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課時規(guī)范練42 圓的方程
基礎(chǔ)鞏固組
1.(2018河北淶水月考,5)圓x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0的圓心在直線x+y-4=0上,則圓的面積為( )
A.9π B.π
C.2π D.由m的值而定
2.已知點A(-4,-5),B(6,-1),則以線段AB為直徑的圓的方程為( )
A.(x+1)2+(y-3)2=29
B.(x-1)2+(y+3)2=29
C.(x+1)2+(y-3)2=116
D.(x-1)2+(y+3)2=116
3.(2018四川閬中中學(xué)期中,4)若點(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部,則a的取值范圍是( )
A.-1
1 D.a=1
4.(2018貴州凱里期末,6)設(shè)圓x2+y2-4x+4y+7=0上的動點P到直線x+y-42=0的距離為d,則d的取值范圍是( )
A.[0,3] B.[2,4]
C.[3,5] D.[4,6]
5.(2018甘肅蘭州診斷,7)半徑為2的圓C的圓心在第四象限,且與直線x=0和x+y=22均相切,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.(x-1)2+(y+2)2=4
B.(x-2)2+(y+2)2=2
C.(x-2)2+(y+2)2=4
D.(x-22)2+(y+22)2=4
6.已知直線l:x+my+4=0,若曲線x2+y2+2x-6y+1=0上存在兩點P,Q關(guān)于直線l對稱,則m的值為( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
8.若直線l:2ax-by+2=0(a>0,b>0)與x軸相交于點A,與y軸相交于點B,被圓x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦長為4,則|OA|+|OB|(O為坐標(biāo)原點)的最小值為 .
9.已知等腰三角形ABC,其中頂點A的坐標(biāo)為(0,0),底邊的一個端點B的坐標(biāo)為(1,1),則另一個端點C的軌跡方程為 .
10.已知圓M與y軸相切,圓心在直線y=x上,并且在x軸上截得的弦長為23,則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
綜合提升組
11.設(shè)點M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點N,使得∠OMN=45,則x0的取值范圍是( )
A.[-1,1] B.-12,12
C.[-2,2] D.-22,22
12.已知點P在圓x2+y2=1上,點A的坐標(biāo)為(-2,0),O為原點,則AOAP的最大值為 .
13.已知M為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點,且點Q(-2,3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值;
(2)若M(m,n),求n-3m+2的最大值和最小值.
14.已知圓C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等,求此切線的方程;
(2)從圓C外一點P(x1,y1)向該圓引一條切線,切點為M,O為坐標(biāo)原點,且有|PM|=|PO|,求使|PM|取得最小值時點P的坐標(biāo).
創(chuàng)新應(yīng)用組
15.(2018安徽定遠(yuǎn)重點中學(xué)月考,16)如圖所示,邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動,點B恰好經(jīng)過原點.設(shè)頂點P(x,y)的軌跡方程是y=f(x),則對函數(shù)y=f(x)有下列判斷:
①若-2≤x≤2,則函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù);
②對任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x-2);
③函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞減;
④函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[4,6]上是減函數(shù).
其中判斷正確的序號是 .(寫出所有正確結(jié)論的序號)
16.已知平面區(qū)域x≥0,y≥0,x+2y+4≤0恰好被面積最小的圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其內(nèi)部所覆蓋,則圓C的方程為 .
課時規(guī)范練42 圓的方程
1.B ∵圓的方程是x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0,
∴圓心坐標(biāo)是(2m+1,m),
∵圓心在直線x+y-4=0上,∴2m+1+m-4=0,解得m=1,
∴圓的方程是x2+y2-6x-2y+9=0,即(x-3)2+(y-1)2=1,
∴半徑r=1,圓的面積S=πr2=π,
故選B.
2.B 由題意知以線段AB為直徑的圓的圓心為點-4+62,-5-12,即(1,-3),
其半徑為(6+4)2+(-1+5)22=29,
故以線段AB為直徑的圓的方程是(x-1)2+(y+3)2=29.
故選B.
3.A ∵點(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部,
∴(1-a)2+(1+a)2<4,解得-10),則圓心到直線x+y=22的距離d=|2-a-22|2=2,所以a=2,所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+2)2=4.
6.D 曲線x2+y2+2x-6y+1=0是圓(x+1)2+(y-3)2=9,若圓(x+1)2+(y-3)2=9上存在兩點P,Q關(guān)于直線l對稱,則直線l:x+my+4=0過圓心(-1,3),所以-1+3m+4=0,解得m=-1,故選D.
7.(x-1)2+y2=2 由mx-y-2m-1=0,可得m(x-2)=y+1,由m∈R知該直線過定點(2,-1),從而點(1,0)與直線mx-y-2m-1=0的距離的最大值為(2-1)2+(-1-0)2=2.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=2.
