2019高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.2.2 反證法學(xué)案 新人教B版選修2-2.doc

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2.2.2　反證法 1．掌握間接證明的常見(jiàn)方法(反證法)的推理特點(diǎn)． 2．學(xué)會(huì)寫(xiě)出命題的否定，并以此作條件推出矛盾結(jié)論，即學(xué)習(xí)用反證法證明簡(jiǎn)單題目． 反證法 一般地，由證明pq轉(zhuǎn)向證明：____________________， t與假設(shè)矛盾，或與某個(gè)真命題矛盾．從而判定____為假，推出____為真的方法，叫做反證法． 1．反證法適宜證明“存在性，唯一性，帶有‘至少有一個(gè)’或‘至多有一個(gè)’等字樣”的一些數(shù)學(xué)問(wèn)題． 2．應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的一般步驟： (1)分清命題的條件和結(jié)論； (2)做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)； (3)由假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用演繹推理方法，推出矛盾的結(jié)果； (4)斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開(kāi)始所做的假定不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明命題為真． 常見(jiàn)的主要矛盾有：①與數(shù)學(xué)公理、定理、公式、定義或已證明了的結(jié)論相矛盾； ②與臨時(shí)假設(shè)矛盾； ③與公認(rèn)的事實(shí)或自相矛盾等． 【做一做1－1】應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過(guò)程中可以把下列哪些作為條件使用(　　)． ①結(jié)論的相反判斷，即假設(shè)；②原命題的條件；③公理、定理、定義等；④原結(jié)論． A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③ 【做一做1－2】用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，假設(shè)正確的是(　　)． A．假設(shè)三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)鈍角 B．假設(shè)三角形的內(nèi)角中至少有兩個(gè)鈍角 C．假設(shè)三角形的內(nèi)角中沒(méi)有一個(gè)鈍角 D．假設(shè)三角形的內(nèi)角中沒(méi)有一個(gè)鈍角或至少有兩個(gè)鈍角 如何理解反證法？ 剖析：反證法證題的特征：通過(guò)導(dǎo)出矛盾、歸結(jié)為謬誤，而使命題得證． 反證法的原理是“否定之否定等于肯定”． 反證法解題的實(shí)質(zhì)就是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾，從而說(shuō)明原結(jié)論正確，即證明命題的逆否命題成立．否定結(jié)論：對(duì)結(jié)論的反面要一一否定，不能遺漏；否定一個(gè)反面之反證法稱(chēng)為歸謬法，否定兩個(gè)或兩個(gè)以上反面之反證法稱(chēng)為窮舉法．要注意用反證法解題，“否定結(jié)論”在推理論證中作為已知使用，導(dǎo)出矛盾是指在假設(shè)的前提下，邏輯推理結(jié)果與“已知條件、假設(shè)、公理、定理或顯然成立的事實(shí)”等相矛盾． 用反證法證明不等式，常用的否定形式有：“≥”的反面為“＜”；“≤”的反面為“＞”；“＞”的反面為“≤”；“＜”的反面為“≥”；“≠”的反面為“＝”；“＝”的反面為“≠”或“＞”及“＜”． 反證法屬邏輯方法范疇，它的嚴(yán)謹(jǐn)性體現(xiàn)在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一個(gè)否定是指“否定結(jié)論”；第二個(gè)否定是指“邏輯推理結(jié)果否定了假設(shè)”．反證法屬“間接解題方法”，書(shū)寫(xiě)格式易錯(cuò)之處是“假設(shè)”易錯(cuò)寫(xiě)成“設(shè)”． 反證法不是去直接證明結(jié)論，而是先否定結(jié)論，在否定結(jié)論的基礎(chǔ)上運(yùn)用演繹推理，導(dǎo)出矛盾，從而肯定結(jié)論的正確性． 題型一 命題的結(jié)論是否定型 【例題1】已知函數(shù)f(x)＝ax＋(a＞1)． (1)證明函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)； (2)用反證法證明方程f(x)＝0沒(méi)有負(fù)數(shù)根． 分析：應(yīng)用增函數(shù)定義證明第一問(wèn)；第二問(wèn)的結(jié)論是否定型的，適于應(yīng)用反證法． 反思：在解題過(guò)程中，提出假設(shè)，分類(lèi)討論等都是在合理地增設(shè)條件，為解題提供幫助． 題型二 命題的結(jié)論涉及至多、至少及存在型 【例題2】已知a，b，c都是小于1的正數(shù)，求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一個(gè)不大于. 