）求的值【答案】（I）， （II） 【解析】分析：（I）根據(jù)題意，利用余弦定理和正弦定理，即可求得c和sinA的值；（II）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系和三角恒等變換，計(jì)算即可詳解：（I）由余弦定理，得，又，所以，解得【名師點(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來(lái)，然后確定轉(zhuǎn)化的方向第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化第三步：求結(jié)果2【2018天津河?xùn)|區(qū)二模】在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為，已知， ，角A為銳角（I）求與的值；（II）求的值及三角形面積【答案】（I） ；（II） 【解析】 分析：第一問(wèn)首先利用題中的條件，利用倍角公式，結(jié)合A為銳角的條件，求得的值，之后可以借助于同角三角函數(shù)關(guān)系式求得的值，在求邊長(zhǎng)的時(shí)候，就利用正弦定理可以求得結(jié)果；第二問(wèn)結(jié)合題中所給的條件，利用余弦定理建立邊所滿足的等量關(guān)系式，求得結(jié)果，之后應(yīng)用面積公式求得三角形的面積詳解：（I）由正弦定理，代入，解得，角A為銳角，（II），代入為 ，解為，【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)解三角形的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要把握正弦定理、余弦定理、倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式以及三角形的面積公式，在做題的過(guò)程中，在求的時(shí)候，也可以應(yīng)用倍角公式求解3【2018天津河北區(qū)二模】在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若B=2C，2b=3c（I）求cosC的值；（II）求sin(2C+)的值【答案】（）（）（）由（）得， ， 【名師點(diǎn)睛】解三角形的問(wèn)題和三角變換常常綜合在一起考查，解題時(shí)要根據(jù)所給出的條件利用正弦定理、余弦定理將邊角之間進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，然后再根據(jù)題意進(jìn)行求解，進(jìn)行變換時(shí)要注意對(duì)所用公式的選擇4【2018天津市十二校二?！吭阡J角中，角，的對(duì)邊分別為，且（）求角的大小；（）已知，的面積為，求邊長(zhǎng)的值【答案】（I）；（II）【解析】分析：(1)由，利用正弦定理得，結(jié)合兩角和的正弦公式以及誘導(dǎo)公式可得，進(jìn)而可得結(jié)果；（）利用（I），由已知及正弦定理可得 ，結(jié)合的面積為，可得 ，由余弦定理可得結(jié)果由余弦定理 ，得 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題 正弦定理是解三角形的有力工具，其常見(jiàn)用法有以下三種：（1）知道兩邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個(gè)角的對(duì)邊，求另一個(gè)角的對(duì)邊；（3）證明化簡(jiǎn)過(guò)程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑5【2018四川南充三?！吭谥校瑑?nèi)角的對(duì)邊分別為，已知（）若，求邊；（）若，求角【答案】（）（）【解析】分析：（）利用正弦定理和余弦定理代入可得邊；（）由正弦定理得，將代入，結(jié)合可得的方程，解方程即可得解因?yàn)椋浴久麕燑c(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來(lái)，然后確定轉(zhuǎn)化的方向第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化第三步：求結(jié)果6【2018天津?yàn)I海新區(qū)七校模擬】銳角中， 分別為角的對(duì)邊， ，（I）若求的面積；（II）求的值 【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）由正弦定理化角，可得，再由角A的余弦定理，可求得，進(jìn)一步求得三角形面積；（II）由正弦和角公式和倍角公式可求值試題解析：（I） ， ， ， 是銳角， 【名師點(diǎn)睛】（1）一般是根據(jù)正弦定理求邊或列等式余弦定理揭示的是三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系，若題目中給出的關(guān)系式是“平方”關(guān)系，此時(shí)一般考慮利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化（2）在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到（3）在解三角形的問(wèn)題中，三角形內(nèi)角和定理起著重要作用，在解題中要注意根據(jù)這個(gè)定理確定角的范圍及三角函數(shù)值的符號(hào)，防止出現(xiàn)增解或漏解7【2018天津十二校重點(diǎn)模擬一】已知函數(shù)（I）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（II）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，若 ，求的面積【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可確定的單調(diào)遞增區(qū)間；（II）根據(jù)，求出，利用正弦定理及余弦定理，結(jié)合題設(shè)條件即可求出， ，從而可求出的面積試題解析：（I） 由，得由解得，8【2018天津十二校重點(diǎn)模擬二】在中，角的對(duì)邊分別為，的面積為（I）求及的值； （II）求的值【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）由，的面積為可求得的值，利用余弦定理可求得，再利用正弦定理可求得的值；（II）利用（I）的結(jié)論，由同角三角函數(shù)之間的關(guān)系可求得，再利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角差的正弦公式可得的值試題解析：（I）由已知，且 ， ， 在中， （II），又， 9【2018天津上學(xué)期期末考】在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足（I）求；（II）若，求的值【答案】（I）；（II）整理得，由余弦定理得，又，所以（II）由知為銳角，又，所以 ，故 ， ，所以10【2018天津紅橋區(qū)學(xué)期期末考】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，已知， ， （I）求的值；（II）求的值【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）由正弦定理可得a=3c，再由余弦定理可得b；（II）由已知得cosB和sinB，利用二倍角公式求得， ，將展開(kāi)代入求解即可11【2018天津靜海一中模擬】已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且滿足（I）若，求的值；（II）若的面積為3，求證為等腰三角形【答案】（I）；（II）見(jiàn)解析那么，由此得，所以為等腰三角形【名師點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式，判斷三角形形狀問(wèn)題，屬于中檔題判斷三角形狀的常見(jiàn)方法是：（1）通過(guò)正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；（II）利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過(guò)代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；（3）根據(jù)余弦定理確定一個(gè)內(nèi)角為鈍角進(jìn)而知其為鈍角三角形12【2018天津河西模擬】在中， ， ， 分別是角， ， 的對(duì)邊，若， （I）求的值（II）若，求的面積【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）由正弦定理求得，進(jìn)而得，再由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式可求得；（II）由已知計(jì)算出，再由（I）計(jì)算出，最后由三角形面積公式可得面積試題解析：（I），（II）， ， ，13【2018天津一中月考五】的內(nèi)角、的對(duì)邊分別為、，已知（I）求；（II）如圖，為外一點(diǎn)，若在平面四邊形中，且，求的長(zhǎng)【答案】(1)；（II）【解析】分析：（I）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦定理求出cosB的值（II）利用（I）的結(jié)論，進(jìn)一步利用余弦定理求出結(jié)果（II），又在中，由余弦定理可得 ，在中，由余弦定理可得，即，化簡(jiǎn)得，解得故的長(zhǎng)為【名師點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用對(duì)公式靈活運(yùn)用與結(jié)合是解題關(guān)鍵14【2018天津耀華中學(xué)模擬】設(shè)函數(shù)，其中向量，（I）求的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；（II）若，求函數(shù)的值域；（III）在中，求與的值【答案】（I），；（II），【解析】試題分析：（I），令即所以單調(diào)減區(qū)間為：（II）當(dāng)時(shí)由（I）易知在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，則在上值域?yàn)椋↖II）又，則，由余弦定理，得即，得或（舍），