2019高中數學 第2章 推理與證明 2.2.2 反證法學案 新人教B版選修2-2.doc

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2.2.2反證法1掌握間接證明的常見方法(反證法)的推理特點2學會寫出命題的否定，并以此作條件推出矛盾結論，即學習用反證法證明簡單題目反證法一般地，由證明pq轉向證明：_，t與假設矛盾，或與某個真命題矛盾從而判定_為假，推出_為真的方法，叫做反證法1反證法適宜證明“存在性，唯一性，帶有至少有一個或至多有一個等字樣”的一些數學問題2應用反證法證明數學命題的一般步驟：(1)分清命題的條件和結論；(2)做出與命題結論相矛盾的假設；(3)由假設出發(fā)，應用演繹推理方法，推出矛盾的結果；(4)斷定產生矛盾結果的原因，在于開始所做的假定不真，于是原結論成立，從而間接地證明命題為真常見的主要矛盾有：與數學公理、定理、公式、定義或已證明了的結論相矛盾；與臨時假設矛盾；與公認的事實或自相矛盾等【做一做11】應用反證法推出矛盾的推導過程中可以把下列哪些作為條件使用()結論的相反判斷，即假設；原命題的條件；公理、定理、定義等；原結論A BC D【做一做12】用反證法證明命題“三角形的內角中至多有一個鈍角”時，假設正確的是()A假設三角形的內角中至少有一個鈍角B假設三角形的內角中至少有兩個鈍角C假設三角形的內角中沒有一個鈍角D假設三角形的內角中沒有一個鈍角或至少有兩個鈍角如何理解反證法？剖析：反證法證題的特征：通過導出矛盾、歸結為謬誤，而使命題得證反證法的原理是“否定之否定等于肯定”反證法解題的實質就是否定結論導出矛盾，從而說明原結論正確，即證明命題的逆否命題成立否定結論：對結論的反面要一一否定，不能遺漏；否定一個反面之反證法稱為歸謬法，否定兩個或兩個以上反面之反證法稱為窮舉法要注意用反證法解題，“否定結論”在推理論證中作為已知使用，導出矛盾是指在假設的前提下，邏輯推理結果與“已知條件、假設、公理、定理或顯然成立的事實”等相矛盾用反證法證明不等式，常用的否定形式有：“”的反面為“”；“”的反面為“”；“”的反面為“”；“”的反面為“”；“”的反面為“”；“”的反面為“”或“”及“”反證法屬邏輯方法范疇，它的嚴謹性體現在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一個否定是指“否定結論”；第二個否定是指“邏輯推理結果否定了假設”反證法屬“間接解題方法”，書寫格式易錯之處是“假設”易錯寫成“設”反證法不是去直接證明結論，而是先否定結論，在否定結論的基礎上運用演繹推理，導出矛盾，從而肯定結論的正確性題型一 命題的結論是否定型【例題1】已知函數f(x)ax(a1)(1)證明函數f(x)在(1，)上為增函數；(2)用反證法證明方程f(x)0沒有負數根分析：應用增函數定義證明第一問；第二問的結論是否定型的，適于應用反證法反思：在解題過程中，提出假設，分類討論等都是在合理地增設條件，為解題提供幫助題型二 命題的結論涉及至多、至少及存在型【例題2】已知a，b，c都是小于1的正數，求證：(1a)b，(1b)c，(1c)a中至少有一個不大于.分析：命題中有“至少、不都、都不、至多”等指示性語句時，應用直接方法證明時難度很大，根據正難則反的思想，應用反證法證明本題中“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，然后由假設入手，應用均值不等式證明反思：反證法證題的實質是證明它的逆否命題成立，反證法的主要依據是邏輯中的排中律，排中律的一般表現形式是：或者是A，或者非A，即在同一討論過程中，A和非A有一個且僅有一個是對的，不能有第三種情形出現題型三 唯一性命題的證明【例題3】求證：過直線外一點只有一條直線與它平行分析：本題屬唯一性的證明問題，用反證法證明已知：Aa，Ab，ba，求證：b唯一題型四 易錯辨析易錯點：運用反證法時，第一步否定結論易錯因為有些結論的對立面不易確定，從而導致錯誤【例題4】用反證法證明命題“a，b為整數，若ab不是偶數，則a，b都不是偶數”時，應假設_錯解：a，b不都是偶數1反證法證題的關鍵是在正確的假設下得出矛盾這個矛盾可以是()與已知矛盾；與假設矛盾；與定義、定理、公理、法則矛盾；與事實矛盾A BC D2命題“在ABC中，若AB，則ab”的結論的否定應該是()Aab Bab Cab Dab3“M不是N的子集”的充分必要條件是()A若xM則xNB若xN則xMC存在x1Mx1N，又存在x2Mx2ND存在x0Mx0N4設實數a，b，c滿足abc1，則a，b，c中至少有一個數不小于_5用反證法證明命題“若a2b20，則a，b全為0(a，b為實數)”時，應假設_答案；基礎知識梳理qrtqq【做一做11】C【做一做12】B“至多有一個”的反面為“至少有兩個”典型例題領悟【例題1】證明：(1)任取x1，x2(1，)，不妨設x1x2，則x2x10，ax2x11，且ax10，ax2ax1ax1(ax2x11)0.又x110，x210，0.f(x2)f(x1)ax2ax10.故函數f(x)在(1，)上為增函數(2)假設存在x00(x01)，滿足f(x0)0，則ax0，且0ax01，01，即x02，與假設x00矛盾，故方程f(x)0沒有負根【例題2】證明：假設(1a)b，(1b)c，(1c)a.a，b，c都是小于1的正數，從而.但是，與上式矛盾假設不成立，即原命題成立【例題3】證明：假設過點A還有一條直線ba.根據平行公理，ba，bb，與bbA矛盾假設不成立，原命題成立【例題4】錯因分析：a，b不都是偶數包括的情況是：a是偶數，b是奇數；a是奇數；b是偶數；a，b都不是偶數顯然，否定的結論并不是結論的對立面，所以不正確，題目中“a，b都不是偶數”指“a，b都是奇數”正解：a，b不都是奇數隨堂練習鞏固1D2B“大于”的否定是“不大于”，即“小于”或“等于”3D按定義，若M是N的子集，則集合M的任一個元素都是集合N的元素所以，要使M不是N的子集，只需存在x0M但x0N.選D.4假設a，b，c都小于，則abc1.故a，b，c中至少有一個不小于.5a，b不全為0(a，b為實數)“a，b全為0”即“a0且b0”，它的否定為“a0或b0”，即“a，b不全為0”