8.3+22 由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-2)2=4,其圓心為(-1,2),半徑為2,而直線l被圓截得的弦長為4,所以直線過圓心,所以a+b=1,又A-,0,B0, ,
所以|OA|+|OB|=1a+2b=1a+2b(a+b)≥(1+2)2=3+22,
當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時等號成立.
9.x2+y2=2(除去點(1,1)和點(-1,-1)) 設(shè)C(x,y),根據(jù)在等腰三角形中|AB|=|AC|,可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x2+y2=2.
考慮到A,B,C三點要構(gòu)成三角形,因此點C不能為(1,1)和(-1,-1).
所以點C的軌跡方程為x2+y2=2(除去點(1,1)和點(-1,-1)).
10.(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4 設(shè)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,
由題意可得12a-b=0,|a|=r,b2+3=r2,解得a=2,b=1,r=2或a=-2,b=-1,r=2,
所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.
11.A 如圖所示,設(shè)點A(0,1)關(guān)于直線OM的對稱點為P,則點P在圓O上,
且MP與圓O相切,而點M在直線y=1上運動,圓上存在點N使∠OMN=45,
則∠OMN≤∠OMP=∠OMA,
∴∠OMA≥45,∴∠AOM≤45.
當(dāng)∠AOM=45時,x0=1.
∴結(jié)合圖像知,當(dāng)∠AOM≤45時,-1≤x0≤1,
∴x0的取值范圍為[-1,1].
12.6 方法1:設(shè)P(cos α,sin α),α∈R,則AO=(2,0),AP=(cos α+2,sin α),AOAP=2cos α+4.
當(dāng)α=2kπ,k∈Z時,2cos α+4取得最大值,最大值為6.
故AOAP的最大值為6.
方法2:設(shè)P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,AO=(2,0),AP=(x+2,y),AOAP=2x+4,故AOAP的最大值為6.
13.解 (1)由圓C:x2+y2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8,
所以圓心C的坐標(biāo)為(2,7),半徑r=22.
又|QC|=(2+2)2+(7-3)2=42>22,
所以點Q在圓C外,
所以|MQ|max=42+22=62,
|MQ|min=42-22=22.
(2)由題意可知n-3m+2表示直線MQ的斜率,
設(shè)直線MQ的方程為y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0,則n-3m+2=k.
因為直線MQ與圓C有交點,
所以|2k-7+2k+3|1+k2≤22,
所以2-3≤k≤2+3,
所以n-3m+2的最大值為2+3,最小值為2-3.
14.解 (1)將圓C的方程配方,得(x+1)2+(y-2)2=2.
①當(dāng)切線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零時,設(shè)切線方程為y=kx,由|k+2|1+k2=2,得k=26,
∴切線方程為y=(26)x.
②當(dāng)切線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時,設(shè)切線方程為x+y-a=0(a≠0),由|-1+2-a|2=2,得|a-1|=2,即a=-1或a=3.
∴切線方程為x+y+1=0或x+y-3=0.
綜上,圓的切線方程為y=(2+6)x或y=(2-6)x或x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)由|PO|=|PM|,得x12+y12=(x1+1)2+(y1-2)2-2,
整理得2x1-4y1+3=0,即點P在直線l:2x-4y+3=0上.
當(dāng)|PM|取最小值時,|PO|取最小值,此時直線PO⊥l,
∴直線PO的方程為2x+y=0.
解方程組2x+y=0,2x-4y+3=0,得點P的坐標(biāo)為-310,35.
15.①②④ 當(dāng)-2≤x≤-1,點P的軌跡是以A為圓心,半徑為1的圓,
當(dāng)-1≤x≤1時,點P的軌跡是以B為圓心,半徑為2的14圓,
當(dāng)1≤x≤2時,點P的軌跡是以C為圓心,半徑為1的14圓,
當(dāng)3≤x≤4時,點P的軌跡是以A為圓心,半徑為1的14圓,
∴函數(shù)y=f(x)的周期是4.
畫出函數(shù)y=f(x)的部分圖像如圖所示.
①根據(jù)圖像的對稱性可知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),∴①正確.
②由圖像可知函數(shù)的周期是4.∴②正確.
③函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增,∴③錯誤.
④函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[4,6]上是減函數(shù),∴④正確.
故答案為①②④.
16.(x-2)2+(y-1)2=5 由題意知,此平面區(qū)域表示的是以O(shè)(0,0),P(4,0),Q(0,2)所構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部,所以覆蓋它且面積最小的圓是其外接圓.
因為△OPQ為直角三角形,
所以圓心為斜邊PQ的中點(2,1),半徑r=|PQ|2=5,
所以圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.
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