分析：命題中有“至少、不都、都不、至多”等指示性語(yǔ)句時(shí)，應(yīng)用直接方法證明時(shí)難度很大，根據(jù)正難則反的思想，應(yīng)用反證法證明．本題中“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒(méi)有”，然后由假設(shè)入手，應(yīng)用均值不等式證明． 反思：反證法證題的實(shí)質(zhì)是證明它的逆否命題成立，反證法的主要依據(jù)是邏輯中的排中律，排中律的一般表現(xiàn)形式是：或者是A，或者非A，即在同一討論過(guò)程中，A和非A有一個(gè)且僅有一個(gè)是對(duì)的，不能有第三種情形出現(xiàn)． 題型三 唯一性命題的證明 【例題3】求證：過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)只有一條直線(xiàn)與它平行． 分析：本題屬唯一性的證明問(wèn)題，用反證法證明． 已知：Aa，A∈b，b∥a， 求證：b唯一． 題型四 易錯(cuò)辨析 易錯(cuò)點(diǎn)：運(yùn)用反證法時(shí)，第一步否定結(jié)論易錯(cuò)．因?yàn)橛行┙Y(jié)論的對(duì)立面不易確定，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤． 【例題4】用反證法證明命題“a，b為整數(shù)，若ab不是偶數(shù)，則a，b都不是偶數(shù)”時(shí)，應(yīng)假設(shè)________． 錯(cuò)解：a，b不都是偶數(shù)． 1反證法證題的關(guān)鍵是在正確的假設(shè)下得出矛盾．這個(gè)矛盾可以是(　　)． ①與已知矛盾；②與假設(shè)矛盾；③與定義、定理、公理、法則矛盾；④與事實(shí)矛盾． A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 2命題“在△ABC中，若∠A＞∠B，則a＞b”的結(jié)論的否定應(yīng)該是(　　)． A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)≤b C．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)≥b 3“M不是N的子集”的充分必要條件是(　　)． A．若x∈M則xN B．若x∈N則x∈M C．存在x1∈Mx1∈N，又存在x2∈Mx2N D．存在x0∈Mx0N 4設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a＋b＋c＝1，則a，b，c中至少有一個(gè)數(shù)不小于__________． 5用反證法證明命題“若a2＋b2＝0，則a，b全為0(a，b為實(shí)數(shù))”時(shí)，應(yīng)假設(shè)________________________________________________________________________． 答案； 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 qr…t　q　q 【做一做1－1】C 【做一做1－2】B　“至多有一個(gè)”的反面為“至少有兩個(gè)”． 典型例題領(lǐng)悟 【例題1】證明：(1)任取x1，x2(－1，＋∞)，不妨設(shè)x1＜x2，則x2－x1＞0，ax2－x1＞1，且ax1＞0， ∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0. 又∵x1＋1＞0，x2＋1＞0，∴－＝ ＝＞0. ∴f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－＞0. 故函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． (2)假設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)，滿(mǎn)足f(x0)＝0，則 ax0＝－，且0＜ax0＜1， ∴0＜－＜1，即＜x0＜2，與假設(shè)x0＜0矛盾，故方程f(x)＝0沒(méi)有負(fù)根． 【例題2】證明：假設(shè)(1－a)b＞，(1－b)c＞，(1－c)a＞. ∵a，b，c都是小于1的正數(shù)， ∴＞，＞，＞， 從而＋＋＞. 但是＋＋≤＋＋＝＝， 與上式矛盾． ∴假設(shè)不成立，即原命題成立． 【例題3】證明：假設(shè)過(guò)點(diǎn)A還有一條直線(xiàn)b′∥a. 根據(jù)平行公理，∵b∥a，∴b∥b′， 與b∩b′＝A矛盾． ∴假設(shè)不成立，原命題成立． 【例題4】錯(cuò)因分析：a，b不都是偶數(shù)包括的情況是： ①a是偶數(shù)，b是奇數(shù)； ②a是奇數(shù)；b是偶數(shù)； ③a，b都不是偶數(shù)．顯然，否定的結(jié)論并不是結(jié)論的對(duì)立面，所以不正確，題目中“a，b都不是偶數(shù)”指“a，b都是奇數(shù)”． 正解：a，b不都是奇數(shù)． 隨堂練習(xí)鞏固 1．D 2．B　“大于”的否定是“不大于”，即“小于”或“等于”． 3．D　按定義，若M是N的子集，則集合M的任一個(gè)元素都是集合N的元素．所以，要使M不是N的子集，只需存在x0M但x0N.選D. 4．　假設(shè)a，b，c都小于，則a＋b＋c＜1. 故a，b，c中至少有一個(gè)不小于. 5．a(chǎn)，b不全為0(a，b為實(shí)數(shù))　“a，b全為0”即“a＝0且b＝0”，它的否定為“a≠0或b≠0”，即“a，b不全為0”．